带电粒子在磁场中的运动1剖析课件

带电粒子在匀强磁场中的运动

第三章磁场带电粒子在匀强磁场中的运动Bm,qv由洛伦兹力提供向心力rmv2qvB

=轨道半径：qBmvr=运动周期：vT=2rqB2m=——对于确定磁场，有Tm/q，仅由粒子种类决定，与R和v无关。角速度：频率：动能：解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本环节找圆心：已知两个速度方向：可找到两条半径，其交点是圆心。已知入射方向和出射点的位置：通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作中垂线，交点是圆心。定半径：主要由三角形几何关系求出（一般是三角形的边边关系、边角关系、全等、相似等）求时间：vOOvvθ解决带电粒子在匀强磁场中偏转的基本思路BLv(1)先画好辅助线（半径、速度及延长线）

yROθ(2)偏转角θ由sinθ

=L/R求出(3)侧移量y由R2=L2－(R－y)2解出(4)时间：θdeBv0deBv0r+rcosθ

=ddeBv0r－rcosθ

=

d解决带电粒子在匀强磁场中偏转的基本思路r

=

d如图，长为L的水平不带电极板间有垂直纸面向内的匀强磁场B，板间距离也为L，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则粒子入射速度v应满足什么条件？+q,mvLBLdm-qAvOαRd带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短mvdBqRd=sin=BqmvdBqm

arcsin=vmvdBqR

arcsin=v/R=t=

一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为d。在垂直B的平面内的A点，有一个电量为－q、质量为m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（已知mv/Bq

>d）题1——模型识别错误！！！dm-qAvOαRd对象模型：质点过程模型：匀速圆周运动规律：牛顿第二定律+圆周运动公式条件：要求时间最短wa==vst

速度v不变，欲使穿过磁场时间最短，须使s有最小值，则要求弦最短。

一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为d。在垂直B的平面内的A点，有一个电量为－q、质量为m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（已知mv/Bq

>d）题1dm-qAvθO中垂线θ与边界的夹角为（90º－θ

）BqmvdBqm2arcsinRvt===2qw2qmvdBqRd22/sin==q

一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为d。在垂直B的平面内的A点，有一个电量为－q、质量为m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（已知mv/Bq

>d）题1启示：要正确识别物理模型当带电粒子从同一边界入射、出射时速度与边界夹角相同——对称性带电粒子在直边界磁场中的运动如图，在足够大的屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，P为屏上一小孔，PC与MN垂直。一束质量为m、电荷量为－q的粒子（不计重力）以相同的速率v从P处射入磁场区域，粒子入射方向在与磁场垂直的平面里，且散开在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中区域的长度为（）qB2mvA.qB2mvcosθB.qB2mv(1-sinθ)C.qB2mv(1-cosθ)D.MNCθθPθθθθDOyxBv60º如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B。质量为m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)，在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60º角，试分析计算：穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？带电粒子在磁场中运动时间多长？如粒子带正电，则：如粒子带负电，则：60º120º

y

x

Ov

v

aB60º一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力）从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。Bqmvar32==aqmvB23=得射出点坐标为（0，）a3O′解析：如图，在POQ区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流(不计重力)，沿纸面垂直于磁场边界OQ方向从A点垂直边界射入磁场，已知OA=d，∠POQ=45º，离子的质量为m、带电荷量为q、要使离子不从OP边射出，离子进入磁场的速度最大不能超过多少？

POQAv0BBvO边界圆带电粒子在匀强磁场中仅受磁场力作用时做匀速圆周运动，因此，带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。带电粒子在圆形磁场中的运动两种基本情形：轨迹圆O′αθθ+α=

π两圆心连线OO′与点C共线。BO边界圆轨迹圆BCAO＇θO1Rθ2例、如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场B。电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：（1）电子在磁场中运动轨迹的半径R；（2）电子在磁场中运动的时间t；（3）圆形磁场区域的半径r。vBOrvθ解：（1）（2）由几何关系得：圆心角：α

=

θ（3）由如图所示几何关系可知，所以：例、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm的圆形筒内有B=1×10－4

T

的匀强磁场，方向平行于轴线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一束比荷为q/m=2×1011C/kg的正离子，以不同角度α入射，其中入射角

α=30º，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度v大小是（）

A．4×105

m/sB．2×105

m/sC．4×106

m/sD．2×106

m/s解：rmv2qvB=αaObO′rr作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于O′点，O′点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁场中的轨迹如图示：∠a

O′b=2=60º，∴r=2R=0.2mC例、一磁场方向垂直于xOy平面，分布在以O为中心的圆形区域内。质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30º，P到O的距离为L。不计重力。求磁感强度B磁场区域的半径R。基本思路：ByxvOPLv30°Rr解析：2）找出有关半径的几何关系：1）作出运动轨迹；L=3r3）结合半径、周期公式解。evB

=Rmv2qLmvB3=LR33=变式：如图所示，一带负电荷的质点，质量为m，带电量为q，从M板附近由静止开始被电场加速，又从N板的小孔a水平射出，垂直进入半径为R的圆形区域匀强磁场中，磁感应强度为B，入射速度方向与OP成45°角，要使质点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差U为多少？BvOBqT=2m2t=TθBqθmt=例、如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（）A．射入时的速度一定较大B．在该磁场中运动的路程一定较长C．在该磁场中偏转的角度一定较大D．从该磁场中飞出的速度一定较小θ1R1s1θ2R2s2BqmvR=tθRsCD例、如图，带电质点质量为m，电量为q，以平行于Ox

轴的速度v

从y

轴上的a

点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x

轴上的b

点以垂直于Ox

轴的速度v

射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。yOaxbv02RBOrrMN解：质点在磁场中圆周运动半径为r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是1/4圆周，如图中M、N两点间的圆弧。在通过M、N两点的不同的圆中，最小的一个是以MN

连线为直径的圆周。圆形磁场区域的最小半径qBmvMNR221==

（08四川延考卷）一质量为m，带电量为+q的带电粒子（不计重力），以初速度v0沿+x轴方向运动，从O点处进入一个边界为圆形的方向垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。粒子进入磁场做圆周运动的轨道半径大于圆形磁场的半径，改变圆形磁场圆心的位置，可以改变粒子在磁场中的偏转角度。为使粒子从磁场中射出后一定能打到y轴上，求满足此条件下磁场半径r的范围。题目BxyOv0BBBxyOv0B30°OPAv0变式：如图，倾角30º的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有小孔P，质量m=4×10－20kg，带电量q=+2×10－14C的粒子，从小孔以速度v0=3×104m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直档板，且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计。求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；（2）粒子在磁场中运动的时间；（3）正三角形磁场区域的最小边长。abco160°egf解：（1）由得：

30°OPAv0abco160°egf（2）画出粒子的运动轨迹如图，可知（3）由数学知识可得：

得：例、如图，质量为m、带电量为+q

的粒子以速度v

从O点沿y

轴正方向射入磁感应强度为B

的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b

处穿过x轴，速度方向与x

轴正方向的夹角为30º，同时进入场强为E、方向沿与与x

轴负方向成60º角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的C点。不计重力，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）C点到b点的距离h。vyxEbO30°60°vhAO2O1vyxEbO30°60°vhAO2O1解：(1)

反向延长vb交y轴于O2

点，作∠bO2

O的角平分线交x

轴于O1

，O1即为圆形轨道的圆心，半径为R=OO1=mv/qB，画出圆形轨迹交bO2于A点，如图虚线所示。最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图示：Smin

=r23m2v24q2B2=OA=2rqBmv3=hsin30º=vth

cos30º=21qEm·t2(2)b到C

受电场力作用，做类平抛运动∴t=2mv/qE·tan30º例、如图，质量为m、电量为q的正离子，从A点正对圆心O以某一速度射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出，问发生碰撞的最少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间t？设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。t=m/Bq2次BvOBvOO′αθα+θ=[解析]根据对称性可以看出粒子与筒壁碰撞时其速度方向一定是沿圆筒半径方向的。粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能出现3次、4次、5次……n次碰撞。例、如图，在半径为R的圆筒内有匀强磁场，质量为m，带电量为q的带电粒子在小孔A处以速度v向着圆心射入，问磁感应强度为多大，此粒子才能绕行一周后从原孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少？（设相碰时电量和动能皆无损失）无论经过多少次碰撞，因粒子最终从原孔返回，故粒子在磁场中的各段轨迹圆弧对应的圆心角的余角总和一定是360º。BvO设粒子在磁场中的轨道半径为r，如图。把磁场圆周分为n等份，粒子经n－1次碰撞返回A，则有：解：r=Rtanα2nα

＝

2πn=Rtanp两次碰撞间粒子运动时间：两次碰撞间轨迹圆圆心角：AOvRrO′αθC思考：上述解答是基于粒子在筒壁内绕筒壁一周经n次碰撞射出的情况，若粒子在筒壁内绕筒壁一周不能射出呢？将B代入后可得解：AOvRrO′αθC（1）设带电粒子在圆筒内绕筒壁k周、与筒壁经n次连续碰撞后仍能从A孔射出，则每连续相邻两次碰撞点所对应的圆心角为α满足：（2）如图所示，∠AOC=θ，而θ+α=π，有所以带电粒子在磁场中运动的时间为(n+1)α=2kπr=Rtanα2k=1,2,3,……与k相对应的n的取值范围为n>2k-1的正整数。即得：又：r=mv/BqmvBqRcotkπ=n+1例、平行金属板M、N间距离为d。其上有一内壁光滑的半径为R的绝缘圆筒与N板相切，切点处有一小孔S。圆筒内有垂直圆筒截面方向的匀强磁场，磁感应强度为B。电子与孔S及圆心O在同一直线上。M板内侧中点处有一质量为m，电荷量为e的静止电子，经过M、N间电压为U的电场加速后射入圆筒，在圆筒壁上碰撞n次后，恰好沿原路返回到出发点。（不考虑重力，设碰撞过程中无动能损失）求：⑴电子到达小孔S时的速度大小；⑵电子第一次到达S所需要的时间；⑶电子第一次返回出发点所需的时间。MNmeORS解：⑴根据得加速后获得的速度⑵设电子从M到N所需时间为t1，则：得⑶电子在磁场做圆周运动的周期为电子在圆筒内经过n次碰撞回到S，每段圆弧对应的圆心角n次碰撞对应的总圆心角在磁场内运动的时间为t2（n=1，2，3，……）MNSmeOθ1R例、如图，圆形区域内，两方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60º，一质量为m、带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30º角的方向射入磁场，随后该项粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场，已知该粒子从射入到射出磁场所用时间表为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。qtmB352p=qtmB651p=A3A4A2A1O60°ⅡⅠ30°A3A4A2A1O60°ⅡⅠ30°解：粒子在磁场中的运动轨迹如图示:用B1,B2,

R1,

R2,

T1,

T2,t1,t2分别表示在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的磁感应强度，轨道半径和周期及运动时间。设圆形区域的半径为r，则R1=A1A2=r，R2=r/2。t1=T1/6，t2=T2/2由qvB

=mv2/R得：R1=mv/qB1=r

，R2=mv/qB2=r/2，∴B2=2B1

T1=2πR1/v=2πm/qB1T2=2πR2/v=2πm/qB2t1+t2=t

即πm／3qB1+πm／qB2=t例、如图，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2为两正对小孔，板右侧有两宽度均为d的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向如图。磁场区域右侧有一个荧光屏。取屏上与S1、S2共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴。电子枪K发射出的热电子经S1进入两板间，电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略。（1）求U在什么范围内，电子不能打到荧光屏上？（2）试定性地画出能打到荧光屏上电子运动的轨迹。（3）求电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系。NddBBM+-OxS1S2荧光屏K（1）根据动能的定理得：eU0=mv02/2欲使电子不能打到荧光屏上，应有：

r=mv0/eB≤d

，（2）电子穿过磁场区域而打到荧光屏上时运动的轨迹如图所示。解：由此即可解得：U≤B2d2e/2m。OxdBdB（4）若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为r，穿过磁场区域打到荧光屏上的位置坐标为x，则由（2）中的轨迹图可得：

注意到：

r=mv/eB

和eU

=mv2/2所以，电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系为：练：在真空中，半径为

R=0.2m的圆形区域内存在垂直纸面向外的B=1T的匀强磁场，此区域外围足够大空间有垂直纸面向里的大小也为B的匀强磁场，一带正电的粒子从边界上的P点沿半径向外，以速度v0=5×103m/s进入外围磁场，已知粒子带电量q=5×10－6C，质量m=2×10－10kg，不计重力。试画出粒运动轨迹并求出粒子第一次回到P点所需时间（计算结果可以用π表示）。Pv0BB解析：由洛伦兹力提供向心力，qv0B=mv02/r，r=0.2m=R。轨迹如图所示。T=2r/Bq

=8π×10－5s运动周期为t=2T=16π×10－5s例、如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度大小均为B。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：（1）中间磁场区域的宽度d；（2）带电粒子的运动周期。B1EOB2LdO1O3O2由以上两式，可得（2）在电场中运动时间在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间则粒子的运动周期为带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：解：（1）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：粒子在两磁场区运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为：B1EOB2LdO1O3O2例、如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的半径为r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场B。在两极间加上电压。一质量为m、带电量为+q的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）OabcdqS解析：qUmv212=qBvRvm2=2mBqrU220=半径R=r0例、如图，很长的平行边界面M、N与N、P间距分别为l1与l2，其间分别有磁感应强度为B1与B2的匀强磁场区Ⅰ和Ⅱ，磁场方向均垂直纸面向里。己知B1≠B2，一个带正电的粒子电量为q，质量为m，以大小为v0的速度垂直边界M与磁场方向射人MN间磁场区，试讨论粒子速度v