双曲线的简单几何性质(经典)6647

双曲线的简单几何性质x2y2【知识点1】双曲线-2＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于两个顶点：A(-a,0),A(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a，虚轴长为2b，且c＝2a+b22.a2bx轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：12bx2y2a(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±x，或令双曲线标准方程-2＝1中的a2b1为零即得渐近线方程.ca(5)离心率e＝＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.2(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x-y＝a(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝.222x2y2x2y2(7)共轭双曲线：方程-＝1与2-2＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注a2b2ab意方程的表达形式.x2y2x2y2注意：（1）与双曲线-2＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为-2＝λ(λ≠0且a2ba2bλ为待定常数)x2y2x2y2b2（2）与椭圆+2＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为-＝1(λ＜a,其中b-2λ＞0时a2ba22为椭圆，b＜λ＜a2时为双曲线)2a2cca（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝的距离之比等于常数e＝(c＞a＞b2c0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.1、写出双曲线方程x2y21的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程492532、已知双曲线的渐近线方程为yx，求双曲线的离心率43、求以2x3y0为渐近线，且过点p（1,2）的双曲线标准方程44、已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程。3A23,35、求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率．xy221169【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所得截的弦为AB，A、B两点分别为A(x，y)、B(x，y)，则弦长AB1k(1k2)[()24xx]122xxxx1211222111yy(11)[(yy)24yy],这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想.k2k2211212（2）．中点弦问题：处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x，y)、B(x,y)为椭1122圆x221（a>b>0）上不同的两点，M(x，y)是AB的中点，则KK=b2；对于双曲线x2y21（a>0，y00ABOMa2b2a2a2b22pyyb>0），类似可得：KK=b2；对于y=2px（p≠0）抛物线有K＝；另外，也可以用韦达定理来处理.2ABOMABa212x2y21(a0,b0)只有一个交【题型一】直线与双曲线的交点问题：过平面内任一点P作直线与双曲线a2b2点，这样的直线有几条（几何角度）6、若y=kx-1与双曲线x2y24只有一个公共点,求k的范围.【变1】有两个公共点【变2】无公共点【变3】与右支有两个公共点【变4】与右支只有一个公共点7、过双曲线x2y21的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,这样的直线有几条2【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率(0，1)e，双曲1e，抛物线的离心率来解决。e1线的离心率xy228、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F，F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂ab22122足为H，若FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________．2xy229、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C22ab的圆心，则该双曲线的方程为________．已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式ec二、直接求出a、c，求解e：来解决。axa221（aby0）的左准线上，过点P且方向为a(2，5)的光线经10、点P（－3，1）在椭圆2b2直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】.31321A.B.C.D.232e三、构造a，c齐次式，解出：根据题设条件关系式，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e。x2y21(a0，b0)FF是双曲线、11、已知的两焦点，以线段FF为边作正三角形MFF，若边12a2b21212MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是【】.131A.4233131B.C.D.2x2y2(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于12、过双曲线＝1M、N两点，以MN为a2b2直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________。四、寻找a与c的关系式：由于离心率是c与a的比值，故不必分别求出a、c的值，可寻找a与c的关系式，即a用c来表示即可解决。13、设椭圆的两个焦点分别为FF，过、F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等△FPF12腰直角三角形，122则椭圆的离心率是【】.221C.22D.21A.B.22五、统一定义法：由圆锥曲线的统一定义，知离心率e是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，特别适用|MF|问题，即e。半径的圆锥曲线d于条件含有焦x2y21(ab0)14、设椭圆a的右焦点为F，右准线为F且垂直于x轴的弦长等于点l，若过F到l的111112b2距离，则椭圆的离心率是____________。3】三种常见的解题方法（1）转换法——为解题化归立意【总结x2y21的右焦点，斜率k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的15、直线l过双曲线a2b2离心率e的范围是【】2355A.e>B.1<e<C.1<e<D.e>（2）几何法——使数形结合带上灵性y216、设P为双曲线x21上的一点，F，F是该双曲线的两个焦点，若|PF|:|PF|3:2，则△PFF的12121212面积为【】631212324．A．B．C.D（3）设而不求17、双曲线x2y21的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为【】A.y2x1B.y2x2C.y2x3D.y2x3——与借舟弃舟同理18、在双曲线x2y21上，是否存在被点M（1，1）平分的弦如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，2请说明理由。◆高考题选xy221(a0,b0)的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线11.（浙江卷）过双曲线a2b2的交点分别为B,C．若AB12BC，则双曲线的离心率是【】23510D．A．B．C．xy221(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直2.（浙江卷）已知椭圆a2b2线AB交y轴于点P．若AP2PB，则椭圆的离心率是【】3A．22B．21312C．D．x221的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r=【】.y3.（全国卷）双曲线633（A）（B）2（C）3（D）6xy24.（江西卷）设F和F为双曲线1221F，Fa0,b0)的两个焦点,若，P(0,2b)是正三角形的三个(a2b212顶点,则双曲线的离心率为【】.3A．25B．2C．D．32xy221(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为【】.235.设双曲线ab222Dy12xAy2xBy2xCyx2xy2xy22121ykx2与椭圆至多有一个交6.(湖北卷)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线224b2点的充要条件是【】.221122112222,A.K,B.K,,C.K,D.K,2222x2y21(b0)的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为yx，点FF7.（四川卷文）已知双曲线2b212P(3,y)在双曲线上.则PF·PF＝【】.120A.－12B.－2C.0D.4xy221(a0,b0)只有一个交点，这样的直线有几条（几何1】过平面内任一点P作直线与双曲线ab22【问题角度）【答案】P在双曲线内，有P在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；P在双曲线外，若P在渐近线上且P为原点时，若P在渐近线上且2条（分别与渐近线平行）；0条；P不为原点时，2条（与另一渐近线平行的一条，切线一条）；若P不在渐近线上，0条；有4条（与渐近线平行的有两条，切线两条）；8答案2baab解析取双曲线的渐近线y＝x，则过F与渐近线垂直的直线方程为y＝－(x－c)，可解得点H的坐标为2aabacab＋222c2cxy(a＋c)ab22222222，，则FH的中点M的坐标为，，代入双曲线方程－＝1可得－＝1，整理得c2cc44abaccb2222222c＝2a2，即可得e＝＝2.axy22xyba229答案－＝1解析∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，2254ab圆C的标准方程为(x－3)＋2y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，3b即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴＝2，∴5b2＝4a2.①a＋b22xy22又∵－＝1的右焦点F(a2＋b2，0)为圆心C(3,0)，2ab22xy22∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.5410解：由题意知，入射光线为y15(x3)，关于y2的反射光线（对称关系）为5x2y50，2a23，c3c知，故则P（－3，1）在左准线上，左焦点在反射光线上，有解得a3，1eca35c50选A。c11解：如图1，MF的中点为P，则点P的横坐标为。由|PF|21|FF|c，焦半径公式|PF|exa211121P有cc×(c)a，即c2a22ac02a2有e2220e解得e13(e13舍去)，故选D。12解：如图2，所给的语言可转化为通径|MN|2|FA|，即2b22×()ca得b2aac，a21caaac故ee20解得e2或e1（舍）故填222213解：由题意，得|PF|2|PF|2|FF|22c。又由椭圆的定义，得|PF||PF|2a，即121212a(21)c得ec21，故选D。a22c2c2a，则14解：据椭圆的第二定义及题意，画出图3，观察线段的数量关系，得1|PQ|e|PF|11。故填。221|PK||FR|2115【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.lml【解析】如图设直线的倾斜角为α，双曲线渐近线的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由c2a2tantanb24e25.aa2e1∵双曲线中，故取e>5.选D.16【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：a1,b23,c13.设；PF6,PF4.PF2PF252FF2，12于是1212S12PFPF16412.选B.故知△PFF是直角三角形，∠FPF=90°.∴21212PF1F212【评注】解题中发现△PFF是直角三角形，是事前不曾想到的吧可是，这一美妙的结果不是每个考生都能12临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.17【解析】设弦的两端分别为Axy,Bxy.则有：1,12,2xy1yyxx2121xxyy0xxyy2222221212.xy11122221212xx41yyxxy1y2.故直线的斜率k2.则所求直线方程为：12122∵弦中点为（2，1），∴xxyy21212y12x2y2x，故选C.3“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：18如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x，y），B11（x，y）.那么：22x21y2111.211xxxxyyyy0x212y2121212121222xx2yy22xx∵M（1，1）为弦AB的中点，∴代入1：2xxyy0，kAB121y1y21212212故存在符合条件的直线AB，其方程为：y12x1，即y2x1.这个结论对不对呢我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M（1，1）代入方程x221y11，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的222k2y2x.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.22斜率，而双曲线的渐近线为AB问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由yx2212x22x1222x24x302这里16240，故方程（2）无实根，也就是2y2x1xxxx，必有yy0