三欧几里得与《原本》课件

人教A版选修3-1数学史选讲

第二讲古希腊数学三欧几里得与《原本》合肥市第七中学黄夏宁泰勒斯毕达哥拉斯柏拉图亚里士多德亚历山大欧几里得苏格拉底阿基米德古希腊数学发展011.泰勒斯Thales公元前624年—公元前546年西方朴素唯物主义始祖理性数学之父提出了“水是万物的本源”开创演绎推理的先河2.毕达哥拉斯Pythagoras约公元前580年-前500年毕达哥拉斯学派基本信条：万物皆数3.柏拉图Plato约公元前427年-前347年拉斐尔1510年《雅典学院》4.亚历山大大帝AlexandertheGreat约公元前356年-前323年智慧之都：亚历山大城Euclid

公元前330年—公元前275年

5.欧几里得欧几里得轶事1）不懂几何者不得入内欧几里得出生于雅典，当时雅典是古希腊文明的中心.浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入柏拉图学园学习.一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的柏拉图学园.只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂几何者，不得入内!”

这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了.有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么?正在人们面面相觑，不知是进是退的时候，欧几里得从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去.2）几何学里没有王者之路在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯（约410～485）的《几何学发展概要》中，记载着这样一则故事，说的是数学在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题，以至于当时亚里山大国王托勒密一世也想赶这一时髦，学习几何学.他问欧几里得：“学习几何学有没有什么捷径可走？”欧几里得笑道：“抱歉，陛下！学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的.学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的.在这一方面，国王和普通老百姓是一样的.”

从此“在几何学里，没有专为国王铺设的大道”成为千古传诵的学习箴言.当时数学学科发展特点1.人们已经积累了许多几何学的知识；

2.大多数是片断、零碎的知识，缺乏系统性；3.随着社会经济的繁荣和发展，把几何学知识加以条理化和系统化已经刻不容缓.公元前624年~前546年泰勒斯公元前580年~前500年毕达哥拉斯公元前330年~前275年欧几里得公元前427年~前347年柏拉图公元前356年~前323年亚历山大大帝《原本》简介02

欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果整理、收集起来，并加以系统化.

他从少数已被经验反复验证的公理出发，运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理与推论，写成了十三卷在数学史上的数学巨作《原本》，使几何学成为一门独立、演绎的科学.1.《原本》的诞生video

含5个公理、5个公设、119个定义和465个命题

第一卷几何基础（23个定义、5个公理、5个公设和48个命题）第二卷几何与代数（14个命题）第三卷圆与角（39个命题）第四卷圆与正多边形（16个命题）第五卷比例第六卷相似第七卷数论（一）第八卷数论（二）第九卷数论（三）（102个命题）第十卷无理量（篇幅最长）第十一卷立体几何第十二卷立体的测量第十三卷建正多面体2.《原本》的主要内容第47个定理就是直角三角形的勾股定理如完全平方式和平方差公式第一个就是求最大公约数的方法（必修3）有关于直线和平面的定义定理，以及平行六面体的定义等等第14个定理就是证明三角形全等的边角边定理第15个证明等腰三角形两底角相等第12，13个命题就是现代的余弦定理等于同量的量彼此相等01等量加等量，其和相等02等量减等量，其差相等03彼此能重合的物体是全等的04整体大于部分05五条公理五条公设凡是直角都相等同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交有限直线可以无限地延长过两点能作且只能作一直线以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆几何《原本》在人类数学史中第一次给出了公理化的数学体系，成为理性思维的象征.对整个数学发展产生了深远的影响.

3.

《原本》的意义公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受.人们普遍建立了这样的认识，所有的数学理论，都必须按照数学的定义、公理与三段论的逻辑论证来组织.由于数学公理化方法表述的简捷性、条理性、结构的合理性，其他学科纷纷效法，建立了自己的公理化体系.牛顿的《自然哲学的数学原理》的结构定义1物质的量是用它的密度和体积一起来度量的。定义2运动的量是用它的速度和质量一起来度量的(动能)定义3外加力是一种为了改变一个物体的静止或匀速直线运动状态而加于其上的作用力。牛顿第一定律：每个物体能保持其静止或沿一直线作匀速运动的状态，除非有外力加于其上迫使它改变这种状态。牛顿第二定律：运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在所加的力的那个直线方向上。牛顿第三定律：每一个作用力总是有一个相等的反向作用和它相对抗。牛顿的三大定律，就是他建立经典力学的公理化基础，也是他对物理学的一项伟大贡献。

设AB为已知的线段.要求：以线段AB为边建立一个等边三角形.

画法：以A为圆心、AB为半径作圆BCD(公设1.3);再以B为圆心，以BA为半径作圆ACE(公设1.3)；两圆相交与C点，连接CA、CB.

圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条直线上任何一点所连成的线段都相等.证明：因为A点是圆CDB的圆心，故AC等于AB（定义I.15）.又点B是圆CAE的圆心，故BC等于BA（定义I.15），

因为等于同量的量彼此相等（公理I.1）；所以CA等于CB.

所以三条线段CA、AB、BC相等.所以三角形ABC是建立在线段AB上的等边三角形.证毕

命题I.1已知一条线段可作一个等边三角形以定点为圆心及定长的线段为半径可作圆.4.《原本》命题举例尺规作图首先，希腊数学的基本精神是从不多的几个基本假定出发，推导出一系列的定理.它要求基本假定越少越好，推出的命题越多越好.因此，对于作图工具，自然也相应地限制到不能再少的程度.

其次，几何学除了有实用价值外，还有训练智力的巨大作用.几何能给人以直观印象，将逻辑推理体现在具体的图形之中.最后，以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为，圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象，有了尺规，圆和直线已经能够作出，因此就规定只能用这两种工具了.

《原本》中的几何作图，规定只能用直尺和圆规.尝试用尺规作图作出正三角形、正方形.正五边形呢？第五公设

同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交.5.《原本》的局限

理论体系并不是完美无缺的.

有些不证自明的公理，却难以自明.非欧几何的诞生03

平行公理不同

欧氏几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.非欧几何对直线、平面的认识不同观察下的直线、平面，即为事实上的直线、平面.观察下的直线、平面，是事实上的曲线、曲面.罗巴切夫斯基几何(双曲几何)黎曼几何（椭圆几何）数学以直观为基础的时代进入以