自动控制原理自控

第二章

控制系统的数学模型本章重点、难点与考点一、重点：传递函数、结构图变换与简化、梅逊公式二、难点：传递函数含义及性质的理解、结构图的简化、梅逊公式的应用等三、考点：1、求实际系统的微分方程、动态框图和传递函数；2、求复杂系统的传递函数；3、把方框图变换成信号流图。2．1

引言1．关于数学模型⑴定义：用以描述控制系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。有静态模型与动态模型之分。（Page21前言）⑵形式：时域模型（t）：微分/差分/状态方程等；复域模型（s=σ+jω）：传递函数，结构图，信号流图；频域模型（ω）：频率特性。⑶特点及建模原则：（略）2．建模方法及步骤⑴方法：分析法（主）和实验法；⑵主要步骤：※确定系统的输入、输出变量；※

从输入端开始，依次列写各元件/环节的运动方程式（如微分方程）；※消去中间变量，并将其化为标准注形式。注：标准形式：与输入量有关的各项放在方程右边，与输出量有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，并将方程中的系数通过系统的参数化具有一定物理意义系数的一种表达形式。2．2

实例分析例题1：P21例题2-1例题2：RC无源网络电路如下图所示，试以u1为输入量，u2为输出量列写该网络的微分方程式。i2C1C2R2R1u1u2i1解：⑴u1为输入量，u2为输出量；⑵设回路电流分别为i1，i2，如图所示；则有：i1

R1+｛∫（i1－i2）dt｝/C1=

u1i2

R2+

(∫i2dt)

/C2=｛∫（i1－i2）dt｝

/C1(∫i2dt)

/C2

=

u2⑶消去中间变量i1，i2后，化为标准形式：R1R2C1C2u2〞+(R1C1+R1C2+

R2C2)u2′+u2=u12．3

非线性数学模型线性化1．线性系统的特性：1）能够用线性微分方程来描述。2）不同类型的元件或系统可以具有相同形式的数学模型。这样的系统称为相似系统。3）可应用叠加原理，即具有可叠加性和均匀性（齐次性）。2．小偏差线性化（自学）2．4

线性系统的传递函数1.线性定常系统微分方程的求解：⑴．目的：寻求系统输出随时间t

变化的规律。（求输出响应）⑵．方法：※

经典法：微分方程

时域解c（t）※拉氏变换法：微分方程复域解C（S）※计算机求解法。例题1：右图所示的RC电路，当开关

K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。解:

设输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，写出电路微分方程rCduT

C

+

u

=

udt其中：T=RC,

且u0t

<

0t

‡

0u

(t)

=

0rT[sU

(s)

-

u

(0)]

+U

(s)

=

U

(s)C

C

C

rr

CC1

TU

(s)

+

u

(0)Ts

+1

Ts

+1U

(s)

=故有解得由于Ur(s)=

uo

/s,故sCC

O1T11T1s

+)

+

u

(0)U

(s)

=

u

(1

-s

+ttu

(t)

=

u

(1

-

e

T

)

+

u

(0)eTC

O

C所以uruc（t）ur（t）C例题2(P26例2-6)：在下图中，已知L=1H，C=1F，R=1Ω，uc（0）=0.1V,i(0)=0.1A,ur(t)=1V。试求电路在通电瞬间uc（t）的变化规律。R

L解：在教材P21例题2-1中已求得该电路的微分模型：LCrdu

(t

)c+

uc

()=t u

()t+

RCdt

2

dtd

2u

(t

)c对上式两边求拉氏变换：LC[s2Uc（s）-suc（0）-u

c′（0）]

+RC[sUc（s）-uc（0）]+

Uc（s）=

Ur（s）由于u

c′（0）=u

c′（t）t=0

=i（0）/C将已知各条件代入后有：（s2+s+1）Uc（s）=

Ur（s）+0.1(s+2)S

2

+

S

+1

S

2

+

S

+1U

(S

)=

1

U

(S

)+

0.1(S

+

2)rC即通电瞬间,

ur（t）=1

或

Ur（s）=L[ur（t）]=1/S1

+

0.1(S

+

2)S

2

+

S

+1

S S

2

+

S

+1U

(S

)=

1

C故再对上式两边求反拉氏变换：=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+

0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)-1-11 1

+

0.1(S

+

2)

S

2

+

S

+1

S S

2

+

S

+1=

L

[U

(S

)]=

Lu

(t

)c

C例题3：已知某系统的数学模型为dt

dtd

2

y(t)

dy(t)+

2

+

2

y(t)

=

x(t)其中x（t）,

y（t）分别为输入、输出量,且知x（t）=δ(t),y’(0-)=

y

(0-)=0，

求y（t）的表达式.解:对微分方程两边求拉氏变换：[s2Y（s）-sy(0-)-y′(0-)]+2[sy（s）-

y

(0-)]+2Y（s）=

X（s）代入已知条件，注意X（s）=L[x（t）]=L[δ(t)]=1整理后得：Y（s）=1/（s2+2s+2）故y（t）=L-1[Y（s）]=L-1[1/（s2+2s+2）]=(1/2j)

L-1

[1/（s+1-j）-1/（s+1+j）]=(1/2j)[e-（1-j）t-

e-（1+j）t]= e-tSint⑶．拉氏变换法求解微分方程的过程：P26※考虑初始条件，对微分方程中的各项求拉氏变换；※求取输出量的拉氏变换式；※再求取输出量的拉氏变换式的反拉氏变换。2.传递函数⑴

定义:

在零初始条件

*下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。表示为：G(S

)

=

L[c(t)]

=

C(S

)L[r(t)]

R(S

)*零初始条件：指当t﹤0时，系统输入r（t）、输出c（t）以及它们的各界阶导数均为零，即：r(0-)=c

(0-)=

r′(0-)=c′(0-)

=…=

r（n）(0-)=c（n）(0-)=0⑵传递函数的基本性质：①它是复变量S的有理真分式函数。具有复变函数的所有性质；②它只与系统的自身结构和参数有关，与输入信号的形式（大小、性质）无关；③

与微分方程可以相互转换：dnx（t）/dtn

SnX（s）；④其拉氏反变换是脉冲δ(t)输入下的响应函数g(t)；⑤它与S平面上一定的零、极点图相对应。⑶传递函数的局限性：只适用于描述线性定常SISO系统，也只直接反应系统在零初始条件下的动态特性。2．5典型环节及其传递函数1.典型环节的传递函数及其单位阶跃响应序号典型环节传递函数单位阶跃响应1比例环节G（S）=Kc（t）=K

1（t）2惯性环节G（S）=1/（TS+1）c（t）=1-e-t/T3积分环节G（S）=1/TSc（t）=t/T4纯微分环节G（S）=TSc（t）=5一阶微分环节G（S）=TS+1c（t）=6二阶微分环节G（S）=T2S2+2ξTS+1c（t）=7振荡环节G（S）=1/（T2S2+2ξTS+1）c（t）=8延迟环节G（S）=

e

-τSc（t）=2.传递函数的求取例题1：RC无源网络电路如下图所示，试以u1为输入量，u2为输出量,试求该网络的传递函数G(S)。i2C1C2R2R1u1u2i

1解：⑴u1为输入量，u2为输出量；⑵设回路电流分别为i1，i2，如图所示，则有：R1R2C1C2u2〞+(R1C1+R1C2+

R2C2)u2′+u2=u1在零初始条件下对上式求拉氏变换,得:R1R2C1C2S2U2(S)+(

R1C1+

R1C2+

R2C2)

SU2(S)+U2(S)

=

U1(S)即: G(S)=

U2(S)/

U1(S)=1/

[R1R2C1C2S2+(

R1C1+

R1C2+

R2C2)

S+

1]u

c（t）u

r（t）

C例题2：在下图中，已知L=1H，C=1F，R=1Ω。试求该网络的传递函数G(S)。R

L解：在教材P20例题2-1中已求得该电路的微分模型：LCrdu

(t

)c+

uc

()=t u

()t+

RCdt

2

dtd

2u

(t

)c对上式两边求拉氏变换：LC[s2Uc（s）-suc（0）-u

c′（0）]

+RC[sUc（s）-uc（0）]+

Uc（s）=Ur（s）即: LC[s2Uc（s）]

+

RC[sUc（s）]+

Uc（s）

=

Ur（s）故: G(S)

=

Uc（s）/

Ur（s）=1/[LCs2

+

RCs+1]

=

1/(s2+s+1)传递函数3.无源网络的传递函数求取复阻抗法无源网络通常由电阻、电容和电感组成。

无源网络的传递函数求取,一般有两种方法：⑴

传递函数定义法:

微分方程

拉氏变换⑵

复阻抗法:

依据电路理论复阻抗概念有电阻R的复阻抗为:

ZR=R电容C的复阻抗为:

ZC=1/CS电感L的复阻抗为:

ZL=LSR2R1u1u2Z2例题3:求下图所示电路网络的传递函数G(S)。C1

Z1U1U2C2解：⑴将电源等效为复阻抗电路⑵

Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1S+1）；Z2=

ZR2+ZC2

=（R2C2S+1）/C2S；⑶

G（S）

=U2/U1=

Z2

/（Z1

+Z2）=（R1C1S+1）（R2C2S+1）/[（R1C1S+1）（R2C2S+1）+

R1C2S]注：请用“传递函数定义法”求解该例题。4.有源网络的传递函数求取例题4：有源网络如图（1）所示，试用复阻抗法求网络传递函数，

并根据求得的结果.直接用于图（2）所示调节器，写出其传递函数。图（1）图（2）解：1）对于图（1）Zi和Zf分别表示放大器外部电路的输入支路及反馈支路的复阻抗，设A点虚地，即UA=0，则I1=I2Z

(s)U

(s)U

(s)iZ

(s)fiG(s)=

C

=

-UC

(s)

=

-I

2

(s)Z

f

(s)所以

Ui

(s)

=

I1

(s)Zi

(s)※

上述求得的传递函数表达式可以看做计算运算放大器传递函数的一般公式。2）对于图（2）iZ

(s)

R1CsZ

(s)

=

R1iZ

(s)

=

R2

+1/

Csf因为所以

G(s)

=

-

Z

f

(s)

=

R2Cs

+1例题5：求下图有源网络的微分方程及传递函数（结构图）。R2

R2uiuoC1C2KiiioR1

R1u1u2(1)、根据基尔霍夫列写出网络的微分方程式1

22222111RRu

uRdtRdt

RR

i

1

1

=

-

2

du

+

u2

-

uo=

C-

u2 1

+

1

=

Cu

-

u

du

u(2)、在零初始条件下对上述方程组求拉氏变换R2R1U

(s)

U

(s)1

2=-Ui

(s)

-U1(s)

=R1C1sU1(s)

+U1(s)-U2

(s)

=R2C2sU2

(s)

+U2

(s)

+Uo

(s)(3)、消除中间变量，得网络传递函数1

11R R

C

s

+

2U

(s)U

(s)

R R

C

s

+

2i

o

=

-

2

2

2

（a）（c）（b）（d）补充习题一、无源网络试建立以下各图所示系统的微分方程。图中电压ur和uc为输入量和输出量。（传递函数、结构图）（a）（c）（b）（d）补充习题二、有源网络求取下图所示有源网络的微分方程及传递函数，并画出系统的结构图。2．6控制系统的结构图及其简化1.结构图⑴、

定义:

由具有一定函数关系的环节组成的、并标明信号流向的系统框图。⑵、构成结构图的基本要素：①方框：表示环节。R（S）C（S）G（S）②

信号线：表示信号流向。

x（t）,

X（S）③相加点（比较点、综合点）：多个信号叠加。x（t）x（t）±

y（t）±

y（t）④分支点（引出点、测量点）：同一信号分成多个信号。x（t）x（t）x（t）2.结构图的绘制网络结构图的绘制,与传递函数求取一样，亦相应地有两种方法。⑴绘制步骤：A、列写每个元件的运动方程式或传递函数；

B、画出相应的局部框图；

C、将这些方框图按信号流向连接起来，得到系统框图。⑵举例说明例题1

画出下图所示RC网络的结构图。Ru1（t）Cu

2（t）解：ⅰ）列写运动方程式或用复阻抗法u1=iR+

u2u2=1/C

∫idt即

I（S）=[U1（S）-U2（S）]

/

RU2（S）=

I（S）/

CSⅱ）绘制各元件框图1/R1/CS1/R1/CSU1（S）

I（S）U2（S）U2（S）U1（s）I（s）I（s）U2（s）U2（s）ⅲ）绘制系统框图（连接等信号点）i1

Cu2u1i2R1R2解：ⅰ）用复阻抗法列写方程U1（S）=

I2（S）·R1+

U2（S）

…

①U2（S）=

I（S）·R2

…

②I1（S）·1/SC=

I2（S）·R1I1（S）+

I2（S）=

I（S）…

③…

④ⅱ）绘制各元件框图由式①得：

U1（S）I2（S）I2（S）·R1U2（S）1/R1由式②得：I（S）U2（S）R2由式③得I2（S）I1（S）

/

CSI1（S）R1CS例题2

试画出下图所示四端网络的结构图。（教材P43例2-12）由式④得：

I1（S）I（S）I2（S）1/R1

R1

CSR21U

（S）2U

（S）U2（S）I2（S）1ⅲ）绘制系统框图（连接等信号点）

I

（S）

I（S）例题3，RC无源网络电路图如图下，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数。i2C1C2R2R1uruci

1解：ⅰ）用复阻抗法列写运动方程式时，依据是广义的欧姆定律I

(s)Z

(s)

=

U

(s)ii）用复阻抗法列写复域方程式如下11R[U

r

(s)

-UC1

(s)]I

(s)

=C

sU1C1(s)

=

[I1

(s)

-

I2

(s)]22R[Uc1

(s)

-UC

2

(s)]I

(s)

=C

sC

2I

(s)U

(s)

=

2

2iii）结构图如下（分步过程略））R（S

U（S）C（S）

R（S）C（S）G1（S）G2（S）G（S）即：G（S）=

G1（S）G2（S）…Gn（S）U（S）=G1（S）R（S）C（S）=

G2（S）U（S）即

C（S）=

G2（S）

[G1（S）R（S）]=[G1（S）G2（S）]R（S）故

C（S）=

G（S）R（S）C（S）=

G（S）·R（S）其中G（S）=G1（S）G2（S）结论1：串联环节的等效传递函数等于各个环节传递函数的乘积。3.结构图的简化结构图的简化原则：简化前后保持“信号等效”的原则。⑴结构图的基本连接形式：串联、并联和反馈连接三种。①串联连接②并联连接G1（S）G2（S）G（S）R(S)C1（S）C2（S）C（S）C（S）R(S)C（S）=

G（S）·R（S）C1（S）=

G1（S）·R（S）C2（S）=

G2（S）·R（S）C（S）=

C1（S）±

C2（S）即C（S）=[G1（S）±G2（S）]R（S）=

G（S）·R（S）其中G（S）=G1（S）±G2（S）结论2：并联环节的等效传递函数等于各个环节传递函数的代数和。即G（S）=

G1（S）+ G2（S）+…+

Gn（S）③反馈连接R（S）

E（S）C（S）R（S）C（S）G（S）H（S）Ф（S）±

B（S）C（S）=Ф（S）·R（S）E（S）=

R（S）±

B（S）B（S）=

H（S）C（S）C（S）=

G（S）E（S）消去中间变量E（S）、B（S）：C（S）=

G（S）[R（S）±

H（S）C（S）]G（S）C（S）=

R（S）1

G（S）H（S）±故:G（S）Ф（S）=

————————1

G(S）H（S）±当H（S）=1时系统为单位反馈：G（S）Ф（S）=

————————1

G(S）±⑵开环传递函数：定义：反馈信号B（S）与误差信号E（S）之比。或：前向通道传递函数与反馈通道传递函数之乘积。表示为：

B（S）/

E（S）=

G（S）H（S）其中

G（S）为前向通道传递函数；H（S）为反馈通道传递函数。注意：1）开环传递函数指的是闭环系统在开环时的传递函数，而不是开环系统的传递函数；2）它与梅逊公式中回路增益的含义不同，因为它不包含反馈的极性，回路增益则包含反馈的极性。⑶闭环传递函数（教材P60-61）：G1HG2R

ENX1

X2CBE=R

－

B由上图知：X1=G1

·

EX2=X1

+NC

=

G2·X2（Ⅰ）

消去中间变量E、B、X1

、X2后，得到系统的总输出为：G1（S）G2（S）C（S）=

——————————G2（S）R（S）

+

———————————

N（S）1+

G1（S）G2（S）H（S）

1+

G1（S）G2（S）H（S）上式说明：C（S）是R（S）与N（S）共同作用的结果。讨论如下：①R（S）≠0，N（S）=0时，则有:C（S）=G1（S）G2（S）————————————

R（S）1+

G1（S）G2（S）H（S）ф（S）

=C（S）

G1（S）G2（S）——

= ——————————R（S）

1+

G1（S）G2（S）H（S）输入信号作用下的闭环传递函数。②N（S）≠0，R（S）=0时，则有G2（S）C（S）=————————————

N（S）1+

G1（S）G2（S）H（S）C（S）Φn（S）

= ——N（S）G2（S）= ——————————1+

G1（S）G2（S）H（S）扰动信号作用下的闭环传递函数。综上所述，系统的总输出为：C（S）=

Ф

（S）R（S）＋Фn（S）N（S）其等效结构图为：Ф（S）Фn（S）R（S）N（S）C（S）（Ⅱ）消去中间变量C、B、X1

、X2后，得到系统的总误差为：1

G

(S

)H

(S

)R(S

)

-

2

N

(S

)1

+

G1

(S

)G2

(S

)H

(S

)

1

+

G1

(S

)G2

(S

)H

(S

)E(S

)

=上式说明：E（S）也是R（S）与N（S）共同作用的结果。讨论如下：①R（S）≠0，N（S）=0时，则有1R(S

)1

+

G1

(S

)G2

(S

)H

(S

)E(S

)

=11

2eR(S

)

1

+

G

(S

)G

(S

)H

(S

)F

(S

)

=

E(S

)

=输入信号作用下的误差传递函数。②N（S）≠0，R（S）=0时，则有G

(S

)H

(S

)1

+

G1

(S

)G2

(S

)H

(S

)E(S

)

=

-

2

N

(S

)1

2G

(S

)H

(S

)2enN

(S

)

1

+

G

(S

)G

(S

)H

(S

)F

(S

)

=

E(S

)

=

-扰动信号作用下的误差传递函数。综上所述，系统的总误差为：E（S）=фe（S）R（S）＋Фen（S）N（S）Фe（S）Фen（S）R（S）N（S）E（S）同样地，其等效结构图为：⑷相加点的移动：根据信号等效的原则，可以将相加点顺着或逆着信号传递的方向移动。G（S）①前往后移X1±X2X3±G（S）G（S）X1X2X3（X1±X2）G（S）=X3X1G（S）±X2G（S）=X3±G（S）1/G（S）X1X2X3±G（S）X1X2X3X1

G（S）±X2=

X3[X1±X2/G（S）]

G（S）=

X3小结，相加点的移动规则为：a、从前往后移动相加点时，要在移动支路中串入相同传递函数的方框；b、从后往前移动相加点时，要在移动支路中串入相同传递函数之倒数的方框；②后往前移⑸分支点的移动：移动原则同“⑷相加点的移动”。①前往后移G（S）X1G（S）1/

G（S）X1

X2

X1X2X1②后往前移G（S）X1X2X2G（S）G（S）X1X2X2小结，分支点的移动规则为：①

从前往后移动分支点时，要在移动支路中串入相同传递函数之倒数的方框；②

从后往前移动分支点时，要在移动支路中串入相同传递函数的方框；—G（S）H（S）—H（S）G（S）1/

H（S）R（S）C（S）⑹等效单位反馈R（S）（非单位反馈单位反馈）：C（S）G(S

)1

+

G(S

)H

(S

)F

(S

)

=1

G(S

)H

(S

)H

(S

)

1+

G(S

)H

(S

)F

(S

)

=⑺相邻相加点之间、相邻分支点之间可以互相调换位置。⑻相邻相加点与分支点之间不可以互相调换位置，而需要按照

“信号等效原则”进行变换。4．结构图的简化例题分析例题

1

利用结构图等效简化方法求系统传递函数C(s)/R(s)。解：在简化过程中，可以有多种形式，比如此例：④①②③采用第①种情况简化：再简化椭圆区域的局部正反馈，得：再依次逐步简化：G

G

GR(s)C(s)1

-

G1G2

H1

+

G2G3

H

2

+

G1G2G3=

1

2

3

系统传递函数为G4（S）G1（S）G2（S）G3（S）RCH（S）解：

方法1：A移动到B①A移动到B后，A、B互相调换位置G4G1G2G3G2H例题2

试利用结构图等效变换原则，简化下述结构图，并求取系统的C（S）/

R（S）。ABG4+G1G2G3————1+G2G3HG3（

G4+G1G2）——————1+G2G3H③系统的C（S）/R（S）C(S

)

=

G3

(G4

+

G1G2

)R(S

) 1

+

G2G3

H方法2：B移动到A

（略）②

局部简化例题3

试利用结构图等效变换原则，简化下述结构图，并求取系统的C（S）/

R（S）。1G

（S）2G

（S）H（S）R（S）C（S）解：（1）同时将B处相加点前移、C处分支点后移：（2）同时进行串联、并联AB

CG2G1H11/

G11/

G2G1G21/G1＋1/G2＋H1（3）系统的C（S）/R（S）G1G2————————1+G1＋G2＋G1G2HC（s）

G1(s)G2(s)——

= ——————————————R（s）

1+

G1(s)＋G2(s)＋G1(s)G2(s)H(s)例题4

教材P47：例2-14、P50：例2-15、2-16

。例题5．在保持系统闭环传递函数不变的条件下将图(a)所示框图变换成图(b)、(c)，并求H(s)、G(s)的表达式。解：(1)、框图（a）变换为图（b）的变换过程如下比较图（b）可得框图（a）比较图（c）可得（2）、框图（a）变换为图（c）的变换过程如下框图（a）例题4．求取下述结构图所示系统的传递函数C（s）/R（s）。解：方法一为了求取系统的传递函数，先计算下图所示系统的传递函数：由上图可得即故有因此，上述系统可等效为所以，系统的闭环传递函数为将代入上式，得方法二：信号流图法—利用梅逊公式求取(后续内容)该图有5个回路，4条前向通路。

5个回路分别是L1=－G1，L2=G1G2，L3=－G2，L4=－G2G1，L5=－G1G24条前向通路及对应的特征余子式分别为P4=G2G1Δ4=1P1=－G1，

P2=－G1G2，

P3=G2，Δ1=1，

Δ2=1，

Δ3=1

，特征式为同样，将G1、G2代入下式可求得系统的闭环传递函数2.7

信号流图及梅逊公式1信号流图⑴定义：指由节点和支路组成的一种信号传递网络。或指一种表示一个线性代数方程组的网络图。⑵信号流图的构成①构成信号流图的基本元素是：节点和支路节点：

表示变量或信号的点。以“

o”表示，并标明变量名。支路：

连接两个节点的定向线段。以“

→

”表示。其中，节点又分为三种：输入节点（源节点）：只有输出支路的节点。混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。输出节点（阱点或汇点）：只有输入支路的节点。②信号流图中常用术语（ⅰ）、通道（通路）：从一个节点开始，沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。开通道：通道与任何一个节点只相交一次。闭通道（回环）：通路的终点回到起点，而通道与任何其它节点只相交一次。“自环”即闭通道的一种特殊情况。前向通道：从源点开始到汇点结束的开通道。（ⅱ）、传输：两个节点之间的增益，即支路增益。通道传输：通道中各支路传输的乘积。回环传输（回路增益）：闭通道中各支路传输的乘积。自环传输：自回环所具有的传输。⑶信号流图的性质（教材P52）（1）~（4）2

信号流图的运算⑴加法（并联）X1X2aX1X2a+bb⑵乘法（串联）X1X2X3abX1X3a·b⑶分配法（消去混合节点）X1X3

X4a1a3X2a2X1X4a1·a3X2a2·a3X1X2X3a1X4a2a3X1X4X2a1

a2a1

a3X1X3X4X5a3a4a1a2a1

a3X5X1a1

a4X2X4a2

a3a2

a4X2⑷自回路简化x2x1

a1a2x1x2

a1

1-a2a1

X1+

a2

X2

=X2⑸反馈回路简化x1a1a2/(1+

a2a3)

x3x3X2

=a1

X1

－

a3

X3X3

=a2

X2x1

a1

x2

a2-a33

信号流图的绘制⑴

代数方程

信号流图例题1设有某线性系统的性能可由下列方程组来描述，试绘制该系统的信号流图。y2=a12y1

+

a32y3y3=a23y2

+

a43y4y4=a24y2

+

a34y3

+

a44y4y5=a25y2

+

a45y4解：①画出节点（变量）：y1、y2

、y3

、y4

、y5

。②分别绘制各方程的信号流图。③整理系统信号流图。y1y2y4y5y5a12a451a44a43a34a32a23y3a24a25⑵

微分方程

信号流图方法：

A).

微分方程

拉氏变换S域代数方程；以S域代数方程中的每一个变量为一个节点，各系数为支路增益，绘制各方程的信号流图。连接整理

系统信号流图。例题2

教材P53例题2-17。⑶

结构图

信号流图方法：

A.

确定节点。同信号点为一个节点；B.

确定支路增益。支路中的传递函数为支路增益；C.

注意符号。负反馈的负号随支路增益走。D.

连接整理

系统信号流图。例题3

见下页。例题3．已知控制系统的结构图如图所示。绘出相应的信号流图。G1G2G3KR（s）C（s）解：系统信号流图为（先确定各个节点、支路及其增益）例题4

试绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。(教材P54例2-18)G2G1G3G4HR1

23

45C61

263－H4

5G4解：1）选取节点如图所示；支路中的传递函数即为支路增益；注意符号并整理得到系统信号流图如下：G21

G1

1

G3

14

梅逊公式1）梅逊公式表达式：（其分析过程P55-57：略）1

nP

=

—∑Pk·△k△

k=1说明:P——系统总增益（系统传递函数）；PK——第K条前向通道的传输；n——从源点到汇点的前向通道总条数；△——特征式：△=1－∑La＋∑LbLc－∑LdLeLf

＋…其中：∑La