山西省吕梁市贺罗中学高三数学理月考试题含解析

山西省吕梁市贺罗中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则＋＝（

）A、3

B、2

C、1

D、0

参考答案：C2.一征棱长为3的正方体内任取一点P，则点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为参考答案：D3.函数，，的零点分别是a，b，c则（

）A．a＜b＜c

B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜a＜c参考答案：A4.已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为(

) A．（﹣∞，3） B．（0，3] C．[0，3] D．（0，3）参考答案：D考点：分段函数的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：题中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．解答： 解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：令z=b+c，则z=b+c在（2，1）处z=3，在（0，0）处z=0，所以b+c的取值范围为（0，3），故选：D．点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查线性规划等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．5.如果等差数列中，，那么的值为（

）

A.18

B.27

C.36

D.54参考答案：C6.（2009江西卷理）数列的通项，其前项和为，则为A．

B．

C．

D．参考答案：A解析：由于以3为周期,故故选A7.已知a＞b＞0，则下列不等关系式中正确的是(

)A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a＜b D．（）a＜（）b参考答案：D【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由函数的单调性，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A错误，比如取a=π，b=，显然满足a＞b＞0，但不满足sina＞sinb；选项B错误，由函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增可得log2a＞log2b；选项C错误，由函数y==在[0，+∞）上单调递增可得＞；选项D正确，由函数y=在R上单调递减可得（）a＜（）b；故选：D．【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及常用函数的单调性，属基础题．8.函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（

）A．B.C．D.参考答案：D略9.双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线C：的渐近线方程为y=±x，由题意可得，=，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．解答： 解：双曲线C：的渐近线方程为y=±x，由题意可得，=，即有c==a，则e==．故选B．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．10.函数的图象关于原点中心对称，则（

）A.在上为增函数

B.在上为减函数C.在上为增函数，在上为减函数D.在上为增函数，在上为减函数参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标系中，点到直线的距离是

．参考答案：略12.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是

．参考答案：13.设为正实数，且，则的最小值是

.参考答案：【知识点】基本不等式．E6【答案解析】．

解析：∵log3x+log3y=2，∴log3xy=2，∴xy=9，∴则≥2=．则的最小值是，故答案为：．【思路点拨】利用基本不等式得≥2，由条件可得xy为定值，从而即可求得的最小值．14.若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线(a＞0)的右焦点，则实数a的值为

．参考答案：1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的右焦点，由题意可得方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线的右焦点为（，0），由题意可得为=2，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，同时考查抛物线的焦点，考查运算能力，属于基础题．15.（5分）（2015?万州区模拟）若复数是纯虚数，则实数a=．参考答案：【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解析：∵复数===+i是纯虚数，∴=0，≠0，解得a=．故答案为：．【点评】：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．6、在数列中a=-13,且3a=3a-2,则当前n项和s取最小值时n的值是

。参考答案：2017.已知函数.（1）f(x)的零点是______；（2）若f(x)的图象与直线有且只有三个公共点，则实数a的取值范围是______.参考答案：1和

【分析】(1)分段求解零点即可.(2)数形结合画出分析其与直线有三个交点的情况即可.【详解】(1)由,当时,.当时,令有(2)画出的图象有因为过定点(0,?1),要使的图象与直线有且只有三个公共点,则,当时,函数的导数,函数在点(0,?1)处的切线斜率,此时直线和只有一个交点.当时,因为当时,,此时直线与的图象仍有三个交点.由图象知要使的图象与直线有且只有三个公共点,则满足,故答案为：(1).或(2).(0,2)【点睛】本题主要考查了函数零点问题的应用,同时也考查了数形结合求解直线与函数的零点个数问题,需要利用求导求斜率分析直线与曲线的相交情况,属于中等题型.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．参考答案：【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），∴cos＜，＞===﹣，∴CE与PD所成角的余弦值为．…（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．设为平面CDE的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），…设直线BF与平面CDE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，…令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为．…19.

某校高三有800名同学参加学校组织的数学学科竞赛，其成

绩的频率分布直方图如图所示，规定95分及其以上为一等奖．

(I)上表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；

(Ⅱ)现在要用分层抽样的方法从这800人中抽取40人的成绩进行分析，求其中获二等奖的学生人数；

(Ⅲ)在(Ⅱ)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加市全省数学学科竞赛，记“其中一等奖的人数”为X，求X的分布列与数学期望．参考答案：略20.已知数列{an}满足．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令，，求证：．参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）根据题目写出前项，两式相减即可得到，检验也成立。（2）把代入中化简，再运用裂项相消进行求和，即可得到求证结论。【详解】（1）数列满足①，当时，②，①﹣②得：，当时，（首项符合通项），故：．（2）由于：，所以：，所以由于，则，即。【点睛】本题考查数列通项的求法以及数列的求和公式：裂项相消，考查学生的计算能力，属于中档题21.（本小题满分12分）（理）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时,ξ＝0；当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时,ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望Eξ．参考答案：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，22.（本小题满分13分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.（1）求和的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考答案：（1）..（2）40；（3）甲校至少有一名学生的概率为.（1）解：∵甲班学生的平均分是85，∴.

……………1分∴.

……………2分∵乙班学生成绩的中位数是83，∴.

……………3分（2）解：甲班7位学生成绩的方差为.

…