2022年湖南省娄底市新化县第十一中学高三数学理期末试卷含解析

2022年湖南省娄底市新化县第十一中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在边长为2的菱形ABCD中，，E是BC的中点，则A. B. C. D.参考答案：D【分析】选取向量为基底，用基底表示，然后计算．【详解】由题意，，．故选D．【点睛】本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示．2.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A． B． C．3 D．2参考答案：A设椭圆离心率，双曲线离心率，由焦点三角形面积公式得，即，即，设，由柯西不等式得最大值为.3.

已知向量，,,则(

)A.

B.

C.5

D.25参考答案：C4.奇函数满足对任意都有且，则＝________。A.－8 B.8 C.－9 D.9参考答案：C略5.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点），则p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，建立方程，即可求出p的值．【解答】解：设A（a，b），则b2=2pa，=1，a+=2a，解得p=2，故选B．6.设的内角所对的边分别为.若，则的形状为（

）A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.不确定参考答案：A7.已知α是第一象限角，sinα=，则tan=（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意首先求得tan的取值范围，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系得到关于的方程，解方程即可确定的值.【详解】∵α是第一象限角，sinα，∴2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴kπkπ，k∈Z，∴0<tan1，∴sinα＝2sincos，整理得：12tan225tan12＝0，解得tan（舍去）或tan．故选D．【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.执行如图所求的程序框图，输出的值是（

）A．4

B．5

C.6

D．7参考答案：C9.设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，n=1，2，3，…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，，则∠An的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】数列递推式．【分析】根据数列的递推关系得到bn+cn=2a1为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论．【解答】解：∵an+1=an，∴an=a1，∵，，∴bn+1+cn+1=an+=a1+，∴bn+1+cn+1﹣2a1=（bn+cn﹣2a1），又b1+c1=2a1，∴当n=1时，b2+c2﹣2a1=（b1+c1+﹣2a1）=0，当n=2时，b3+c3﹣2a1=（b2+c2+﹣2a1）=0，…∴bn+cn﹣2a1=0，即bn+cn=2a1为常数，∵bn﹣cn=（﹣）n﹣1（b1﹣c1），∴当n→+∞时，bn﹣cn→0，即bn→cn，则由基本不等式可得bn+cn=2a1≥2，∴bncn≤（a1）2，由余弦定理可得=﹣2bncncosAn=（bn+cn）2﹣2bncn﹣2bncncosAn，即（a1）2=（2a1）2﹣2bncn（1+cosAn），即2bncn（1+cosAn）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosAn），即3≤2（1+cosAn），解得cosAn≥，∴0＜An≤，即∠An的最大值是，故答案为：．10.点为圆内弦的中点，则直线的方程为（

）A． B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为图象上任意一点，为在点处的切线，则坐标原点到距离的最小值为

．参考答案：212.若复数，，，且与均为实数，则

-----

▲

．参考答案：答案：13.若双曲线的离心率为，则实数m=_________.参考答案：2

14.设f(x)是R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)·f(x)－2x·f(x)＜0，则不等式f(x)＞0的解集为

▲

．参考答案：(－∞,－1)∪(0,1)因为′＝，而(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，所以′＜0，令g(x)＝，则函数g(x)在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g(－1)＝－g(1)＝0，作出函数g(x)的大致示意图，由图可知g(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．

15.已知双曲线，A1、A2是它的两个顶点，点P是双曲线上的点，且直线PA1的斜率是，则直线PA2的斜率为______.参考答案：2【分析】设P（x0，y0），则，，由A1（﹣1，0），A2（1，0），知k1k2，由此能求出直线PA2的斜率．【详解】设P（x0，y0），则，∴，∵A1（﹣1，0），A2（1，0），设直线PA1斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，∴k1k2，∵k1，∴k2．故答案为：2．【点睛】本题考查两直线的斜率之积的求法，考查曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考查了分析问题的能力，属于基础题．16.定义设实数满足则的取值范围是

.参考答案：17.设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△ABC的三内角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且sin（A﹣）=．（1）求tanA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．参考答案：【考点】解三角形．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）利用差角的正弦公式，即可求tanA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，可求c，利用余弦定理求a的值．【解答】解：（1）∵sin（A﹣）=，∴（sinA﹣cosA）=，∴sinA﹣cosA=，∴sinAcosA=，∴sinA=，cosA=，∴tanA=；（2）∵△ABC的面积S=24，b=10，∴24=，∴c=6，∴a==8．【点评】本题考查差角的正弦公式、三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.（本小题满分14分）已知抛物线：和直线没有公共点（其中为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为，且直线恒过点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知为坐标原点，连接交抛物线于两点，且点在线段之间，求的值.参考答案：（Ⅰ）设依题意可得：直线的方程为，直线的方程为．

可得直线方程恒过点，则∴C的方程为…………7分（Ⅱ）由图知四点共线，可得可转化为距离，设，直线与抛物线方程联立可得，，而展开化简可求得为0，∴=0…………14分20.已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围；设，当时，若，且，求证：.参考答案：在上是单调递增函数,在上，恒成立，即：设，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，，即.方法一：因为，所以，所以在上为增函数，因为，即，同号，所以不妨设,设，…8分所以，因为，，所以，所以在上为增函数，所以，所以，所以，所以，即.方法二：

，设

，则，在上递增且令，设,

，，，在上递增，，，令

即：

又，即：在上递增，即：得证.21.已知动圆C过定点M(0，2)，且在x轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求曲线C方程；（Ⅱ）点A为直线：上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，DAPQ面积的最小值及此时点A的坐标.参考答案：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为，根据题意得，……2分化简得.…………4分（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，由消去得设，则，且……………6分以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为即同理过点的切线的方程为设两条切线的交点为在直线上，，解得，即则：，即……8分代入到直线的距离为…………10分当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为.…………12分解法二：设在直线上，点在抛物线上，则以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为即同理以点为切点的方程为…………6分设两条切线的均过点，则，点的坐标均满足方程，即直线的方程为：……………8分代入抛物线方程消去可得：到直线的距离为………………10分所以当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为.…………12分22.（10分）（2011?辽宁）如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．参考答案：【考点】圆內接多边形的性质与判定．

【专题】证明题．【分析】（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．【解答】解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD因为A，B，C，D四点在同一圆上，