福建省宁德市连江尚德中学高一数学理下学期期末试卷含解析

福建省宁德市连江尚德中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义中“定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应”判断．【解答】解：由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选C．2.用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得结果是（

）A.1 B. C. D.参考答案：C【分析】根据，给等式左边赋值，由此得出正确选项.【详解】当时，左边为，故选C.【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.

3.若，则的定义域为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.若，则下列各式中正确的是A．

B.

C.

D.参考答案：D5.已知为第二象限角，则的值是

（

）A．3

B．-3

C．1

D．-1参考答案：C略6.已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=? C．A?B D．B?A参考答案：D【考点】子集与真子集．【分析】直接根据子集的定义，得出B?A，且A∩B={2，3}=A≠?，能得出正确选项为D．【解答】解：因为A={1，2，3}，B={2，3}，显然，A≠B且B?A，根据集合交集的定义得，A∩B={2，3}=A，所以，A∩B≠?，故答案为：D．7.函数的定义域为A．

B．

C．

D．参考答案：C8.要得到的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移3个单位

B．向右平移3个单位C．向左平移2个单位

D．向右平移2个单位参考答案：D9.已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.下列说法中正确的个数是（）①事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大；②事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小；③互斥事件一定是对立事件，对立事件并不一定是互斥事件；④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①事件A，B中至少有一个发生的概率一定不小于A，B中恰有一个发生的概率；②事件A，B同时发生的概率，不一定比A、B中恰有一个发生的概率小；根据对立事件与互斥事件的概念与性质，判断命题③、④是否正确．【解答】解：对于①，事件A，B中至少有一个发生的概率，包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A、B都发生；A，B中恰有一个发生，包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；当事件A，B为对立事件时，事件A，B中至少有一个发生的概率与A，B中恰有一个发生的概率相等；∴①错误；对于②，事件A，B同时发生的概率，不一定比A、B中恰有一个发生的概率小，如事件A=B，是相同的且概率大于0的事件，那么A、B同时发生的概率是P（A）=P（B），A、B恰有一个发生是一个不可能事件，概率是0；∴②错误；对于③，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，∴③错误；对于④，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，④正确．综上，正确的命题是④，只有1个．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣5]【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可．【解答】解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，∴，即，解得m≤﹣5．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣5]．故答案为：（﹣∞，﹣5]．【点评】本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法．12.已知，则

▲

.参考答案：13.函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且它为单调增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则a的取值范围是．参考答案：0＜a＜1【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】将不等式进行转化，利用函数的单调性和奇偶性，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0可化为f（1﹣a）＞﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），又f（x）在定义域（﹣1，1）上递增，∴﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1，解得0＜a＜1．∴a的取值范围为：0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查学生的转化能力．综合考查函数的性质．14.已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为

参考答案：试题分析：把要求解的不等式变形，分子分母同时除以后把看做一个整体，由不等式解集得到范围，进一步求出的范围。考点：其他不等式的解法。15.已知定义在R上的函数f（x）存在零点，且对任意m，n∈R都满足f[f（m）+f（n）]=f2（m）+2n，则函数g（x）=|f[f（x）]﹣4|+log3x﹣1的零点个数为．参考答案：3【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】令f（m）=0得出f[f（n）]=2n，从而得出g（x）=|2x﹣4|+log3x﹣1，分别作出y=1﹣log3x和y=|2x﹣4|的函数图象，根据函数图象的交点个数判断g（x）的零点个数．【解答】解：设m为f（x）的零点，则f（m）=0，∴f[f（n）]=2n，∴f[f（x）]=2x，∴g（x）=|2x﹣4|+log3x﹣1，令g（x）=0得1﹣log3x=|2x﹣4|，分别作出y=1﹣log3x和y=|2x﹣4|的函数图象，如图所示：由图象可知y=1﹣log3x和y=|2x﹣4|的函数图象有3个交点，∴g（x）=|2x﹣4|+log3x﹣1有3个零点．故答案为3．16.已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为____________。参考答案：23略17.已知向量，若∥，则x的值为

.参考答案：4∵∥，∴＝8，解得，其中，故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4．E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G．（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣EFD1的体积V．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）方法一：欲证明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先证直线与平面垂直，观察平面BDD1B1为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的对角面，所以AC⊥平面BDD1B1，故连接AC，由EF∥AC，可得EF⊥平面BDD1B1方法二：欲证明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先证直线与平面垂直，由题意易得EF⊥BD，又EF⊥D1D，所以EF⊥平面BDD1B1（2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．由第（1）问可知，点D1到平面B1EF的距离d即为点D1到平面B1EF与平面BDD1B1的交线B1G的距离，故作D1H⊥B1G，垂足为H，所以点D1到平面B1EF的距离d=D1H．下面求D1H的长度．解法一：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角函数可解．解法二：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角形相似可解．解法三：在矩形BDD1B1及△D1GB1中，观察面积大小关系可解．（3）本题的设问是递进式的，第（2）问是为第（3）问作铺垫的．解决三棱锥求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，由第（2）问可知，D1H即为三棱锥B1﹣EFD1的高，所以B1EF为对应的底面．【解答】解：（Ⅰ）证法一：连接AC．∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1．∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD．又EF⊥D1D∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．（Ⅱ）在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H．∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H．解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1?sin∠D1B1H．∵，，∴．解法二：∵△D1HB1～△B1BG，∴，∴．解法三：连接D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，即，∴．（Ⅲ）=．19.(本题满分15分)已知，，，记函数，且的最小正周期为.(1)求的值；(2)设，求函数的值域.参考答案：（1）

（2）20.某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185）100.100合计1001.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？参考答案：解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为，频率分布直方图如图所示：（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），（10分）其中第4组的2位同学为B1，B2至少有一位同学入选的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（B1，B2），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），9中可能，所以其中第4组的2位同学为B1，B2至少有一位同学入选的概率为．略21.(本小题14分)如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．点是BC中点．（1）证明平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．参考答案：解：（1）证明：取的中点连结，则，，

…2分取的中点，连结，∵且，∴△是正三角形，∴．∴四边形为矩形，∴．又∵，………4分∴且，四边形是平行四边形．∴，

………6分而平面，平面，∴平面．

………7分（2）过作