2021-2022学年湖南省郴州市临武县城关中学高三数学文模拟试题含解析

2021-2022学年湖南省郴州市临武县城关中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数参考答案：D略2.已知为内一点，满足,,且,则的面积为A.

B.

C.

D.参考答案：B3.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4.已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），函数f（x）的图象如图所示，则f（2016π）的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（，0），求出φ，从而得到f（x）的解析式，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可计算求值．【解答】解：由函数的图象可得A=2，T==4×（﹣）=4π，解得ω=．又图象经过（，0），0=2sin（×+φ），0＜φ＜π，φ=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），所以：f（2016π）=2sin（×2016π+）=．故选：A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，注意函数的周期的求法，考查计算能力，属于中档题．5.已知命题使；命题，下列是真命题的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D

【知识点】复合命题的真假A2解析：x=﹣1时，2x＞3x，∴命题p是真命题；，x；∴0＜cosx＜1，sinx＞0；∴，；即tanx＞sinx，∴命题q是真命题；∴￢p是假命题，（￢p）∧q是假命题，￢q是假命题，（￢p）∨（￢q）是假命题，p∧（￢q）是假命题，p∨（￢q）为真命题．故选D．【思路点拨】对于命题p，容易发现x=﹣1时，2x＞3x成立，所以命题p是真命题；对于?x∈，，所以便可得到tanx＞sinx，所以命题q是真命题，然后根据￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．6.已知，则=

A. B.C. D.参考答案：C略7.数列{an}满足，则数列{an}的前20项的和=(

)A．－100

B．100

C．－110

D．110参考答案：A8.已知，（）是函数图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围是（

）A．(－1,1)

B．(－1,2)

C.(－2,0)

D．(－1,0)参考答案：D9.若,其中则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.在等差数列{an}中，若，，则等于（

）

A.9

B.7

C.6

D.5参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知不等式组的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是_________．参考答案：(－∞，9]12.已知，，且，共线，则向量在方向上的投影为__________．参考答案：【分析】根据向量共线求得；再利用求得结果.【详解】由与共线得：，解得：向量在方向上的投影为：本题正确结果：【点睛】本题考查向量共线定理、向量在方向上的投影的求解问题，属于基础题.13.已知，定义。经计算…，照此规律，则_________.参考答案：略14.定义在R上的函数f（x）满足2f（4﹣x）=f（x）+x2﹣2，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是

．参考答案：4x+3y﹣14=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据2f（4﹣x）=f（x）+x2﹣2，求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．【解答】解：∵2f（4﹣x）=f（x）+x2﹣2，∴将x换为4﹣x，可得f（4﹣x）=2f（x）﹣（4﹣x）2+2．将f（4﹣x）代入f（x）=2f（4﹣x）﹣x2+2，得f（x）=4f（x）﹣2（4﹣x）2+4﹣x2+2，∴f（x）=（3x2﹣16x+26），f'（x）=2x﹣，∴y=f（x）在（2，f（2））处的切线斜率为y′=﹣．∴函数y=f（x）在（2，2）处的切线方程为y﹣2=﹣（x﹣2），即为4x+3y﹣14=0．故答案为：4x+3y﹣14=0．15.定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面是关于函数f（x）的判断：①f（x）的图象关于点P（，0）对称；②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（2）=f（0）．其中正确的判断有

．（把你认为正确的判断都填上）参考答案：①、②、④【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】规律型；函数的性质及应用．【分析】由f（﹣x）=f（x），f（x+1）=﹣f（x）可得f（1+x）=﹣f（﹣x），则可求f（x）图象关于点对称；f（x）图象关于y轴（x=0）对称，可得x=1也是图象的一条对称轴，故可判断①②；由f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数；由f（x+1）=﹣f（x）可得f（2+x）=﹣f（x+1）=f（x），故f（2）=f（0）．【解答】解：由f（x）为偶函数可得f（﹣x）=f（x），由f（x+1）=﹣f（x）可得f（1+x）=﹣f（﹣x），则f（x）图象关于点对称，即①正确；f（x）图象关于y轴（x=0）对称，故x=1也是图象的一条对称轴，故②正确；由f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数，即③错；由f（x+1）=﹣f（x）可得f（2+x）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（2）=f（0），即④正确故答案为：①②④【点评】本题考查函数的对称性，函数的单调性，函数奇偶性的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．16.设满足约束条件，则目标函数的取值范围为___________．参考答案： 试题分析：画出满足条件的平面区域,如图所示:目标函数几何意义为区域的点与的钭率,过与时钭率最小,过与时钭率最大,所以，故答案为.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

17.任取集合，，，，……，14}中的三个不同数，，，且满足≥2,≥2，则选取这样的三个数方法种数共有

。（用数字作答）参考答案：答案:

220三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数,.（1）求的极大值；（2）求证：（3）当方程有唯一解时，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在.研究的值的个数；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）由得从而在单调递增,在单调递减.

（2）证明：

分别令

，，

（3）解：由（1）的结论：方程有唯一解

,函数假设的图象在其公共点处存在公切线，

由得：，即：

又函数的定义域为：当时，

函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，令即：

即：下面研究方程在解的个数令：

在递减，递增；

且且当；

当在有两个零点方程在解的个数为2综上：当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，符合题意的的值有2个

略19.已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）．（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值；（3）当a≠0时，若f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）先求导数，再根据x=1是f（x）的极值点得到：“f′（1）=0”，从而求得a值；（2）先根据切线方程为x+y﹣3=0利用导数的几何意义求出a值，再研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．（3）由题意得：函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，所以函数f′（x）在（﹣1，1）上存在零点．再利用函数的零点的存在性定理得：f′（﹣1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，即a2﹣2a=0，解得a=0或2；（2）∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上．∴f（1）=2∵（1，2）在y=f（x）上，∴又f′（1）=﹣1，∴1﹣2a+a2﹣1=﹣1∴a2﹣2a+1=0，解得∴由f′（x）=0可知x=0和x=2是极值点．∵∴f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为8．（3）因为函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，所以函数f′（x）在（﹣1，1）上存在零点．而f′（x）=0的两根为a﹣1，a+1，区间长为2，∴在区间（﹣1，1）上不可能有2个零点．所以f′（﹣1）f′（1）＜0，∵a2＞0，∴（a+2）（a﹣2）＜0，﹣2＜a＜2．又∵a≠0，∴a∈（﹣2，0）∪（0，2）．20.(本小题满分14分）在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且.（1）求直线与交点的轨迹M的方程；（2）已知点()是轨迹M上的定点，E,F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率满足，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.参考答案：解：（１）依题意知直线的方程为：-----------①-----1分直线的方程为：-------------------------②----------2分设是直线与交点，①×②得由整理得-------------------------------------5分∵不与原点重合∴点不在轨迹M上-----------------6分∴轨迹M的方程为（）-----------------------------------7分（2）∵点()在轨迹M上∴解得，

即点A的坐标为--8分设，则直线AE方程为：，代入并整理得---------------------------10分设,,

∵点在轨迹M上，∴

------③,

---④------------11分又得，将③、④式中的代换成，可得，----------------------------12分∴直线EF的斜率

∵∴即直线EF的斜率为定值，其值为---14分略21.如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为.（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度；（2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：

（3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.参考答案：解：（1），…………2分；……4分

（2）；……7分

函数性质结

论奇偶性偶函数单调性递增区间，递减区间，零点，

…………10分（3）（i）易知直线恒过原点；

当直线过点时，，此时点到直线的距离为，直线

与曲线相切，当时，恒在曲线之上，（ii）当直线与曲线相切时，由点到直线

的距离为，，此时点到直线的距离为，直线

与曲线相离；（iii）当直线与曲线相切时，由点到直线

的距离为，，此时点到直线的距离为，

直线与曲线相交于两个点；（ⅳ）当直线过点时，，此时点到直线的距离为

，直线与曲线相交于两个点；

点到直线的距离为，直线与曲线

相交于两个点；

（ⅴ）当时，直线与曲线有且只有5个交点；

（ⅵ）当时，直线与曲线有且只有1个交点；

因为函数的图像关于轴对称，………………14分故综上可知：（1）当时，方程只有1实数根；（2）当时，方程有3个实数根；（3）当时，方程有5个实数根；（4）当或时，方程有7个实数根；（5）当时，方程有9个实数根；（6）当时，方程有11个实数根.……18分

22.已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为，过点M（0，）与x轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点．（