2022-2023学年湖南省郴州市安仁县第一个中学高三数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年湖南省郴州市安仁县第一个中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是等腰三角形，，则以为焦点且过点的椭圆的离心率为

A.

B.

C.

D.参考答案：B2.若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求f′（x）=6x2﹣6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，可设g（x）=6x2﹣6mx+6，法一：讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（1，+∞）上恒成立：△≤0时，容易求出﹣2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，得到关于m的不等式组，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可，法二：分离参数，此时求出m的范围即可．【解答】解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（1，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；法一：（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：解得m≤2；∴m＜﹣2，∴综上得m≤2，∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]；法二：问题转化为m≤x+在（1，+∞）恒成立，而函数y=x+≥2，故m≤2；故选：C．【点评】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式△的取值情况和二次函数取值的关系．3.下列函数中既是偶函数又在上单调递减的函数是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B4.若定义在R上的函数满足且时，，则方程的根的个数是A.4 B.5C.6 D.7参考答案：A【分析】由题意作出函数与的图象，两图象的交点个数即为方程的根的个数.【详解】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.又时，，所以函数的图象如图所示.再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点．故应选A．【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是

（

）(A)等腰三角形

(B)等腰梯形（C)五边形

(D)正六边形参考答案：D6.已知函数的导函数的图象如图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是

（

） A． B． C． D．参考答案：A略7.已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为

(A)

(B)(C)

(D)参考答案：C略8.已知直线,平面,且,给出下列命题:①若∥,则m⊥;

②若⊥,则m∥;③若m⊥,则∥;

④若m∥,则⊥其中正确命题的个数是（） A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：D略9.若，则等于（

）A．－1

B．－2

C．－

D．参考答案：C10.已知,则A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.A、B是半径为R的球面上的两点，A、B是球面距离是，则过A、B两点的平面到球心的距离的最大值为

．参考答案：R【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由球截面圆的性质，当截面是以AB为直径的圆时，球心到过A、B两点的平面的距离最大．设D为AB中点，OD即为所求．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．[来源:学_科_网]设过A、B两点的球截面为圆C，由球截面圆的性质OC为球心到过A、B两点的平面的距离．D为AB中点，则OC≤OD，当且仅当C，D重合时取等号．在边三角形AOB中，OD=R．故答案为：R．【点评】本题考查球面距离的概念，点面距的计算．分析出何时区最大值是关键，考查了空间想象能力、推理论证、计算能力．12.设集合A＝{x│x2－2x≤0，x∈R}，则集合A∩Z中有_____________个元素．参考答案：13.已知函数，若，则关于的方程的所有不同实数根的积为

．参考答案：略14.若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=

．参考答案：2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m即可．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．15.的展开式的常数项为

参考答案：15略16.在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=

．参考答案：2【考点】HP：正弦定理．【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案为：2．17.若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为

．参考答案：2因为为纯虚数，所以，解得。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：

60分以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班(人数)36111812乙班(人数)48131510现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．(1)试分析估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.

优秀人数非优秀人数合计甲班

乙班

合计

参考数据：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828参考答案：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.(2)

优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计5545100因为所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．19.（本小题满分14分）．已知函数

（Ⅰ）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为，求a；

（Ⅱ）设的导函数是在（I）的条件下，若，求的最小值；

（Ⅲ）若存在的取值范围.参考答案：解：（I）

……………1分

据题意，

……3分

（II）由（I）知x－1（－1，0）0（0，1）1－7－0+1f(x)－1－4－3

………5分

……6分

………7分

的最小值值为－11.

………8分

（III）

①

又

…11分

②若a>0时，则当

从而

据题意，

综上，a的取值范围是（3，+∞）.…14分20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点，点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交轴于点C，PB交轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求面积的最大值．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由条件可得，，从而可解得椭圆方程；（2）设P（m，n），m＞0，n<0，PA：，PB：，可得C（0，），D（），得，可设，可得，令,1，从而可得最值.【详解】（1）由已知得，?，点（，）代入1可得．代入点（，）解得b2＝1，a=2∴椭圆C的标准方程：．（2）可得A（﹣2，0），B（0，1）．设P（m，n），m＞0，n<0，且.PA：，PB：，可得C（0，），D（）．.由，可设.则.令,则，.则.又，当时，.取得最大值，最大值为1．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆和直线相交所形成的三角形的面积计算及面积最大值的求法，考查利用三角换元求最大值，综合性较强，属于较难的题目.求解椭圆中三角形的面积问题，一方面要利用几何关系表示面积，另一方面求出面积的表达后，要选择合适的方法来求最值.

21.已知平面向量a＝(，－1)，b＝(,).(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t).参考答案：(1)证明∵a·b＝＝0，∴a⊥b.(2)解∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝

(t≠0).22.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“