新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2第1课时基本不等式学案

第1课时基本不等式课标解读课标要求素养要求掌握基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0逻辑推理、数学运算——能灵活运用基本不等式解决一些证明、比较大小的问题.自主学习·必备知识见学用29页教材研习教材原句∀a，b∈①R，有a2+b特别地，如果a>0，b>0，我们用a，b分别代替上式中的a，b，可得ab≤a+b2通常称ab≤a+b2为基本不等式.其中，a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.自主思考m2答案：提示：当且仅当m=1时等号成立。a+b=2，能否得到ab≤1答案：提示：不能，没有a>0，b>0a=-1，b=3时，a+b=2，但ab无意义.名师点睛a+b2-ab=1（1）ab≤(a+b2)2，a，（2）a+b≥2ab，a，b都是正数，当且仅当a=b互动探究·关键能力见学用30页探究点一对基本不等式的理解自测自评a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A.a＞b＞a+b2C.a＞a+b2答案：B解析：∵a>b>0，∴a=a+a2.下列不等式一定成立的是()A.3x+B.3C.3(D.3(答案：B解析：A中，x可能是负数，故不等式不一定成立；B中，当且仅当3x2=12x2，即x4=3.（★）（多选）设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是()A.a+b+1abC.a2+答案：A;C;D解析：∵a＞0，b＞0，∴a+b+1ab≥2ab+1ab∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab＞0，∴2aba+b≤∵a2+∴a∴a故C中不等式一定成立；∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(1当且仅当a=b时取等号，故D中不等式一定成立.故选ACD.4.（2021浙江温州高一期末）已知a＞0，b＞0，a+b=1，则下列等式可能成立的是()A.a2+C.a2+b=答案：D解析：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴a∴a∵ab≤(a+b当且仅当a=b=1∴ab=1不可能成立；∵a∴a令a2联立得a+b=1,a-b=12,解得满足条件，D中不等式成立.故选D.解题感悟ab≤a+b22.对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：（1）不等式成立的条件是a、b都是正数；（2）“当且仅当”的含义：当a=b时，ab≤a+b2探究点二利用基本不等式比较大小精讲精练例（1）已知m=a+1a-2(a＞2)，n=4-b2A.m＞nB.m＜nC.m=n（2）若0＜a＜1，且0＜b＜1，a≠b，则a+b，a2+b2，答案：（1）A（2）a+b解析：（1）因为a＞2，所以a-2＞0，又因为m=a+1所以m≥2(a-2)⋅由b≠0，得b2所以n=4-b综上可知m＞n.（2）∵0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，∴a+b＞2ab，a∴最大者应从a+b，a2∵a2+b2∴a(a-1)＜0，b(b-1)＜0，∴a2∴a+b最大.解题思路在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理地拆项、配凑或变形.在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能.1.比较大小：x2+2x2+12（填“>”“<答案：≥解析：x2+2x2+1a>0，b>0，且a+b=1，试比较1a+1答案：∵a>0，b>0，且a+b=1，∴a+b≥2ab∴ab≤14.a2+b∴1a+探究点三利用基本不等式证明不等式精讲精练例（1）已知x，y都是正数，求证：(x+y)(x（2）已知a，b，c均为正数，且a+b+c=1，求证：1a答案：（1）∵x，y都是正数，∴x+y≥2xyx2+y∴(x+y)(≥2即(x+y)(x当且仅当x=y时，等号成立.（2）∵a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，∴==3+=3+(≥3+2+2+2=9，当且仅当a=b=c=1解题感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项（1）策略：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所证明的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.（2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创设使用基本不等式的条件再使用.迁移应用a，b，c均为正实数，求证：2b+3ca答案：证明∵a，b，c均为正实数，∴2ba+a2b≥2（当且仅当a=2b时等号成立）3ca将上述三式相加得(2ba+即2b+3ca+a+3c评价检测·素养提升见学用31页a＞0，b＞0，且ab=2，那么()A.a+b≥4B.a+b≤4C.a2+答案：C2.（多选）下列结论中正确的是()a＞0，则(a+1)(x＜0，则x+a+b=1，则aa+b=1，则a答案：B;C解析：当a＞0时，有(a+1)(1a+1)=2+a+1a当x＜0时，有x+1x=-(|x|+1|