高中数学的定位 市赛获奖

高中数学中的定位首都师范大学张饴慈高中数学中的定位一、如何看待数学中猜想、归纳和推理论证的关系等周问题。救火问题。细胞生长问题。高中数学中的定位二如何看待推理论证的‘严格性’‘标准’中没有关于‘严格性’的论述培养推理论证的能力和建立公理体系是两回事。建立公理体系关心的是：公理的完备性、相容性和独立性。中学数学强调的是培养推理论证的能力。数学中推理论证的严密性数学中的严密性是相对的，对不同的人有不同的要求；物理学家一般不需要掌握实数理论；大部分数学家也不需要掌握皮亚诺公理，不需要会证明自然数乘法满足交换律。高中数学中的定位在高中，我们对人们认为明显的事实或经过归纳后认为正确的事实，通常不给出证明。我们的教学是要化难为易，而不是相反，把容易的东西讲难了。对人们已经认为是对的结论，要求学生证明，往往使学生不知所云，无助于提高学生推理论证的能力。高中数学中的定位在高中数学中，像‘二次函数的图像是一条连续的曲线’等说法，都是很自然的，一般人不会提出疑问。对这样的问题提出质疑，是数学家的事，不是我们在高中向学生讲的事，‘严格’是相对的。高中数学中的定位类似的问题还有很多。例如：指数运算的性质、指数函数和对数函数的单调性。甚至函数y=x²的值域的讨论，都没有给出严格的证明。这些明显正确的结论，有些是用高中知识无法证明。比如，指数运算的性质；指数函数、对数函数的单调性等。高中数学中的定位有些结论，虽然用高中知识可以证明。例如，有理指数运算的性质。但这些证明对一个不是专门学数学的高中学生来说，是不必要的。高中数学中的定位作为一个高中教师应该知道哪些‘严格性’对学生是不必要的。高中学生不需要掌握高中老师所知道的所有数学知识。正确把握一桶水和一杯水的关系：例如概率公式的证明高中数学中的定位在培养学生推理论证的能力时，应突出数学本质；充分利用图形和直观显示其推理论证的基本思想；然后，让学生用逻辑论证的语言表述其论证的过程。高中数学中的定位三强调图形的作用，要养成用图形说明问题的习惯。正确看待解析式的作用例如正弦函数：从解析式看不出任何东西。而从定义、从单位园可以容易地得到它的几乎所有性质。高中数学中的定位例如：正弦函数的周期性、正负取值、值域和最大最小值、单调区间、诱导公式等。高中数学中的定位了解数列中各个函数之间的关系。借助图形求等差数列前n项和Sn的极值等。高中数学中的定位四强调通性通法。例如，求值域的方法。中学讨论的函数基本上是连续的或分段连续的；用导数方法确定极值，再比较函数在区间端点的值，得到最大、最小值（包括趋于无穷的情形）。这是通性通法。高中数学中的定位避免一些‘垃圾’题目。例如，已知求要利用到高中数学中的定位五把握好各章节的定位，提高教学效率、化难为易。例如，‘集合’的定位。其内容是，了解集合与元素的‘属于’关系、集合的‘包含’关系（包括‘子集合’的概念与集合‘相等’的关系）以及集合‘并’、‘交’、‘补’的运算。在高中三年的数学学习中，初步会用集合的语言描述所学的数学内容。高中数学中的定位为了讲清‘包含’、‘属于’关系和‘并’、‘交’、‘补’运算，用初中学生熟悉的自然数和一元一次不等式组，就可以了。既简单又清楚。不要在这里讲一元二次不等式的解法，不要在这里讨论子集合个数的问题，这些问题在后面‘不等式’、‘计数原理’中会专门解决。高中数学中的定位把后面的内容提前讲授，增加了难度、学时紧张、效率不高。我们的教学要化难为易，要让学生感到他能够很好地掌握所学内容，要提高学生的学习兴趣。特别是在初高中衔接阶段，不应该给学生一个下马威，让学生觉得高中数学如何难。高中数学中的定位抓住数学的本质，不要去讨论集合的三性（确定性、互异性、无序性）。这些只是我们的一些规定，让学生知道并遵循就可以了。数学上这样的规定有不少，如，哪个是第一象限，哪个是第二象限，等等。这些规定不同于数学概念和定义，没必要去讨论、去做题。高考也不考。高中数学中的定位有不少习题讨论集合中的参数取值问题。其中有些题目虽然能培养学生的推理论证能力，但和‘集合’的内容定位无关。（事实上，许多数学问题，如歌德巴赫猜想，都可以形式上表述为集合的关系问题，）在数学中，培养推理论证能力的题目有很多，并不都要讲。因此，在这里，要选择确实对学生理解集合有用的问题。题目要适量，不要做难题。高中数学中的定位六明确几何学的定位几何学最根本的任务是了解空间的形式，即了解人类生存的空间的特性和规律。它是所有其它科学的基础；是发展最早的科学。高中几何要求学生很好地把握图形、认识图形。高中数学中的定位由于几何学有着图形特有的直观、清楚的优势，使得几何学成为培养推理论证能力的一个很好的载体。但培养推理论证能力是学习数学各个分支共同的目标之一，不能认为只有几何才具有这一功能。在几何证明中，对一些明显成立的事实，过分强调其证明无助于提高学生的能力。高中数学中的定位在几何中，有人喜欢综合几何证明，觉得这才能培养推理论证能力。不喜欢向量，觉得向量运算太容易，没意思。其实，正相反，就是因为向量的运算极其容易，像实数的运算那样，而用它又能解决几乎一切几何问题。它是数学中最基本、最重要的概念。抓住向量的运算及其几何意义，才是抓住数学的本质。高中数学中的定位老师要认识到，在中学引入向量并不仅仅是因为向量给出了通性通法，简单好用（因为就个别问题而言，综合的方法可能更好）。而是‘向量’在现代数学中和函数一样，处于中心地位。‘向量’是数学中最重要的概念之一。在向量的教学中要淡化枝微末节，如零向量的讨论。高中数学中的定位七导数的重点是概念和应用重点是让学生认识从平均变化率到瞬时变化率的过渡；让学生体会到在自然界和我们的生活中导数处处存在。由于我们不系统地介绍极限，特别地不讲两个重要的极限，因此，不推导指数函数、对数函数和三角函数的导数公式。高中数学中的定位在讲平均变化率向瞬时变化率过渡时，我们讨论的函数其形式主要是：多项式、分式和部分根式。在这里要求先把平均变化率化简，使其不出现零比零的形式，然后再过渡到瞬时变化率。当需要对较复杂的函数（如复合函数）求导数时（如在应用问题中），我们采取查表的方法。不把计算作为重点。高中数学中的定位八计数问题要紧紧抓住两个计数原理，而不是去背公式例如：把r个不同的球放入n个不同的盒中，每盒放球数不限，求有多少种放法？我们用计数原理：在操作上，把r个球，一个一个地放，每个球都有n种放法；用乘法计数原理，不难得到结论。而不是死记公式。高中数学中的定位要认识到数学模型的作用。例如，下列问题都可以用前面的球放盒的模型来描述。掷r个硬币出现的结果（相当r个球放入‘正’、‘反’两个盒的情形）掷r个骰子出现的结果（相当r个球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子）r个人在n个车站下车r个事故出现在一周七天的情形，等等。高中数学中的定位九‘统计’是从数据中提取信息不要把统计讲成数据的加、减]乘、除；讲成图表的制作。我们对数据进行整理、画图表，是为了清楚地反映其中的信息。我们关心不同图表反映信息的特点和优劣；鼓励学生创造性地自制图表。高中数学中的定位我们对数据进行加工，得到数据的平均值、方差等。用这些数字特征来反映信息。和单独的一个数据比，这些数字特征更重要，但和全体数据比，全体数据中的信息更丰富，数字特征是由全体数据所决定的。高中数学中的定位在初中我们考虑的数据往往是‘普查’的数据，如全班同学的身高、考试成绩等。这时由数据得到的平均值、方差，是‘总体’的均值、方差，得到的分布图表是‘总体’的分布。而到高中讲随机抽样后，数据的平均值、方差等以及分布图表都是随机的。和我们希望得到的‘总体’均值、方差和分布是不同的。必须让学生知道这一区别。高中数学中的定位由于我们希望得到的数据能正确反映实际的状况，所以采用随机地抽样。这是关键所在。应该让学生很好地理解这一点。比如要了解某地区18岁男孩的身高。若这些男孩中一米九以上的有千分之一，随机抽样使每个男孩被等可能抽到，因此，抽到一米九以上的可能性也是千分之一。若这些男孩中一米六到一米八的占百分之七十，那么抽到男孩身高在一米六到一米八之间的可能性也有百分之七十。随机抽样能使得样本中不同身高的百分比和总体中的百分比近似相同。高中数学中的定位换句话说，随机抽样的样本能很好地反映总体的状况。如果不把这一点说清楚，只单纯地介绍三种抽样的具体操作方法就讲偏了。高中数学中的定位我们关注三种抽样方法的差别和不同的适用范围。例如，系统抽样通常比简单随机抽样简单，在田野上考察害虫的个数，通常就是从任一地点出发，每隔相同的距离测量害虫的个数。但如果考察马路上的车流量，每隔几天记录一次，若选择不当，例如，每七天测一次，恰选在了星期日。就会造成错误的结果。同样在分层抽样中，如果分的不当，同一组内个体相差太大，结果也会有偏差。在给中学生讲授时，应讲清这些，而不是单纯地讲方法。从统计上说，理解这些比方法本身更重要。高中数学中的定位要理解统计的实质，而不是在枝节问题上斤斤计较。例如，有人问：在分层抽样中，需把100个样本各取三分之一时，如何抽取？把这看成一个纯数学问题。事实上，在统计问题中，只有当样本数大时，结论才有意义。而当样本数大时，多一个少一个样本，几乎不影响结论。因此，多出的一个样本放在哪一