人教版八年级数学上册112-与三角形有关的角-课件

11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角第一课时第二课时人教版数学八年级上册11.2与三角形有关的角第一课时第二课时人教版数学八年第一课时三角形的内角和第一课时三角形的内角和2我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.

一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.导入新知我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最2.会运用三角形内角和定理进行计算.1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.素养目标2.会运用三角形内角和定理进行计算.1.会用平行线的性质

我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？探究新知知识点1三角形的内角和我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等剪拼ABC21探究新知剪拼ABC21探究新知测量480720600600＋480＋720＝1800探究新知锐角三角形测量480720600600＋480＋720＝1800探究新三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？三角形的内角和定理的证明在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.探究新知还有其他的拼接方法吗？三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，

∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等)

∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12探究新知三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=18证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)

∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12探究新知证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，CBAED12探究CBAEDF证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.探究新知同学们还有其他的方法吗？CBAEDF证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.探究新知思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.探究新知12CBAED12CBAEDF思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借C24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.探究新知试一试C24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1同学们按

为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结

为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线探究新知为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，

∠B=75°，

AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°，

AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD=180°–75°–20°=85°.利用三角形的内角和定理求角的度数素养考点1探究新知例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=7如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B–∠BCD=80°.变式题探究新知如图，CD是∠ACB的平分线，2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度数.解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°)

＝130°.1.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(

)A．30°

B．40°

C．50°

D．60°D探究新知2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠3.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(

)A．45°B．54°C．40°D．50°C巩固练习3.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分例2如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.探究新知例2如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作解：∵D

4.直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．40°巩固练习l1l2

4.直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，基本图形由三角形的内角和定理易得

∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.归纳总结探究新知基本图形由三角形的内角和定理易得例3在△ABC

中，∠A

的度数是∠B

的度数的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x＋

15)，从而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，

33°，48°.素养考点2方程的思想与三角形内角和定理的综合应用探究新知方法点拨：三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解.例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．

解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．比例关系可考虑用方程思想求角度.变式题探究新知在△ABC中，∠A＝∠B＝∠解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.巩固练习解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，巩固练习②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是

_________三角形.

①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠

C=.

③在△ABC中，∠A=∠B+10°，

∠C=∠A+10°，

则∠A=

，∠B=

，∠C=

.102°直角60°50°70°巩固练习5.完成下列各题.解析：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°.②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是北.AD北.CB.东E例4

如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题）.素养考点3探究新知北.A北.CB.东E例4如图，C岛在A岛的北偏东50°解：∠CAB=∠BAD–∠CAD=80°–50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°–

∠BAD=180°–80°=100°，∠ABC=

∠ABE–

∠EBC=100°–40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°–

∠ABC–

∠CAB=180°–60°–30°

=90°，答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.北.AD北.CB.东E探究新知解：∠CAB=∠BAD–∠CAD=80°–50°=6.如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？巩固练习6.如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，∴∠ABD＝60°.又∵∠DBE＝90°，∴∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°.∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，∴∠ACE＝90°–40°＝50°.∴∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°.即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.巩固练习解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，巩固练习连接中考巩固练习

如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）

A．44°

B．40°

C．39° D．38°

C连接中考巩固练习如图，在△ABC中，CD平分∠A1.求出下列各图中的x值．x=70x=60x=30x=50课堂检测基础巩固题1.求出下列各图中的x值．x=70x=60x=30x=53.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________.BACD4132E40°（280°2.（2018•滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=

．100°基础巩固题课堂检测3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________1.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，

∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C）=180°–（78°+60°）

=42°．能力提升题课堂检测1.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=2.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°–∠B–∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°.能力提升题课堂检测2.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°–60°=120°．拓广探索题课堂检测如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分思考：你能直接写出∠BPC与∠A

之间的数量关系吗？解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°–

（∠ABC+∠ACB）=180°–（180°–∠A）=90°+∠A

．课堂检测拓广探索题思考：你能直接写出∠BPC与∠A之间的数量关系吗？解：∵B求角度证法应用转化为一个平角或同旁内角互补辅助线三角形的内角和等于180°作平行线转化思想课堂小结求角度证法应用转化为一个平角辅助线三角形的内角和等于180第二课时直角三角形第二课时直角三角形38在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？内角三兄弟之争导入新知小故事在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常

老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.在这个家里，我是永远的老大.导入新知老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.1.了解直角三角形两个锐角的关系.2.掌握直角三角形的判定.素养目标3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.1.了解直如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°直角三角形的两个锐角互余知识点1探究新知问题1：如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？

在Rt△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理，得

∠A+∠B+∠C=180°，

即∠A+∠B=90°.由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？问题2：探究新知如图，在Rt△ABC中，∠C=9ABC直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）应用格式：

在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．归纳总结探究新知ABC直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）方法一（利用平行的判定和性质）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，

∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性质）：

∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠D.例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？图素养考点1利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数探究新知方法一（利用平行的判定和性质）：例1（1）如图，∠B=∠C解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠C.（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.图与图有哪些共同点与不同点？探究新知解：∠A=∠C.（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(

)A．120°B．90°

C．60°

D．30°

D2.如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝(

)度．A．70B．65C．60D．55A巩固练习1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角例2

如图，∠C=∠D=90°，

AD，

BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，

∠CAE=90°–∠AEC.

在Rt△BDE中，∠DBE=90°–∠BED.

∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.探究新知例2如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E3.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．解：∵CD是AB上的高，∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°.∵BE是AC上的高，∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°.∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°.巩固练习3.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？基本图形∠A=∠C∠A=∠D归纳总结探究新知思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？基本图形有两个角互余的三角形是直角三角形吗？

如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？

在△ABC中，

因为∠A+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

所以∠C=90°.

即△ABC是直角三角形.有两个角互余的三角形是直角三角形知识点2探究新知ABC有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，ABC应用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形.

(直角三角形的性质定理）归纳总结探究新知ABC应用格式：有两个角互余的三角形是直角三角形.例3如图，∠C=90°，

∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ACBDE((12解：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2，

∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.素养考点2利用直角三角形的判定定理识别直角三角形探究新知例3如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直4.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(

)A．锐角三角形

B．钝角三角形C．直角三角形

D．以上都有可能

C5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(

)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝2∠B＝3∠CD巩固练习4.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为()C5例4如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.探究新知例4如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是解6.如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．解：在△DBC中，∠DBC＝180°–∠BDC–∠C

＝180°–80°–70°＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.

在△ABD中，∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，∴△ABD是直角三角形．巩固练习6.如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝连接中考巩固练习

一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=_________．解析：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，

∴∠ADE=180°–∠CEA–∠BAE=75°，

∴∠BDC=∠ADE=75°.75°连接中考巩固练习一副透明的三角板，如图叠放，直角1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.90°2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=________.52°第1题图第2题图3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.直角三角形课堂检测基础巩固题1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°B5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C

B．∠A–∠B=∠C

C．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠CD课堂检测基础巩固题4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，

CD⊥AB，与∠1互余的角有（）A．∠B

B．∠AC．∠BCD和∠A

D．∠BCDC能力提升题课堂检测如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴△ACD是直角三角形.拓广探索题课堂检测如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余判定有两个角互余的三角形是直角三角形课堂小结直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余判定有两个课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习11.2与三角形有关的角11.2.2三角形的外角人教版数学八年级上册11.2与三角形有关的角人教版数学八年级上册足球比赛中的数学知识

在绿茵场上，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射门不易射偏？（不考虑其他因素）导入新知足球比赛中的数学知识

在绿茵场上，足球员在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？导入新知想一想在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯2.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和．1.理解并掌握三角形的外角的概念，能够在复杂图形中找出外角.素养目标3.会利用三角形的外角性质解决问题.2.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角BDCAO●40°70°？●●●发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？探究新知知识点1三角形的外角的概念BDCAO●40°70°？●●●利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？试猜想它的性质.BDCAO●40°70°？●●●由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.探究新知利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？思考：定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角.CBAD探究新知定义∠ACD是△ABC的一个外角.CBAD探究新知如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？E在三角形每个顶点处都有两个外角.∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；CBAD∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？问题1：问题2：探究新知如图，延长AC到E，∠BCE是不ABC画出△ABC的所有外角，共有几个呢?

每一个三角形都有6个外角．

每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.画一画探究新知ABC画出△ABC的所有外角，共有几个呢?三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.CBAD探究新知三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；CBADFABCDE如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.探究新知FABCDE如图，∠BEC是哪个三角形的三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？∠BCD与∠ACB互补.知识点2探究新知三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗？探究新知如图，△ABC的外角∠BCD与其不相D证明：过C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）∠2=∠A

，

（两直线平行，内错角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.探究新知D证明：过C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，三角形内角和定理的推论ABCD(((三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式：∵∠ACD是△ABC的一个外角.∴∠ACD=∠A+∠B.探究新知三角形内角和定理的推论ABCD(((三角形的外角等于与它不相1.说出下列图形中∠1和∠2的度数：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=40°，

∠2=140°∠1=18°，

∠2=130°巩固练习1.说出下列图形中∠1和∠2的度数：ABCD(((80°6例1

如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴

∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.解：FACDEB素养考点1利用三角形外角的性质求角的度数探究新知例1如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18分析：根据平行线的性质求出∠C，再根据三角形外角性质即可求出∠3.解：∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°.又∵∠2＝35°，∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.2.如图，直线AB，CD被BC

所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，

则∠3＝________度．80巩固练习分析：根据平行线的性质求出∠C，2.如图，直线AB，CD被例2

如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．

分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．E素养考点2借助辅助线求角的度数探究新知例2如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠A解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE

＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决.探究新知解：延长BP交AC于点E，方法点拨：求角的度数，常连接并延长如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.ABCD(((51°20°30°思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.变式题探究新知如图，∠A=51°，∠BABCD((20°30°解法一：连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.E

))12)3)4你发现了什么结论？探究新知ABCD((20°30°解法一：连接AD并延长于点E.EABCD(((51°20°30°E

)1解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.)2F

解题的关键是正确地构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.总结探究新知ABCD(((51°20°30°E)1解法二：延长B3.如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.证明：延长BO交AC于点D，因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C，所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.巩固练习D3.如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.证明：延长BO交如图①，试比较∠2、∠1的大小；如图②，试比较∠3、∠2、∠1的大小.图图解：∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠3＞∠2＞∠1.三角形的外角大于与它不相邻的内角.探究新知如图①，试比较∠2、∠1的大小；如图②，试比较∠4.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(

)A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1

B巩固练习4.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是()B巩固练习三角形的外角和定理例3如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.ABCEFD((((((213你还有其他解法吗？知识点3探究新知三角形的外角和定理例3如图，∠BAE，∠CBF，∠解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°–

180°=360°.ABCEFD((((((213探究新知解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，ABCEF解法三：过A作AM平行于BC，∠3＝∠4BC1234A∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°M∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAM，结论：三角形的外角和等于360°.思考

你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？DEF探究新知解法三：过A作AM平行于BC，∠3＝∠4BC1234A∠25.下列对三角形的外角和叙述正确的是(

)A．三角形的外角和等于180°B．三角形的外角和就是所有外角的和C．三角形的外角和等于所有外角和的一半D．以上都不对C巩固练习5.下列对三角形的外角和叙述正确的是()C巩固练习连接中考巩固练习1.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠EC