七年级数学下册专题《三角形全等的常见辅助线》考点突破试题（原卷版）

PAGEPAGE1专题04三角形全等的常见辅助线1)全等中常见辅助线总结方法1截长补短法(往往需证2次全等)截长补短法使用范围：线段和差的证明(1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段,再证剩下的那一段等于另一短线段.例：如图,求证BE+DC=AD方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE(2)补短：将短线段延长,证与长线段相等例：如图,求证BE+DC=AD方法：①延长DC至点M处,使CM=BE,证DM=AD;②延长DC至点M处,使DM=AD,证CM=BE(3)旋转：将包含一条短边的图形旋转,使两短边构成一条边,证与长边相等.注：旋转需要特定条件(两个图形的短边共线)例：如图,已知AB=AC,∠ABM=∠CAN=90°,求证BM+CN=MN方法：旋转△ABM至△ACF处,证NE=MN1．(2021·湖北八年级期末)如图,△ABC中,∠B=2∠A,∠ACB的平分线CD交AB于点D,已知AC=16,BC=9,则BD的长为()A．6 B．7 C．8 D．92．(2022·四川南充·八年级期末)(1)阅读理解：问题：如图1,在四边形中,对角线平分,．求证：．思考：”角平分线+对角互补”可以通过”截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在上截取,连接,得到全等三角形,进而解决问题;方法2：延长到点,使得,连接,得到全等三角形,进而解决问题．结合图1,在方法1和方法2中任选一种,添加辅助线并完成证明．(2)问题解决：如图2,在(1)的条件下,连接,当时,探究线段,,之间的数量关系,并说明理由;(3)问题拓展：如图3,在四边形中,,,过点D作,垂足为点E,请直接写出线段、、之间的数量关系．3．(2021·湖北)如图,△ABC为等边三角形,直线l经过点C,在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．(1)如图1,在l上位于C点左侧取一点E,使∠AEC＝60°,求证：△AEC≌△CDB;(2)如图2,点F、G在直线l上,连AF,在l上方作∠AFH＝120°,且AF＝HF,∠HGF＝120°,求证：HG＋BD＝CF;(3)在(2)的条件下,当A、B位于直线l两侧,其余条件不变时(如图3),线段HG、CF、BD的数量关系为．4．(2021·四川东辰国际学校八年级期末)已知在四边形ABCD中,∠ABC＋∠ADC＝180°,∠BAD＋∠BCD＝180°,AB＝BC(1)如图1,连接BD,若∠BAD＝90°,AD＝7,求DC的长度．(2)如图2,点P、Q分别在线段AD、DC上,满足PQ＝AP＋CQ,求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC(3)若点Q在DC的延长线上,点P在DA的延长线上,如图3所示,仍然满足PQ＝AP＋CQ,请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系,并给出证明过程．5．(2021·广西玉林市·八年级期末)在中,,点D、E分别在、上,连接、和;并且有,．(1)求的度数;(2)求证：．6．(2021·陕西西安·七年级期末)问题情境：已知,在等边△ABC中,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O,点M、N分别在直线AC,AB上,且∠MON＝60°,猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点,构造全等三角形,从而解决问题;小丽的思考过程是在AB取一点,构造全等三角形,从而解决问题;问题解决：(1)如图1,M、N分别在边AC,AB上时,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明;(2)如图2,M在边AC上,点N在BA的延长线上时,请你在图2中补全图形,标出相应字母,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明．7．(2021·四川八年级期末)如图1,在等边三角形中,于于与相交于点．(1)求证：;(2)如图2,若点是线段上一点,平分交所在直线于点．求证：．(3)如图3,若点是线段上一点(不与点重合),连接,在下方作边交所在直线于．猜想：三条线段之间的数量关系,并证明．方法2.与中点有关的辅助线1).已知中点(1)中线倍长法：将中点处的线段延长一倍.目的：①构造出一组全等三角形;②构造出一组平行线.将分散的条件集中到一个三角形中去.1．(2021·四川七年级期末)在△ABC中,AB＝AC,点D是△ABC内一点,点E是CD的中点,连接AE,作EF⊥AE,若点F在BD的垂直平分线上,∠BAC＝α,则∠BFD＝_________．(用α含的式子表示)2．(2021·河北邢台·八年级期中)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入．【探究与发现】如图1,延长△ABC的边BC到D,使DC＝BC,过D作DE∥AB交AC延长线于点E,求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2,已知在△ABC中,点E在边BC上且∠CAE＝∠B,点E是CD的中点,若AD平分∠BAE．(1)求证：AC＝BD;(2)若BD＝3,AD＝5,AE＝x,求x的取值范围．3．(2021·广东东莞·八年级期中)如图1,在△ABC中,若AB＝10,BC＝8,求AC边上的中线BD的取值范围．(1)小聪同学是这样思考的：延长BD至E,使DE＝BD,连接CE,可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD;②中线BD的取值范围是．(2)问题拓展：如图2,在△ABC中,点D是AC的中点,分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中,AB＝BM,BC＝BN,∠ABM＝∠NBC＝∠90°,连接MN．请写出BD与MN的数量关系,并说明理由．4．(2021·山东八年级期末)(1)方法呈现：如图①：在中,若,,点D为BC边的中点,求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使,再连接BE,可证,从而把AB、AC,集中在中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________,这种解决问题的方法我们称为倍长中线法;(2)探究应用：如图②,在中,点D是BC的中点,于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,判断与EF的大小关系并证明;(3)问题拓展：如图③,在四边形ABCD中,,AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点,若AE是的角平分线．试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系,并加以证明．5．(2021·上海九年级专题练习)已知,在中,,点为边的中点,分别交,于点,．(1)如图1,①若,请直接写出______;②连接,若,求证：;(2)如图2,连接,若,试探究线段和之间的数量关系,并说明理由．6．(2021·江苏八年级期末)如图,在△ABC中,AD是高,E、F分别是AB、AC的中点,AB＝8,AC＝6．(1)求四边形AEDF的周长;(2)若∠BAC＝90°,求四边形AEDF的面积．(2)向中线作垂线：过线段两端点向中点处的线段作垂线.目的：构造出一组全等三角形辅助线技巧：锐角三角形的垂线在中线线段上;钝角三角形的垂线在中线线段的延长线上.1．(2021·全国初三专题练习)如图,是延长线上一点,且,是上一点,,求证：.2．(2021·全国初三专题练习)如图,已知AD为△ABC的中线,点E为AC上一点,连接BE交AD于点F,且AE＝FE.求证：BF＝AC．3．(2020.广东省七年级期中)如图,△ABC中,D为BC的中点,(1)在图中作出CM⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为M、N;(2)求证：DM＝DN;(3)求AD＝3,求AM+AN的值．4．(2020·辽宁鞍山市·八年级期中)阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知：如图,点E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等,常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等,因此,要证AB＝CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．(1)现给出如下两种添加辅助线的方法,请任意选出其中一种,对原题进行证明．①如图1,延长DE到点F,使EF＝DE,连接BF;②如图2,分别过点B、C作BF⊥DE,CG⊥DE,垂足分别为点F,G．(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线,并对原题进行证明．5．(2021·江苏八年级期中)通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题：(模型呈现)(1)如图,,,过点作于点,过点作于点．由,得．又,可以推理得到．进而得到__________,．我们把这个数学模型称为”字”模型或”一线三等角”模型;(模型应用)(2)如图,,,,连接,,且于点,与直线交于点．求证：点是的中点;(深入探究)(3)如图,已知四边形和为正方形,的面积为,的面积为,则有__________(填”＞、=、＜”)(4)如图,分别以的三条边为边,向外作正方形,连接、、．当,,时,图中的三个阴影三角形的面积和为__________;(5)如图,点、、、、都在同一条直线上,四边形、、都是正方形,若该图形总面积是16,正方形的面积是4,则的面积是__________．6．(2021·黑龙江八年级期中)在中,直线经过点,于,于,于．请解答下列问题：(1)如图①,求证：;(提示：过点作于)(2)如图②、图③,线段,,之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需要证明;(3)在(1)(2)的条件下,若,,,则______．二、证中点(需证2次全等)(1)过端点作另一边的平行线：目的：构造出一组全等三角形特点：中线倍长的反向应用1．(2020·安徽八年级期末)如图,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD＝CE,连接DE交底BC于G.求证：GD＝GE.2．(2020·华中科技大学同济医学院附属中学八年级月考)如图1,△ABC中,AB＝AC,点D在AB边上,点E在AC的延长线上,且CE＝BD,连接DE交BC于点F．⑴求证：EF＝DF;⑵如图2,过点D作DG⊥BC,垂足为G,求证：BC＝2FG.3．(2021·河南新乡·八年级期末)如图所示：是等边三角形,、分别是及延长线上的一点,且,连接交于点．求让：4．(2021·湖北·八年级期中)P为等边△ABC的边AB上一点,Q为BC延长线上一点,且PA＝CQ,连PQ交AC边于D．(1)证明：PD＝DQ．(2)如图2,过P作PE⊥AC于E,若AB＝6,求DE的长．5．(2021·江苏盐城·八年级阶段练习)已知在等腰△ABC中,AB=AC,在射线CA上截取线段CE,在射线AB上截取线段BD,连接DE,DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图(1),当点E在线段AC上,点D在AB延长线上时,若BD=CE,请判断线段MD和线段ME的数量关系,并证明你的结论．(2)如图(2),当点E在CA的延长线上,点D在AB的延长线上时,若BD=CE,则(1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由;(3)如图(3),当点E在CA的延长线上,点D在线段AB上(点D不与A,B重合),DE所在直线与直线BC交于点M,若CE＝2BD,请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．(2)两端点向中线作垂线：目的：构造出一组全等三角形特点：与已知中点时向中线作垂线方法一致1．(2021·全国初三专题练习)如图,在中,,,,,延长交于.求证：.2．(2020.河北省期中)如图．∠C＝90°,BE⊥AB且BE＝AB,BD⊥BC且BD＝BC,CB的延长线交DE于F.(1)求证：点F是ED的中点;(2)求证：S△ABC＝2S△BEF．3．(2021·吉林八年级期末)如图①,∠BAD=90°,AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥CA的延长线点E,由∠1+∠2=∠D+∠2=90°,得∠1=∠D,又∠ACB=∠AED=90°,AB=AD,得△ABC≌△DAE进而得到AC=DE,BC=AE,我们把这个数学模型称为”K字”模型或”一线三等角”模型．请应用上述”一线三等角”模型,解决下列问题：(1)如图②,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC、DE,且BC⊥AH于点H,DE与直线AH交于点G,求证：点G是DE的中点．(2)如图③,在平面直角坐标系中,点A为平面内任意一点,点B的坐标为(4,1),若△AOB是以OB为斜边的等腰直角三角形,请直接写出点A的坐标．4．(2021·山东·济宁学院附属中学七年级期中)如图,AB＝AD,AC＝AE,,AH⊥BC于H,HA的延长线交DE于G,下列结论：①DG＝EG;②BC＝2AG;③AH＝AG;④,其中正确的结论为()A．①②③