高中数学2 1 2 2函数表示法课件北师大版必修

成才之路·数学北师大版·

必修1第二章函数§1

生活中的变量关系§2

对函数的进一步认识函数的表示法第2课时学习方法指导思路方法技巧课堂巩固训练探索延拓创新课后强化作业知能自主梳理知能目标解读理解函数的三种表示方法：列表法、图像法、解析法．掌握求函数解析式的几种常用方法，掌握分段函数的表达形式．重点难点点拨重点：函数解析式的求法及函数的表示方法．难点：分段函数及应用．学习方法指导一、函数的三种表示方法各自的优缺点二、函数解析式的求法定义法(亦称配凑法)．换元法：形如f[g(x)]＝y

的函数，可令t＝g(x)，由此求出x＝φ(t)，然后代入解析式求解，但要注意新设变量“t”的范围．待定系数法：若已知所求函数类型，可先设出所求函数的解析式，然后由已知条件列方程(组)，再求系数．4．赋值法：有时令自变量取某些特殊值即可求得解析式．

5．方程组法：若已知式子含有f(x)，f1，或f(x)，f(－x)x等形式，可让

x

与1

x

与

x

互换等，从而构造出另互换，或－x一个方程，通过解方程组获解．三、函数图像及其画法图像是函数关系的直观体现，画好函数图像有利于问题的解决和对知识的深层理解．最基本的方法是列表描点法，其次还要注意充分挖掘题目中的隐含条件，根据平移关系或对称性作图，能够提高作图的速度和准确性．(1)描点法：取有限个自变量的值，对应求出函数值，每一组数据对应一个点，描出这些点，用光滑的曲线连接各点．其步骤为列表、描点、连线．对于一些未知图像的函数，此法是一种常用方法．(2)变换法：如果所研究的函数与我们熟知的基本函数存在密切联系，可以观察其特征，通过熟知函数的图像对称或平移变换得到．具体情况是：y＝f(x)与y＝f(－x)关于y

轴对称；

y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称；y＝f(x＋a)可由y＝f(x)左移a

个单位；y＝f(x)＋h

可由y＝f(x)上移h

个单位；y＝f(x－a)可由y＝f(x)右移a

个单位；

y＝f(x)－h

可由y＝f(x)下移h

个单位(a>0，h>0)等等．四、分段函数当x

在定义域中不同范围内取值时，如果对应关系f

是不同的，那么函数的解析式用分段的形式写出，称为分段函数．注意：(1)对于分段函数要掌握其意义，即在定义域的不同部分有不同的对应关系，要注意分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数．(2)分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集；分段函数的值域也是各段因变量取值范围的并集，是针对一个函数而言的．例如，y＝(3)分段函数的“段”可能是等长的，也可能是不等长的，1，－2≤x≤0，x，0<x≤3，其“段”是不等长的．分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值．在研究分段函数图像时，要特别注意定义域的制约作用．知能自主梳理1．函数的表示法2.分段函数在函数定义域内，对于自变量

x

的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫

．分段函数的定义域是各段定义域的

，其值域是各段值域的

．(填“交集”或“并集”)[答案]

1.表格表达式 解析式2．(1)分段函数函数

图像

函数

对应关系

解析(2)并集 并集思路方法技巧列表法表示函数[例1]下表给出的y

与x

的关系，是函数关系吗？x1921192719491949<x<1997199719992010y1234567[分析]

判断是否是函数关系，首先看问题是否具备函数的三要素，并且判断是否具备函数的基本特性．[解析]

x，y

的取值范围分别是A

＝

{1921,1927,1949,1997,1999,2010}

∪{x|1949<x<1997}，B＝{1,2,3,4,5,6,7}，它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的x∈A，在B

中都有唯一确定的值与之对应，所以y

是x

的函数．[方法总结]判断两变量是否具有函数关系，应以定义判定，即从函数的基本特征入手．[解析]

零售量是月份的函数．由表可知，因为对于集合{1,2，…，12}中任意一个值，y都有唯一确定的值与它对应，所以由它可确定y

是t

的函数.函数的三种表示方法[例

2]

某商场经营一批进价是

30元的商品，在市场试销中发现，此商品销售单价x

元与日销售量y

台之间有如下关系：x35404550…y57422712…在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)的对应点，并确定你认为比较适合的x与y的一个函数关系式y＝f(x)．[方法总结]这是一个综合了函数三种表示方法(列表法、图像法以及解析法)的问题．由表格可看到每一个销售单价与相应日销售量的关系，但却无法明确后面单价与日销售量的确切关系，在图像法中，看到日销售量的发展趋势，而解析法则能让我们明确其最终趋势，知道定什么样的价便有怎样的日销售量，不仅知道单价为35

元时的日销售量，还能知道36

元时的日销售量，通过此题能让我们充分认识到函数三种表示法的优点．[解析](1)列表法：x(台)12345y(元)3000600090001200015000求函数解析式[例

3]

求下列函数的解析式：已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x＋1)；已知

f(

x－1)＝x＋2

x，求

f(x)；已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)；1(4)已知f(x)－2fx＝3x＋2，求f(x)．

根据题中所给条件，可用拼凑法、换元法、待定[分析]系数法、解方程组的方法求解．[解析]

(1)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋2(2x＋1)x－1)＝(

x－1)2＋4(

x－1)＋3，而x－1≥＝4x2＋8x＋3.(2)解法一：f(－1，故所求的函数f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．解法二：设t＝

x－1，则t≥－1，且x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3.故所求的函数f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．(3)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.∴解得a2＝4，

a＝2，或a＝－2，ab＋b＝3，

b＝1，

b＝－3.故所求的函数为f(x)＝2x＋1

或f(x)＝－2x－3.

1(4)∵f(x)－2fx＝3x＋2，①

11∴fx－2f(x)＝3·x＋2.②x①②联立解得

f(x)＝－x－2

2.—x故所求的函数

f(x)＝－x－2

2(x≠0)．—[方法总结](1)换元法(或配凑法)是求函数解析式的重要方法，若不清楚函数类型，比如已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法或换元法，配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法可令g(x)＝t

及解出x，即用t

表示x，然后代入f[g(x)]中即可求得f(t)，从而求得f(x)．(2)待定系数法是求函数解析式的常用方法：若已知函数类型，可用待定系数法求解，若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出待定系数的方程组，进而求出待定的系数．[解析]

(1)∵f(1－x)＝x2－3x＋2＝(1－x)2＋1－x，∴f(x)＝x2＋x.令x＋1＝t，则t≥1.即x＝(t－1)2.则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．∵f(0)＝c＝0，∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1，∴2a＋b＝b＋1a＋b＝1⇒1a＝2，b1

＝2.∴f(x)＝1

1

.2x2＋2x函数的图像[例

4]

作出下列函数的图像：(1)y＝2x＋1(|x|≤1)；(2)y＝(x－2)2.[分析]

(1)是一次函数，定义域为[－1,1]，所以它是一条线段；(2)可以用描点法，也可以用图像变换法作出图像．[解析]

(1)y＝2x＋1(|x|≤1)是一次函数，定义域为[－1,1]所以它是一条线段．列表：x－11y－13[方法总结]

(1)函数的图像不一定是一条或几条无限延伸的平滑曲线，也可以是一条线段，一段曲线，甚至是一些点，这主要由函数的定义域决定．(2)画函数图像的基本方法有两种：①描点法；②图像变换法：以已知的常见函数的图像为基础，以平移、伸缩、对称等变换的意义为依据，经过对函数解析式的适当等价变形，得到所要的图像．(4)这个函数的图像由两部分组成：1当0<x<1

时，为曲线y＝x的一部分；当x≥1

时，为直线y＝x

的一部分，如图4.分段函数的求值[例5](1)设f(x)＝

11＋x2|x－1|－2，|x|≤1，|x|>11，则f[f(2)]＝(

)A.1B.

4

2

13C．－95D.2541(2)若函数f(x)＝x＋1(x≥0)f(x＋2)(x<0)，则

f(－2)＝

.[分析]

对于分段函数的求值问题，一定要注意自变量的取值范围，只有在自变量确定的范围内才可以代入运算．[解析]

(1)由于

1

1，所以

f(

)|2|<

21

＝

1|2－1|－23

3＝－2，而|－21＋(－2)2

3

2

13

134|>1，所以

f(－3)＝

1

＝

1

＝

4

，所以131

4

f[f(2)]＝

，选B.(2)由于－2<0，所以f(－2)＝f(－2＋2)＝f(0)，而0≥0，所以f(0)＝0＋1＝1，即f(－2)＝1.[答案](1)B(2)1[方法总结]

分段函数是考试的热点，由于分段函数能将不同的函数揉在一起，因此对于考查函数的性质方面可以有一定的覆盖，且可以考查分类讨论、数形结合的思想方法，因此备受关注．对于分段函数问题，一定要注意在每一段上函数定义域的不同，换言之，必须在相应定义域上研究函数，离开了定义域谈函数是没有任何意义的．探索延拓创新分段函数的图像及应用[例

6]

设

x∈(－∞，＋∞)，求函数

y＝2|x－1|－3|x|的最大值．[分析]

本题涉及含绝对值函数，应先分段讨论去掉绝对值符号，再画出分段函数的图像，然后解之．[解析]

当

x≥1

时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；当x<0

时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.－x－2，因此y＝－5x＋2，x＋2，x≥1，0≤x<1，x<0.[方法总结]函数图像直观性强，能够帮助我们正确理解概念和有关性质，数形结合是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，便于发现问题、启发思考，有助于培养综合运用数学知识来解决问题的能力．[答案]

1当2－x2≤x，即x≥1或x≤－2时，h(x)＝2－x2.故h(x)＝x2－x－2<x<1，x≥1或x≤－2.2如图所示，两个图像取下方的部分，即为此函数的图像，由图像可知：当x

取1

时，h(x)取最大值1，所以min{f(x)，g(x)}的最大值是1.已知函数f(x)＝xx21x∈(－∞，0)x∈[0，＋∞)，求f(x＋1)．[误解]1f(x＋1)＝x＋1x∈(－∞，0)(x＋1)2

x∈[0，＋∞).名师辨误做答[解析]

x＝－1∈(－∞，0)，此时1x＋1无意义，故上述解法错误．错误原因：根据函数的定义，若f(x)的定义域为A，则当

f[g(x)]中的

g(x)∈A

时，f[g(x)]才有意义，因而求

f[g(x)]时，必须要考虑g(x)∈A.[正解]1f(x＋1)＝x＋1x＋1∈(－∞，0)，(x＋1)2

x＋1∈[0，＋∞)，1即f(x＋1)＝x＋1x∈(－∞，－1)，(x＋1)2

x∈[－1，＋∞).课堂巩固训练一、选择题1．函数

y＝f(x)的图像与直线

x＝1

交点的个数是(

)A．0 B．0

或

1

C．1 D．1

或

2[答案]

B[解析]

根据函数的定义，

数

1

不一定属于

f(x)的定义域

A，若

1∈A，则有一交点，若

1∉A，则无交点．[答案]

D[解析]

A

不能表示函数

y＝f(x)的图像，因为当－1<x<1时，对于每个x，都有两个y

值与之对应；B

不能表示函数y＝f(x)的图像，因为x>0时，对每个x，都有两个y

值与之对应；C

不能表示函数y＝f(x)的图像，因为x＝0

时，y

有两个值±1

与之对应．D

能表示函数y＝f(x)的图像．[答案]

D[解析]

根据分段函数定义域的确定原则：将每一个段上函数的自变量的范围取并集，即：[－5,0]∪[2,6)．二、填空题4．已知函数

f(2x＋1)＝3x＋2，且

f(a)＝4，则

a＝

.[答案]73[解析]2t－1令

2x＋1＝t，则

x＝

，∴f(t)＝33

32t－2＋2＝2t＋1，∴f(x)＝3

＋1，又f(a)＝3a＋1＝4，∴a＝7.2

2x

2

2

2

35．已知f(x)＝2x＋1－(x－1)2的

x

的取值范围为

．[答案]

[－4,2]1(x≤0)(x>0)，使f(x)≥－1

成立[解析]f(x)≥－1

可化为2x≤0或