《复变函数与积分变换教学》课程教学大纲

复变函数与积分变换课程教学大纲（FunctionofComplexVariableandIntegralTransform）学时数：32其中：实验学时：课外学时：学分数：2适用专业：电子信息工程一、课程的性质、目的和任务复变函数是高等院校理工科学生必须具备的数学知识，它是高等微积分的重要后继课程之一，其理论与方法广泛应用于自然科学与工程科学的许多领域，是专业理论研究和实际应用方面不可缺少的数学工具。通过本课程的学习，进一步加深学生对复数和复变函数及有关理论（场）的理解，能应用复变函数的积分理论、留数理论解决一些实际问题；使学生熟练掌握Fourier变换、Laplace变换的性质及相关计算，并以此为工具学会分析和处理工程实际中的一些问题，为学习后续课程打下比较扎实的基础。二、课程教学的基本要求课程是电子信息工程专业的一门学科专业必修课程。通过本课程的教学，学生应掌握基本理论与方法：（一）复变解析函数理论；（二）复变函数的积分理论及留数理论；（三）复变函数的调和函数理论；（四）拉氏变换与富氏变换理论。三、课程的教学内容、重点和难点第一章复数与复变函数一、复数（一）复数及其代数运算（二）复数的几何表示（三）复数四则运算的几何意义（四）扩充复平面二、复数的乘幂与方根（一）复数的及其代数运算（二）复数的方根三、平面点集（一）区域（二）曲线（三）单联通域和多联通域四、复变函数（一）复变函数的概念（二）复变函数的几何解释——映照（三）反函数与复合函数五、初等函数（一）指数函数（二）对数函数（三）幂函数（四）三角与反三角函数（五）双曲与反双曲函数重点：复数的代数运算关系、单联通域与多联通域、复变函数的概念难点：扩充复平面的概念、映照，用复数方法表示平面区域、曲线第二章导数一、复变函数的极限（一）复变函数极限的概念（二）复变函数的极限定理二、复变函数的连续性（一）复变函数连续的概念（二）复变函数连续的定理三、导数（一）导数的概念（二）导数的运算法则（三）函数可导的必要与充分条件（四）高阶导数四、解析函数（一）解析函数的概念（二）初等函数的解析性（三）函数解析的必要与充分条件五、调和函数（一）调和函数的概念（二）已知实部或虚部的解析函数表达式重点：导数的概念与运算、可导的条件、解析函数的概念、CR方程、调和函数的概念难点：解析函数、解析与调和的关系、利用CR方程求解析函数表达式第三章积分一、积分的概念、性质、计算（一）原函数与不定积分（二）积分及其性质（三）积分的计算二、柯西定理及其推广（一）单联通域上的柯西定理（二）复联通域上的柯西定理三、柯西积分公式四、解析函数的导数重点：柯西定理及其推广、柯西公式、解析函数高阶导数公式难点：复联通域上的柯西定理、柯西公式的证明、解析函数高阶导数公式第四章级数一、收敛序列与收敛级数（一）收敛序列（二）收敛数项级数（三）函数项级数二、幂级数（一）幂级数的概念（二）幂级数的收敛半径（三）幂级数和函数的性质三、泰勒级数四、洛朗级数（一）洛朗级数的概念（二）解析函数的洛朗展开式重点：解析函数在圆环内展开为洛朗级数的方法难点：解析函数在圆环内展开为洛朗级数的证明过程第五章留数一、解析函数的孤立奇点（一）孤立奇点的定义及分类（二）零点与极点的关系（三）无穷远孤立奇点的定义及分类二、留数的一般理论（一）留数的定义及计算（二）留数定理（三）无穷远点的留数三、留数在计算定积分及反常积分中的应用重点：留数的概念、计算方法及留数定理难点：无穷远点的留数第六章解析函数对平面向量场的应用一、平面向量场二、平面向量场的复势三、对电学的应用重点：场的概念难点：应用综合第七章傅立叶变换一、傅立叶积分（一）傅立叶积分的概念（二）傅立叶积分的物理意义（三）傅立叶积分定理二、傅立叶变换（一）傅立叶变换的定义（二）傅立叶变换的性质三、函数及其傅立叶变换（一）函数的概念（二）函数的性质（三）函数的傅立叶变换重点：求函数的Fourier变换及Fourier变换的简单应用难点：求函数的Fourier变换第八章拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的概念（一）拉普拉斯积分（二）拉普拉斯变换二、拉普拉斯逆变换三、拉普拉斯变换的性质四、拉普拉斯变换的应用（一）线性微分方程与方程组（二）具有特殊扰动函数的微分方程重点：求函数的Laplace变换及逆变换，Laplace变换的简单应用难点：求函数的Laplace变换及逆变换四、课程各教学环节要求（一）课堂教学：本课程以课堂讲授为主，由于内容、概念、理论较多，课时紧，要求学生课前要预习，课后要认真复习和完成相应作业以保证教学效果和质量。（二）作业要求：每次上课后布置2-4道习题，要求学生按时完成，并登记有关情况。每章讲授完毕后，安排习题课或讨论课各一次。（三）成绩考核：本课程为考试课。期末命题考试成绩占70%左右，平时成绩占30%左右。总评成绩及格，方可获得本门课程的学分。五、学时分配教学内容各教学环节学时分配作业题量备注章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计1复数与复变函数222导数243积分4154级数5165留数5166解析函数的应用227傅立叶变换448拉普拉斯变换415合计28432六、课程与其它课程的联系复变函数的方法是电路分析、电场分析、电磁理论的基本方法，本课程将为后续学习《电路理论》、《电子线路基础》、《数字信号处理》、《电磁场与电波传播》、《微波技术与天线》等课程打下良好的数学基础。七、教材与教学参考书（一）教材[1]苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换．北京：高等教育出版社,2010[2]盖云英，包革军．复变函数与积分变换．北京：科学出版社,2007（二）教学参考书[1]盖云英，包革军．复变函数与积分变换．北京：科学出版社,2007。[2]焦红伟，尹景本.复变函数与积分变换.北