误差的基本性质与处理

误差的基本性质与处理1第1页，课件共163页，创作于2023年2月第一节随机误差2第2页，课件共163页，创作于2023年2月教学目标

本节阐述随机误差产生的原因与特征，减小随机误差的途径。通过本节的学习，读者应会分析随机误差产生的原因以及减少随机误差的途径；掌握用算术平均值表示测量结果的最佳估计，并用实验标准差以及置信区间来表示该随机误差的大小。本节内容是从事精密测量工作所必须掌握的基本方法，也是学习后续章节的基础。3第3页，课件共163页，创作于2023年2月教学重点和难点随机误差产生的原因随机误差的本质特征算术平均值贝塞尔公式试验标准差测量结果的最佳估计置信区间4第4页，课件共163页，创作于2023年2月一随机误差概述

介绍随机误差产生的原因，随机误差的本质特征以及减少随机误差的技术途径。

5第5页，课件共163页，创作于2023年2月(一)、随机误差产生的原因举例：某台激光数字波面干涉仪，对其进行准确度考核，在相同测量条件下对某标准平晶的表面面形进行150次重复测量获得面形峰谷值数据。通过实验分析，查询有关的技术资料和其他信息，可知随机误差来源结论：对具体测量问题具体分析，从所用的设备、人员、测量方法等资源以及环境等要素中去分析寻找主要的随机误差来源。6第6页，课件共163页，创作于2023年2月150次的面形峰谷值数据0.1240.1200.1180.1190.1210.1250.1210.1230.1200.1180.1190.1170.1180.1210.1190.1180.1190.1190.1150.1200.1190.1190.1190.1160.1160.1180.1210.1200.1220.1220.1190.1210.1210.1240.1210.1180.1180.1190.1200.1180.1190.1220.1180.1190.1190.1170.1180.1180.1180.1200.1190.1180.1200.1240.1200.1180.1180.1190.1210.1230.1240.1230.1180.1190.1190.1200.1200.1190.1190.1180.1230.1210.1190.1180.1200.1200.1200.1190.1200.1230.1180.1210.1190.1210.1200.1230.1230.1210.1180.1190.1200.1210.1220.1190.1210.1220.1190.1200.1170.1250.1190.1270.1200.1240.1230.1230.1180.1190.1240.1220.1230.1240.1210.1230.1230.1210.1200.1210.1230.1270.1250.1210.1200.1240.1230.1230.1240.1230.1190.1210.1230.1290.1210.1200.1210.1240.1230.1210.1250.1190.1220.1270.1210.1200.1220.1210.1220.1230.1240.1217第7页，课件共163页，创作于2023年2月

数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次测量中含有随机误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小。但就数据整体而言，却明显具有某种统计规律，这个规律可以用统计直方图来表示。数据特点8第8页，课件共163页，创作于2023年2月0.130.1140.1160.1180.120.1220.1240.1260.12801020304050

统计直方图

统计直方图在对称性方面有一些偏离理想正态分布的情形。对于测量状态不完好的光电类测量仪器，特别是对传动机械部件磨损较严重而规律尚未掌握的仪器，其测量随机误差可能就呈现其他分布的特征。对于测量状态比较完好的光电类测量仪器，其随机误差的分布往往较好的呈现正态分布的特征9第9页，课件共163页，创作于2023年2月激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源测量装置方面的因素

氦氖激光源辐射激光束的频率不够稳定造成激光波长的漂移

CCD光电探测器采集信号及其电信号处理电路造成干涉图像信号的随机噪声

离散化采样误差、各次装夹定位不一致

测量环境方面的因素

放置测量主机和被测试样的隔震台不能很好消除外界的低频震动

仪器所在实验室气流和温度的波动

空气尘埃的漂浮、稳压电源供电电压的微小波动

操作人员方面的因素

操作人员的装夹调整不当引起被采集的测量干涉图像质量低、条纹疏密不当

采集干涉图像的摄像头变焦倍数过小造成较大的离散化采样误差

10第10页，课件共163页，创作于2023年2月减小随机误差的技术途径

(1)测量前，找出并消除或减小其随机误差的物理源;(2)测量中，采用适当的技术措施，抑制和减小随机误差;(3)测量后，对采集的测量数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。对防震台充气减震、关空调减少气流、开机对激光器预热等。

戴工作手套装夹工件，调整光路要尽量减少离焦、倾斜，并使干涉条纹疏密适当，人员尽量远离测量光路；必要的话，适当增加重复测量次数取算术平均值等

视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可以有效消除低频随机噪声。11第11页，课件共163页，创作于2023年2月(二)、随机误差的本质特征若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的随机误差一般具有以下几个特征：１.绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性。２.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性。３.在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，这称为误差的有界性。

４.随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，这称为误差的抵偿性。12第12页，课件共163页，创作于2023年2月随机误差的表述

表述方法被测量的真值一系列测量值，假设各次测量值中不含有系统误差13第13页，课件共163页，创作于2023年2月随机误差的随机性影响

对于任何的测量，其中的随机误差源客观存在，它造成对每次测量数据的不可预测的随机性影响

影响表现在该测量总体服从某种分布误差大小可以通过标准差来估计误差界限则可用置信区间表示14第14页，课件共163页，创作于2023年2月含有随机误差的测量数据问题的处理方法

有条件获取较大样本数据的情形

可以做出实验统计直方图，定性定量地给出测量总体及其误差分布的判断，进而从中提取表示被测量大小的数字特征，并给出完整的测量结果无条件获取大样本数据的情形必须依据小样本的测量数据以及可能了解到的有关测量信息，合理给出代表测量总体的测量结果，包括其最佳估计值及其标准差、置信区间等15第15页，课件共163页，创作于2023年2月二、随机误差的数字特征

用于描述随机误差分布特征的数值叫做随机误差的数字特征。对于离散型或连续型的随机误差，它在数轴上的分布规律，虽可采取分布函数或分布密度函数及其相应的分布曲线图形来表示，但在实际测量数据处理中，要确定误差的分布函数或分布密度函数，是很困难的，一般也是不必要的，若知道了随机误差的数字特征．就能明确地说明随机误差分布的特征。16第16页，课件共163页，创作于2023年2月随机误差的数字特征主要有两个：①算术平均值②标准差。前者通常是随机误差的分布中心，后者则是分散性指标。例如，当随机误差服从正态分布时，在算术平均值处随机误差的概率密度最大，由多次测量所得的测得值是以算术平均值为中心而集中分布的；而标准差则可描述随机误差的散布范围，标准差愈大，测量数据的分散范围也愈大。显然，算术平均值可以作为等精度多次测量的结果，而标准差可以描述测量数据和测量结果的精度。17第17页，课件共163页，创作于2023年2月（一）算术平均值

主要介绍算术平均值的意义以及如何对算术平均值进行校核。18第18页，课件共163页，创作于2023年2月算术平均值的意义在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值作为测量结果的最佳估计。19第19页，课件共163页，创作于2023年2月无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据

若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值因为根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有

20第20页，课件共163页，创作于2023年2月最佳估计的意义

若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性。满足最小二乘原理在正态分布条件下，满足最大似然原理该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小该测量事件发生的概率最大

21第21页，课件共163页，创作于2023年2月残余误差一般情况下，被测量的真值为未知，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算，则有：式中，li为第i个测得值，i＝１，２，…，ｎ；

vi为li的残余误差（简称残差）。22第22页，课件共163页，创作于2023年2月简便法计算算术平均值任选一个接近所有测得值的数作为参考值，

23第23页，课件共163页，创作于2023年2月残余误差的性质对残余误差进行求和可得：当平均值为未凑整的准确数时，则有：残余误差的代数和等于零

利用这一性质可以校核算术平均值和残余误差计算的正确性。24第24页，课件共163页，创作于2023年2月用残余误差代数和校核算术平均值及其残余误差的规则：

①残差代数和应符合：当，求得的为非凑整的准确数时，为零；当，求得的为非凑整的准确数时，为正，其大小为求时的余数；当，求得的为非凑整的准确数时，为负，其大小为求时的亏数。

②残差代数和绝对值应符合：当n为偶数时，；当n为奇数时，。式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。

25第25页，课件共163页，创作于2023年2月（二）标准差（标准偏差）

主要介绍标准差的意义以及如何计算标准差的方法。26第26页，课件共163页，创作于2023年2月1、测量列单次测量的标准差由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一般皆不相同，围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散，此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性，必须用一个数值作为其不可靠性的评定标准。27第27页，课件共163页，创作于2023年2月由正态分布图形可知：σ值越大，e的指数绝对值越大，f(σ)减小的越快，即曲线变陡：反之曲线越平坦。单次测量的标准差σ是表征同一被测量的n次测量的测得值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。28第28页，课件共163页，创作于2023年2月

应该指出，标准差不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差。

σ的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差，一般都不等于σ，但却认为这一系列测量中所有测得值都属同样一个标准差的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。29第29页，课件共163页，创作于2023年2月标准差的计算公式在等精度测量列中，单次测量的标准差计算公式为：

当被测量未知时，可用残余误差代替真误差，而得到标准差的估计值。30第30页，课件共163页，创作于2023年2月实验标准差定义贝塞尔公式极差法最大误差法

对于一组测量数据，用其标准差来表述这组数据的分散性。

如果这组数据是来自于某测量总体的一个样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标准差的一个估计，称其为样本标准差，又称为实验标准差。

31第31页，课件共163页，创作于2023年2月贝塞尔公式公式意义总体标准差的估计(实验样本标准差)计算公式是方差的无偏估计，但s并不是标准差的无偏估计为残余误差，简称残差。32第32页，课件共163页，创作于2023年2月

修正贝塞尔公式贝塞尔公式的修正因子２34567891015201.251.131.091.061.051.041.041.031.031.021.01值随减少明显偏离系数1在样本数较小的情形（如），为了提高对s估计的相对误差，最好用无偏修正的贝塞尔公式33第33页，课件共163页，创作于2023年2月标准差的相对误差

在n次测量服从正态分布且独立的条件下，有

适用的估计贝塞尔公式的相对误差的公式

估计标准差的相对误差，用百分数表示，该百分数愈小，表示估计的信赖程度愈高。34第34页，课件共163页，创作于2023年2月几种估计标准差的相对误差贝塞尔公式0.80修正贝塞尔公式0.60极差法0.76最大误差法0.750.51４1230.570.460.520.450.470.390.430.40５0.400.340.370.36６0.360.310.340.33７0.320.280.310.31８0.300.260.290.2990.280.250.270.28100.260.230.260.27200.170.160.200.23当样本数较小的情形（如），用贝塞尔公式估计的信赖程度已经开始低于极差法和最大误差法，应当改用修正的贝塞尔公式来估计标准差35第35页，课件共163页，创作于2023年2月用某仪器测某物水份含量，测得50个数据如下（单位：水份百分比（％））3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2,3.8,3.2,3.7,3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2.7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5,4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3.6,3.4,3.3试评价该仪器的测量重复性及其相对标准差。【例2-1】【解】分别计算故该仪器的测量重复性为0.44,其估计相对误差为0.10。

36第36页，课件共163页，创作于2023年2月别捷尔斯法37第37页，课件共163页，创作于2023年2月极差法对多次独立测得的数据，最大值，最小值当测量误差服从正态分布时，标准差的计算公式极差是测量总体标准差的无偏估计38第38页，课件共163页，创作于2023年2月

极差法系数２1.130.7692.970.27163.530.2131.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.740.2072.700.31143.410.2282.850.29153.470.2239第39页，课件共163页，创作于2023年2月最大误差法测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式在已知被测量的真值的情形，多次独立测得的数据的真误差，其中的绝对值最大40第40页，课件共163页，创作于2023年2月最大残差法

在一般情况下，被测量的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差

最大残余误差估计标准差41第41页，课件共163页，创作于2023年2月最大误差法系数0.880.511.77４1230.750.451.020.680.400.83５0.640.360.74６0.610.330.68７0.580.310.64８0.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251.250.7542第42页，课件共163页，创作于2023年2月

对某量测得数据7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，试分别用贝塞尔公式、极差法、最大误差法估计其测量标准差【例2-2】【解】(1)用贝塞尔公式估算43第43页，课件共163页，创作于2023年2月(2)用极差法估算查表，得故计算结果144第44页，课件共163页，创作于2023年2月（3）用最大误差法估算真值未知，计算最大残差

查表，插值计算得

故计算结果245第45页，课件共163页，创作于2023年2月2、算术平均值的标准差在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值。由于随机误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散。此分散说明了算术平均值的不可靠性。

算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。46第46页，课件共163页，创作于2023年2月适当增加测量次数取其算术平均值表示测量结果，是减小测量随机误差的一种常用方法。计算公式算术平均值的标准差单次测量标准差测量总体标准差47第47页，课件共163页，创作于2023年2月10次算术平均值与单次测量的分布关系

两者的分布类型和峰值位置未发生变化，只是分散性不同。48第48页，课件共163页，创作于2023年2月

测量次数愈大时，也愈难保证测量条件的不变，从而带来新的误差。另外，增加测量次数，必与测量次数的关系当一定时， 以后， 已减小得较缓慢。然会增加测量的工作量及其成本。因此一般情况下，取以内较为适宜。总之，要提高测量准确度，应选用适当准确度的测量仪器，选取适当的测量次数。49第49页，课件共163页，创作于2023年2月三、极限误差（置信区间）

介绍如何确定误差分布的区间性指标，即可用于表述误差界限的置信区间。在置信概率一定的情况下，置信区间还与误差分布的具体形态密切相关。本节对置信区间给出一般的数学描述，而且还要针对几种常见的误差分布进行具体讨论。由于测量误差分布与测量总体的分布之间对测量数据的描述方式上，只是相差一个常数值，故以下均按测量总体分布来描述。

50第50页，课件共163页，创作于2023年2月（一）置信区间的基本概念置信区间计算公式测量总体的概率密度

置信概率或置信水平,为显著水平

期望值

下半置信区间宽度，上半置信区间宽度

概率密度呈对称分布的情形，常取

高置信水平下的置信区间半宽度又称为极限误差51第51页，课件共163页，创作于2023年2月置信区间半宽度的常用表示方法或或置信因子标准差

确定置信区间半宽度的关键是在已估计标准差下如何确定置信因子

52第52页，课件共163页，创作于2023年2月若某随机误差在范围内出现的概率为则超出的概率为根据给定的概率，查表得到t的值，就可计算出极限误差的值。因此一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示：53第53页，课件共163页，创作于2023年2月

t|δ|=tσ不超出｜δ｜的概率２Φ（t）超出｜δ｜的概率1-２Φ（t）

测量次数n超出｜δ｜的测量次数0.670.67σ0.49720.50282111σ0.68260.31743122σ0.95440.045622133σ0.99730.0027370144σ0.99990.000115626154第54页，课件共163页，创作于2023年2月正态分布的置信区间55第55页，课件共163页，创作于2023年2月1、总体标准差或大样本标准差已知的情形置信区间半宽度为置信因子由计算得到正态积分函数，可查表获得总体标准差已知总体标准差未知，但已知大样本标准差置信概率或置信水平(单次测量)(n次测量)(单次测量)(n次测量)56第56页，课件共163页，创作于2023年2月2.03.02.580.990.010.9540.0461.960.950.051.6450.900.101.00.6830.3170.67450.50.50.99730.00273.300.9990.001一些常用置信因子对应的置信水平57第57页，课件共163页，创作于2023年2月2、小样本标准差已知的情形

置信区间半宽度为(单次测量)置信区间半宽度为(n次测量)自由度，为样本容量自由度，为测量次数值可通过查分布表得到，为显著水平58第58页，课件共163页，创作于2023年2月3、没有标准差已知信息的情形

置信区间半宽度为59第59页，课件共163页，创作于2023年2月（1）大样本情形，估计置信区间的置信因子都用正态分布；小样本情形，则用t分布。（2）单次测量情形，估计置信区间的标准差都用单次测量的标准差；多次测量情形，则用算术平均值的标准差。总结60第60页，课件共163页，创作于2023年2月

用游标卡尺对某一试样尺寸测量10次，假定测量服从正态分布，并已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下（单位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08(1)求算术平均值及其标准差，并估计标准差的信赖程度；(2)求算术平均值的极限误差（=0.9973）。【例2-5】【解】(1)分别计算故该标准差估计的信赖程度为。

61第61页，课件共163页，创作于2023年2月（2）先按小样本估计，查分布临界值表,

有再按大样本估计，查正态分布临界值表，

有综上所述：（1）算术平均值是处理等权测量数据的一个最佳估计量；（2）一般按贝塞尔公式计算和，样本数时只能用最大误差法计算；（3）算术平均值的极限误差一般按确定。计算结果62第62页，课件共163页，创作于2023年2月二、其他分布的置信区间

对称性分布

与处理正态分布置信区间的方法相仿，可以从概率密度函数直接计算该区间概率的方式得到,并用下式表示非对称性分布

将非对称分布折算为对称正态分布来处理，实质上是依分布于中点值表示，而折算到依均值表示。

或63第63页，课件共163页，创作于2023年2月非正态分布按正态分布折算估计范围分别依均值和中点值折算到正态分布为分布系数不对称系数64第64页，课件共163页，创作于2023年2月1、截尾正态误差分布

加工塞规，废品率已控制在以内，统计塞规加工误差，试求该塞规工件的加工极限误差。

【例2-6】【解】通常塞规在10%废品率控制下合格品的误差服从双边对称截尾正态分布，查表

当置信因子故极限误差65第65页，课件共163页，创作于2023年2月2、均匀误差分布

测量的估计量，由下式计算得到

极限误差

极差66第66页，课件共163页，创作于2023年2月基线尺滑轮摩擦引起的尺寸误差接近均匀分布。若引起24基线尺的尺寸变化数据分别为378，512，413，687，403，687，577，485，364，463，试估计基线尺的尺长变化量。【例2-7】【解】极限误差计算故基线尺的尺长估计为

67第67页，课件共163页，创作于2023年2月3.偏心分布（瑞利分布）误差

【例2-8】为检定某机床弹簧夹头的定心精度，用精密千分尺重复量该精密心轴共15次，该心轴的径向跳动量分别为4，6，5，4，5，6，4，5，7，5，4，8，5，4，4。不计系统误差和粗大误差，试求该弹簧夹头所造成得平均径向跳动量及最小和最大径向跳动量。【解】偏心分布计算68第68页，课件共163页，创作于2023年2月计算结果因此，该弹簧夹头所造成的径向跳动平均为5，最小径向跳动有3，最大径向跳动达9。注意，这里忽略了心轴及千分表的影响69第69页，课件共163页，创作于2023年2月4.绝对正态分布（差值模分布）误差

【例2-9】检定某圆度仪的测量精度，选用圆度误差小于0.5的标准球，重复测量10次，误差数据分别为0.9，0.5，0.3，0.4，0.5，1.3，0.6，0.3，0.4，1.1，试求其误差均值和极限误差(单位：)【解】计算圆度误差定义为该标准球上同一截面的最大与最小半径之差的绝对值，故按绝对正态分布处理70第70页，课件共163页，创作于2023年2月计算结果查表故其检定结果71第71页，课件共163页，创作于2023年2月五、测量的极限误差测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差不超过该极端误差的概率为P，并使差值（1-P）可予忽略。72第72页，课件共163页，创作于2023年2月单次测量的极限误差误差落在区间（-δ,+δ）之间的概率时，则得：73第73页，课件共163页，创作于2023年2月随机误差在范围内出现的概率为，则超出的概率为测量列单次测量的极限误差：

74第74页，课件共163页，创作于2023年2月算术平均值的极限误差测量列的算术平均值与被测量的真值之差称为算术平均值误差当多个测量列的算术平均值误差为正态分布时，根据概率论知识，同样可得测量列算术平均值的极限表达式为：测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布(“student”distribution)或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即75第75页，课件共163页，创作于2023年2月六、不等精度测量在科学研究或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称之为不等精度测量。1、不等精度测量的情况:

改变测量次数改变测量条件对于不等精度测量，计算最后测量结果及其精度，不能套用前面的等精度测量的计算公式，需推导出新的计算公式。76第76页，课件共163页，创作于2023年2月2、“权”的概念：各测量结果的可靠程度可用一数值来表示,这个数值即称为该测量结果的”权”,记为p。“权”的测量方法：测量结果的权说明了测量的可靠程度。因此可根据这一原则来确定权的大小。

77第77页，课件共163页，创作于2023年2月（1）.最简单的方法是按测量的次数来确定权（2）.根本的方法是由标准差来确定78第78页，课件共163页，创作于2023年2月3、加权算术平均值4、单位权单位权化的实质:使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。即

79第79页，课件共163页，创作于2023年2月5、加权算术平均值的标准差各组标准差已知各组标准差未知但是,只有当组数m足够多时,才能得到较为精确的σ值,一般情况下的组数较少,只能得到近似的估计值。80第80页，课件共163页，创作于2023年2月第二节系统误差81第81页，课件共163页，创作于2023年2月

测量过程中系统误差往往伴随着随机误差一起出现，但系统误差更具有隐蔽性。本节讨论系统误差的来源、分类以及对测量结果的影响，发现和检验系统误差的方法，以及消除系统误差的基本方法。

教学目标82第82页，课件共163页，创作于2023年2月

系统误差产生的原因系统误差的特征系统误差的发现系统误差的统计检验系统误差减少和消除的方法教学重点和难点83第83页，课件共163页，创作于2023年2月一系统误差概述主要介绍系统误差产生的原因以及系统误差的分类与特征

84第84页，课件共163页，创作于2023年2月（一）、系统误差产生的原因

在测量过程中，影响测量偏离真值的所有误差因素中，只要是由确定性变化规律的因素造成的，都可以归结为是系统误差的原因

系统误差产生的原因从各种可能影响测量结果的要素中去寻找。

系统误差是可以设法预测的

测量装置的因素测量方法的因素测量环境的因素测量人员的因素85第85页，课件共163页，创作于2023年2月测量装置和测量人员的因素测量装置的因素

计量校准后发现的偏差仪器设计原理的缺陷仪器制造和安装的不正确标准环规的直径偏差齿轮杠杆测微仪直线位移和转角不成比例的误差标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器导轨的误差测量人员的因素

由于测量者固有的测量习性，如读出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时总有一个滞后的倾向等。

86第86页，课件共163页，创作于2023年2月测量环境的因素测量方法的因素测量环境和测量方法的因素测量时的实际温度对标准温度的偏差，对测量结果可以按确定规律修正的误差等

采用近似的测量方法或近似的计算公式等所引起的误差用均值电压表测量交流电压时，由于计算公式出现无理数和，取近似公式，由此产生的误差在间接测量中常见此类误差87第87页，课件共163页，创作于2023年2月激光数字波面干涉仪的系统误差来源激光波长系统漂移标准镜面局部缺陷的固定电噪声干涉视场的系统噪声波差多项式模型误差88第88页，课件共163页，创作于2023年2月（二）、系统误差的分类与特征

1.分类

2.特征(1)无补偿性：影响算术平均值的估计(2)可变系统误差影响测量结果分散性的估计恒定（常量）(2)根据对系统误差的掌握程度分类(1)根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性分类可变（线性、周期性、其他复杂规律）已定的未定的89第89页，课件共163页，创作于2023年2月恒定系统误差在整个测量过程中，误差大小和符号均固定不变的系统误差某量块的公称尺寸为10mm，实际尺寸为10.001mm,误差为0.001mm,若按公称尺寸使用,则始终会存在0.001mm的系统误差某千分尺零位位置不指零，也会在使用过程中造成对每次测量量值读数的一个常量的零值误差90第90页，课件共163页，创作于2023年2月可变系统误差在整个测量过程中，误差的大小和符号随着测量位置或时间的变化而发生有规律的变化线性变化系统误差周期性变化系统误差复杂规律变化系统误差91第91页，课件共163页，创作于2023年2月线性变化系统误差

在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差值成比例地增大或减小，称该误差为线性变化系统误差

刻度值为1mm的标准刻尺，存在刻划误差，每一刻度间距实际为，若用它与另一长度比较，得到比值为，则被测长度的实际值为由于测量值为，故产生的系统误差 是随测量值的大小而线性变化的

92第92页，课件共163页，创作于2023年2月线性变化系统误差举例某长度为1金属刻尺的材料随温度变化的线膨胀系数为，则在使用其测长时在偏离标准温度(200C)50C的条件下引起的测长误差可视为随温度线性变化的系统误差有3在丝杠测量中，由于丝杠轴心线安装偏斜所造成的螺距累积误差，是随牙数或螺距的测量长度而线性变化的系统误差93第93页，课件共163页，创作于2023年2月周期性变化系统误差在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差按周期性规律变化的，称其为周期性变化系统误差

仪表指针的回转中心与刻度盘中心有一个偏离值，则指针在任一转角处引起的读数误差为。此误差变化规律符合正弦曲线规律，当指针在00和1800时误差为零，而在900和2700时误差绝对值达最大某齿轮、光学分度头中分度盘等安装偏心引起的齿轮齿距误差、分度误差，都是属于正弦规律变化的系统误差94第94页，课件共163页，创作于2023年2月复杂规律变化系统误差

在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差按确定的更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化系统误差

微安表的指针偏转角与偏转力矩不能保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差复杂规律一般可建立诸如代数多项式、三角多项式或其他正交函数多项式等数学模型来描述95第95页，课件共163页，创作于2023年2月各类特征系统误差图示曲线a是恒定系统误差，曲线b是线性变化系统误差，曲线c是非线性变化系统误差，曲线d是周期性变化系统误差，曲线e是复杂规律变化系统误差。96第96页，课件共163页，创作于2023年2月已定系统误差和未定系统误差

指误差的大小和符号均已确切掌握了的，因此在处理和表征测量结果时，是属于可修正的系统误差。指这类系统误差的大小和符号不能完全确切掌握的，因此在处理和表征测量结果时，是属于不可修正的系统误差。已定系统误差未定系统误差97第97页，课件共163页，创作于2023年2月（三）、系统误差

对测量结果的影响98第98页，课件共163页，创作于2023年2月1．影响测量最佳值的估计

设有一组常量测量数据中分别存在系统误差和随机误差，真值记为则这组测量数据的算术平均值

表明系统误差一般不具有抵偿性，即

系统误差会影响对算术平均值的估计

99第99页，课件共163页，创作于2023年2月2.可变系统误差影响测量结果分散性的估计

测量数据的残余误差对于恒定系统误差，上式第二项为零，说明恒定系统误差不会影响对残差的计算，因而不会对标准差的估计产生影响对于可变系统误差的情形，上式第二项一般不为零，说明可变系统误差还会对标准偏差的估计产生影响100第100页，课件共163页，创作于2023年2月由于它在数据处理中只影响算术平均值，而不影响残差及标准差，所以除了要设法找出该恒定系统误差的大小和符号，对其算术平均值加以修正外，不会影响其他数据处理的过程。由于它对算术平均值和残差均产生影响，所以应在处理测量数据的过程中，必须要同时设法找出该误差的变化规律，进而消除其对测量结果的影响。可变系统误差恒定系统误差小结101第101页，课件共163页，创作于2023年2月可变系统误差的随机误差分布

时刻时刻时刻时刻对于测量过程中不同时刻情形，由于可变系统误差的存在，将随机误差的测量值分布展开后呈现如图所示可变系统误差造成测量结果的算术均值变化、分散性也变大的图形解释102第102页，课件共163页，创作于2023年2月二系统误差的发现与统计检验103第103页，课件共163页，创作于2023年2月发现系统误差的常用方法实验对比法残余误差观察法残余误差校核法不同公式计算标准差比较法计算数据比较法秩和检验法t检验法104第104页，课件共163页，创作于2023年2月

（一）、实验对比法适用于发现不变的系统误差

实验对比法是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差。105第105页，课件共163页，创作于2023年2月（二）、残余误差观察法106第106页，课件共163页，创作于2023年2月残余误差观察法主要适用于发现有规律变化的系统误差残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。显著含有系统误差的测量列，其任一测量值的残余误差为系统误差与测量列系统误差平均值之差。107第107页，课件共163页，创作于2023年2月含有系统误差的残差散点图

图（b）的残差数值有规律地递增，且在测量开始与结束时误差符号相反，则说明存在线性递增的系统误差。图（a）说明各残差大体正负相间，无显著变化规律，故无根据怀疑有可变系统误差。108第108页，课件共163页，创作于2023年2月含有系统误差的残差散点图(续）图（c）的残差符号由正变负，再由负变正，循环交替地变化，则说明存在周期性系统误差图（d）的残差值变化既有线性递增又有周期性变化，则说明存在复杂规律的系统误差。109第109页，课件共163页，创作于2023年2月（三）残余误差校核法

（1）用于发现线性系统误差若将测量列中前K个残余误差相加，后(n-K)个残余误差相加，两者相减得(当n为偶数，取K＝n／2；为奇数，取K＝(n+1)／2110第110页，课件共163页，创作于2023年2月若差值Δ显著不为零，则有理由认为测量列存在线性系统误差。这种校核法又称为马利科夫推则，它能有效地发现线性系统误差。但值得指出的是，有时按残余误差校核法求得差值Δ＝0，仍有可能存在系统误差。111第111页，课件共163页，创作于2023年2月若有一等精度测量列，按测量先后顺序将残余误差排列，如果存在着按此顺序呈周期性变化的系统误差，则相邻两个残余误差的差值(vi－vi+1)符号也将出现周期性的正负号变化，因此由差值可以判断是否存在周期性系统误差。但是这种方法只有当周期性系统误差是整个测量误差的主要成分时，才有实用效果。

（2）用于发现周期性系统误差112第112页，课件共163页，创作于2023年2月否则，差值(vi－vi+1)符号变化将主要取决于随机误差，以致不能判断出周期性系统误差。在此情况下，可用统计准则进行判断。若

则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又叫阿卑－赫梅特准则，它能有效地发现周期性系统误差。113第113页，课件共163页，创作于2023年2月(四）不同公式计算标准差比较法按等精度测量，可用不同公式计算标准差，通过比较以发现系统误差。贝塞尔公式别捷尔斯公式

令若则怀疑测量列中存在系统误差。114第114页，课件共163页，创作于2023年2月对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。（五）计算数据比较法115第115页，课件共163页，创作于2023年2月若对同一量独立测得m组结果，并知它们的算术平均值和标准差为而任意两组结果之差为其标准差为则任意两组结果与间不存在系统误差的标志是116第116页，课件共163页，创作于2023年2月（六）秩和检验法对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差，可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。若独立测得两组的数据为将它们混合以后，按大小顺序重新搭列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混合后的次序(即秩)，再将所有测得值的次序相加，即得秩和T117第117页，课件共163页，创作于2023年2月（1）

两组的测量次数n1，n2＜10，可根据测量次数较少的组的次数

n1和测量次数较多的组的次数n2

，由秩和检验表查得了T-和T+(显著度0.05)，若T-<T<T+则无根据怀疑两组间存在系统误差。118第118页，课件共163页，创作于2023年2月（2）

当n1，n2>10，秩和T近似服从正态分布此时T-和T+可由正态分布算出。根据求得的数学期望值α和标推差σ，则选取概率Ф(t)，由正态分布积分表查得tα，若则无根据怀疑两组间存在系统误差。119第119页，课件共163页，创作于2023年2月（七）t检验法当两组测得值服从正态分布时，可用t检验法判断两组间是否存在系统误差若独立测得的两组数据为

令变量此变量服从自度为的t分布变量取显著度α，由t分布表查P(︱t︱＞tα)＝α中的tα，若实测数列中算出之︱t︱<tα，则无根据怀疑两组间有系统误差。120第120页，课件共163页，创作于2023年2月七种系统误差发现方法:按其用途可分为两类第一类用于发现测量列组内的系统误差第二类用于发现各组测量之间的系统误差。121第121页，课件共163页，创作于2023年2月三

系统误差的减小与消除消误差源法加修正值法不变系统误差消除法线性系统误差消除法—对称法周期性系统误差消除法—半周期法122第122页，课件共163页，创作于2023年2月（一）、消误差源法

最理想的方法。它要求对产生系统误差的因素有全面而细致的了解，并在测试前就将它们消除或减弱到可忽略的程度。视具体条件不同，有：（1）所用基、标准件（如量块、刻尺、光波波长等）是否准确可靠。（2）所用仪器是否经过检定，并有有效周期的检定证书。（3）仪器调整、测件安装定位和支承装卡是否正确合理。（4）所用测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差。（5）测量场所的环境条件是否符合规定要求，如温度变化等（6）测量人员主观误差，如视差习惯等。123第123页，课件共163页，创作于2023年2月（二）、加修正值法124第124页，课件共163页，创作于2023年2月基本思想关键：确定修正值或修正函数。预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，作出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果量块的实际尺寸不等于公称尺寸，若按公称尺寸使用，就要产生系统误差。因此应按经过检定的实际尺寸（即将量块的公称尺寸加上修正量）使用，就可以避免此项系统误差的产生125第125页，课件共163页，创作于2023年2月（三）不变系统误差消除法126第126页，课件共163页，创作于2023年2月恒定系统误差－替代法

在测量装置上测量被测量后不改变测量条件，立即用相应的标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而得到该标准量测量结果与已知标准量的差值，即系统误差，取其负值即可作为被测量测量结果的修正量。

127第127页，课件共163页，创作于2023年2月等臂天平称重,先将被测量放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有移去被测量，用标准砝码代替，若该砝码不能使天平重新平衡，如能读出使天平平衡的差值，则有便消除了天平两臂不等造成的系统误差。

由于（存在恒定统误差的缘故）恒定系统误差－替代法举例128第128页，课件共163页，创作于2023年2月根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。

恒定系统误差－交换法等臂天平称重,先将被测量放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有若将与交换位置，由于（存在恒定统误差的缘故），天平将失去平衡。原砝码P调整为砝码,才使天平再次平衡。于是有则有消除了天平两臂不等造成的系统误差。

129第129页，课件共163页，创作于2023年2月恒定系统误差－抵消法进行两次反向测量，该两次测量读数时出现的系统误差大小相等，符号相反，即取两次测值的平均，有在使用丝杠传动机构测量微小位移时，为消除测微丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的空回误差，往往采用往返两个方向的两次读数取算术平均值作为测得值，以补偿空回误差的影响130第130页，课件共163页，创作于2023年2月（四）线性系统误差消除法-对称法对称法是消除线性系统误差的有效方法。随着时间的变化，被测量作线性增加，若选定某时刻为中点，则对称此点的系统误差算数平均值皆相等。将测量对称安排，取各对称点两次读数的算术平均值作为测得值，即可消除线性系统误差。131第131页，课件共163页，创作于2023年2月（五）周期性系统误差消除法-半周期法对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心引起的刻度示值误差呈周期性变化，即误差如采用在相距半周期的两个对径位置上读数取平均，即可有效地消除此误差132第132页，课件共163页，创作于2023年2月复杂规律变化的系统误差

构造合适的数学模型，进行实验回归统计后，对该误差进行补偿和修正。改用组合测量等方法，使系统误差以尽可能多的组合方式出现于被测量中，使之具有偶然误差的抵偿性，即以系统误差随机化的方式消除其影响。这种方法叫组合测量法。如用于检定线纹尺的组合定标法和度盘测量中的定角组合测量法以及力学计量中检定砝码的组合测量法等

133第133页，课件共163页，创作于2023年2月

（1）偶然误差具有抵偿性，这是它最本质的特征，算术均值和标准差是表示测量结果的两个主要统计量；系统误差不具备抵偿性，会影响算术均值，非恒定的系统误差还影响标准差；粗大误差存在于个别可疑数据中，会严重影响算术均值和标准差。（2）偶然误差服从统计规律，无法消除但适当增加次数可减小之；系统误差服从确定性规律，要采取适当的措施消除或减小它；粗大误差既违背统计规律又违背确定性规律，可用物理或统计的方法判断后剔除。

(３)在测量过程中，要注意从实际出发，去区分误差的性质，究竟是随机误差，还是系统误差。小结三类误差性质与特征小结134第134页，课件共163页，创作于2023年2月【例2-10】用立式光学比长仪检定某量块。测量该量块偏离标称值10mm的9次偏差数据依次为+0.5,+0.7,+0.4,+0.5,+0.3,+0.6,+0.5,+0.6,+0.4。另外，用基准量块检定该仪器有+0.1的基本误差。试分析估算用立式光学比长仪检定该量块的测量误差，并写出修正的测量结果。【解】用基准量块检定该仪器含有+0.1的基本误差，故用该仪器检定量块的修正值为-0.0001。计算135第135页，课件共163页，创作于2023年2月残差和统计法

故可判断无显著的线性系统误差。

小样本序差统计法

查表有故认为不存在显著的周期性系统误差。计算结果136第136页，课件共163页，创作于2023年2月用9次测量数据统计检定中随机误差的大小，有

修正后检定量块的结果为

计算结论137第137页，课件共163页，创作于2023年2月第三节粗大误差138第138页，课件共163页，创作于2023年2月

本节介绍在测量前或测量后发现粗大误差，如果无法发现并剔除粗大误差，则又如何在测量数据处理中去减小他对测量结果的影响。通过本节的学习，读者在测量数据处理中知道如何发现并剔除粗大误差。教学目标139第139页，课件共163页，创作于2023年2月教学重点和难点粗大误差产生的原因

3准则罗曼诺夫斯基准则格罗布斯准则狄克松准则测量数据的稳健处理140第140页，课件共163页，创作于2023年2月一粗大误差问题概述141第141页，课件共163页，创作于2023年2月粗大误差对测量数据的影响可疑数据

在一列重复测量数据中，有个别数据与其它数据有明显差异，它可能是含有粗大误差（简称粗差）的数据

异常值

确定混有粗大误差的数据

不恰当地剔除含大误差的正常数据，会造成测量重复性偏好的假象

未加剔除，必然会造成测量重复性偏低的后果

随机误差分布粗大误差142第142页，课件共163页，创作于2023年2月粗大误差产生的原因客观外界条件的原因

测量人员的主观原因

测量仪器内部的突然故障

机械冲击、外界震动、电网供电电压突变、电磁干扰等测量条件意外地改变，引起仪器示值或被测对象位置的改变而产生粗大误差。测量者工作责任性不强，工作过于疲劳，对仪器熟悉与掌握程度不够等原因，引起操作不当，或在测量过程中不小心、不耐心、不仔细等，从而造成错误的读数或错误的记录若不能确定粗大误差是由上述两个原因产生时，其原因可认为是测量仪器内部的突然故障。143第143页，课件共163页，创作于2023年2月二统计判断准则144第144页，课件共163页，创作于2023年2月统计方法的基本思想给定一个显著性水平，按一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它不属于随机误差的范畴，而是粗大误差，该数据应予以剔除3σ准则

罗曼诺夫斯基准则格罗布斯(