【解析】湖南省长沙市宁乡市西部乡镇联考2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

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湖南省长沙市宁乡市西部乡镇联考2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023八下·宁乡市期中）下列图形分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中不一定是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】解：由题意得平行四边形不一定是轴对称图形，

故答案为：A

【分析】根据轴对称图形的性质结合题意即可求解。

2．（2023八下·南康月考）如图，在ABCD中，若∠A+∠C=130°，则∠D的大小为（）

A．100°B．105°C．110°D．115°

【答案】D

【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定

【解析】【解答】解：在ABCD中，∠A=∠C,∠A+∠D=180°,

∵∠A+∠C=130°，

∴∠A=∠C=65°,

∴∠D=115°,

故答案为：D.

【分析】根据平行四边形对角相等,邻角互补即可求解.

3．（2023八下·民勤期末）下列各式中，运算正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：选项A，原式=2；故错误.

选项B，原式=2；故正确.

选项C，不能够合并；故错误.

选项D，原式=2，故错误.

故选B.

4．（2023八下·西城期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】最简二次根式

【解析】【解答】解：A、为最简二次根式，符合题意；

B、=2，不合题意；

C、=，不合题意；

D、=2，不合题意，

故选A

【分析】利用最简二次根式的定义判断即可．

5．（2023八下·民勤期末）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）

A．1，，B．3，4，5C．5，12，13D．2，2，3

【答案】D

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，此选项不合题意

B、32+42=52，能构成直角三角形，此选项不合题意；

C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；

D、22+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；

故选：D.

6．（2023九上·福田期中）如图，矩形中，对角线，交于O点.若，，则的长为（）

A．4B．C．3D．5

【答案】A

【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；矩形的性质

【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，

∴OA=OB=OC，

∵∠AOB=60°，

∴∠ACB=30°，

∵AC=8，

∴AB=，

故答案为：A．

【分析】根据矩形的性质及三角形内角和定理可得OA=OB=OC，∠ACB=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得∴AB=，据此即可求出结论.

7．（2023八下·三门期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

【答案】A

【知识点】平行四边形的判定

【解析】【解答】解：由作图可得，AD=BC，AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形。

故选A。

【分析】根据两组对边分别相等可判定为平行四边形。

8．（2023八下·蒙阴期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）

A．16B．15C．14D．13

【答案】A

【知识点】菱形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形.

∴AF∥BE，

∴∠FAE=∠BEA.

又∵AE平分∠BAD.

∴∠FAE=∠BAE.

∴∠BEA=∠BAE.

∴AB=BE.

同理可得AB=AF.

∴四边形ABEF为平行四边形.

又∵AB=BE.

∴四边形ABEF为菱形

∴AE⊥BF.

又∵BF=12，AB=10.

∴BO=6，A0=8.

∴AE=16.

故选：A

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质，可知四边形ABEF是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，可知BF的一半为6，由勾股定理可求得AE=16.

9．（2023八下·西城期末）下列命题中，正确的是（）

A．有一组邻边相等的四边形是菱形

B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形

C．两组邻角相等的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

【答案】D

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题

【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故本选项错误；

C、两组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；

D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项正确．

故选D．

【分析】分别根据菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理对各选项进行逐一分析即可．

10．（2023·邓州模拟）如图，在中对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF,若EF=2，则BD的长为(...)

A．10B．8C．6D．4

【答案】B

【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形

∴

∵点，分别是，的中点

∴是三角形ABO的中位线

∴

∴

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，可得，由已知条件可知是三角形ABO的中位线，根据三角形中位线定理可得，从而推出.

11．（2022八下·思明期中）如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离（）

A．变小B．不变C．变大D．无法判断

【答案】B

【知识点】直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，

理由是：连接OP，设

∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，

∴OP=AB=a，

即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；

故答案为：B.

【分析】连接OP，可得到OP是Rt△AOB斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到在旋转的过程中OP=AB，即可作出判断.

12．（2023八下·宁乡市期中）如图，点为矩形的边长上的一点，作于点，且满足.下面结论，其中正确的结论是：

①平分；②为等腰三角形；③；④其中正确的结论有多少个？（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠C=90°，CD=BA，

∵于点，且满足，

∴△ECD≌△EFD（SAS），

∴∠CED=∠FED，

∴平分，①正确；

∵DA∥CB，

∴∠EDA=∠CED，

∴∠DEA=∠EDA，

∴DA=AE，

∴为等腰三角形，②正确；

∴△EBA≌△AFD（SAS），

∴AF=EB，

∴，③错误，④正确；

∴正确的结论有3个，

故答案为：C

【分析】先根据矩形的性质即可得到∠C=90°，CD=BA，进而根据题意结合三角形全等的判定与性质证明△ECD≌△EFD（SAS）即可得到∠CED=∠FED，从而即可判断①；先根据平行线的性质即可得到∠EDA=∠CED，进而得到∠DEA=∠EDA，从而得到DA=AE，再根据等腰三角形的判定即可判断②；根据三角形全等的判定与性质证明△EBA≌△AFD（SAS）即可得到AF=EB，从而得到，然后即可判断③和④。

二、填空题

13．（2023·梧州）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

【答案】x≥3

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】由题意可得：x﹣3≥0，

解得：x≥3，

故答案为：x≥3．

【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。

14．（2023八下·启东期中）如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理．

【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角

【知识点】矩形的判定

【解析】【解答】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。

故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角

【分析】根据已知可知平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。即可得出答案。

15．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为

【答案】

【知识点】三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，

∴DF=AB=2.5，

∵DE为△ABC的中位线，

∴DE=BC=4，

∴EF=DE﹣DF=1.5，

故答案为：1.5．

【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长

16．（2023八下·宁乡市期中）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于点E，则AE的长是．

【答案】3.4

【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；线段垂直平分线的判定

【解析】【解答】解：连接CE，如图所示：

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA=OC，AD=CB=5，BA=CD=3，∠CDA=90°，

∵OE⊥AC，

∴EO为AC的垂直平分线，

∴EA=CE，

设AE=CE=a，则ED=5-a，

由勾股定理得，

解得a=3.4，

∴AE的长是3.4，

故答案为：3.4

【分析】连接CE，先根据矩形的性质即可得到OA=OC，AD=CB=5，BA=CD=3，∠CDA=90°，进而根据垂直平分线的判定与性质即可得到EA=CE，设AE=CE=a，则ED=5-a，根据勾股定理求出a即可求解。

17．（2022八下·梅里斯期末）如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，则的长为．

【答案】

【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：由折叠得，，

∵四边形ABCD为矩形，

∴，

∴，

，

，

设，则，

在Rt△中，，

解得，

的长为．

故答案为：

【分析】设，则，利用勾股定理可得，求出，即可得到DE的长为。

18．（2023八下·启东期中）如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于．

【答案】

【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】根据正方形的性质，作点E关于AC的对称点G，

则点G在AD上，所以PE=PG，由三角形的三边关系可知，PE+PF=PG+PF≤GF，而GF的最小值是AB的长，因为正方形ABCD的面积是2，所以，所以PE+PF的最小值是。

故答案是：

【分析】根据正方形的性质，作点E关于AC的对称点G，可知GF的最小值是AB的长，再根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出答案。

三、解答题

19．（2023八下·武昌期中）已知=，求代数式的值.

【答案】解：当=时，===

【知识点】二次根式的化简求值

【解析】【分析】由题意把x的值代入所求代数式，用完全平方公式和单项式乘以多项式可去括号，再合并同类二次根式即可求解。

20．（2023八下·郾城期末）计算

（1）；

（2）.

【答案】（1）解：原式=

（2）解：原式=

【知识点】二次根式的混合运算

【解析】【分析】（1）先利用平方差公式计算，再进行二次根式的加减运算即可；

（2）先进行二次根式的乘法计算，再进行二次根式的加减运算即可.

21．（2023八下·宁乡市期中）如图，每个小正方形的边长为1．

（1）求四边形的面积和周长；

（2）是直角吗？说明理由．

【答案】（1）解：如图，

由勾股定理可得：，

∴，

，

，

，

，

，

，

故四边形的周长为：，

；

（2）解：，理由如下：

如图，连接BD，

∵；

而

∴，

∴△BCD是直角三角形，

则；

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法

【解析】【分析】（1）先根据勾股定理得到AB、BC、CD、AD，进而即可得到四边形的周长，再根据割补法即可求解；

（2），理由如下：连接BD，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到△BCD是直角三角形，进而即可求解。

22．（2022八下·梅里斯期末）如图，在四边形中，，，，．求的度数．

【答案】解：连接AC，

∵，，

∴△ABC为等腰直角三角形，，

在中，由勾股定理得：

，

∴，

∵，，

∴在中，，

∴是直角三角形，，

∵，

∴．

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】连接AC的长，再利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，再求出即可。

23．（2023八下·保山期中）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E.求证：四边形AECD是菱形.

【答案】证明：∵AB∥CD，CE∥AD，

∴四边形AECD是平行四边形

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC.

又∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC＝∠DAC

∴AD＝DC

∴四边形AECD是菱形

【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定

【解析】【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得

四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可求得∠ACD=∠BAC=∠DAC，所以可得AD=DC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得

四边形AECD是菱形。

24．（2023九上·长沙期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF.

（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；

（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°.

∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°.

∴∠D=∠BCF.

在Rt△ADE和Rt△BCF中，

∴Rt△ADE≌Rt△BCF.

∴∠1=∠F.∴AE∥BF.

∵AE=BF，

∴四边形ABFE是平行四边形.

（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°.

∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°.

∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°.

在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=.

∵四边形ABFE是平行四边形，

∴EF=AB=5.

【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质

【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC，∠D=∠BCD=90°，利用邻补角的性质可得∠BCF=90°，证明Rt△ADE≌Rt△BCF，得到∠1=∠F，推出AE∥BF，然后利用平行四边形的判定定理进行证明；

（2）根据∠D=90°、∠BEF=∠DAE可得∠BEF+∠1=90°，求出∠AEB=90°，由勾股定理求出AB，然后根据平行四边形的性质进行解答.

25．（2023八下·宁乡市期中）如图AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．

（1）求证：△ADO≌△CBO．

（2）求证：四边形ABCD是菱形．

（3）若DE=AB=2，求菱形ABCD的面积．

【答案】（1）证明：∵点O是AC的中点，

∴AO＝CO，

∵AM∥BN，

∴∠DAC＝∠ACB，

在△AOD和△COB中，

，

∴△ADO≌△CBO（ASA）；

（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，

∴AD＝CB，

又∵AM∥BN，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AM∥BN，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABN，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AD＝AB，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AD＝CB，

又DE⊥BD，

∴AC∥DE，

∵AM∥BN，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴AC＝DE＝2，AD＝EC，

∴EC＝CB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴EC＝CB＝AB＝2，

∴EB＝4，

在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝，

∴．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先根据题意结合平行线的性质即可得到AO＝CO，∠DAC＝∠ACB，进而根据三角形全等的判定（ASA）即可求解；

（2）先根据三角形全等的性质即可得到AD＝CB，进而根据平行四边形的判定证明四边形ABCD是平行四边形，进而根据平行线的性质结合角平分线的性质即可得到∠ABD＝∠ADB，进而根据等腰三角形的性质即可得到AD＝AB，再根据菱形的判定即可求解；

（3）先根据菱形的性质结合题意得到AM∥BN，EC＝CB＝AB＝2，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到AC＝DE＝2，AD＝EC，进而得到EB＝4，再根据勾股定理求出BD，再根据菱形的面积公式即可求解。

26．（2023八下·北京月考）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．

（1）①依题意补全图形；

②求证：BE⊥AC．

（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．

（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为（直接写出答案）．

【答案】（1）解：①依题意补全图形，如图1所示．

②证明：连接CE，如图2所示．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，AB=BC，

∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，

∵∠CMN=90°，CM=MN，

∴∠MCN=45°，

∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．

∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，

∴AE=CE=AN．

∵AE=CE，AB=CB，

∴点B，E在AC的垂直平分线上，

∴BE垂直平分AC，

∴BE⊥AC．

（2）BE=AD+CN．

证明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，

∴AF=FC．

∵点E是AN中点，

∴AE=EN，

∴FE是△ACN的中位线．

∴FE=CN．

∵BE⊥AC，

∴∠BFC=90°，

∴∠FBC+∠FCB=90°．

∵∠FCB=45°，

∴∠FBC=45°，

∴∠FCB=∠FBC，

∴BF=CF．

在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，

∴BF=BC．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AD，

∴BF=AD．

∵BE=BF+FE，

∴BE=AD+CN．

（3）

【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．

∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，

∴BD∥CN，

∴四边形DFCN为梯形．

∵AB=1，

∴CF=DF=BD=，CN=CD=，

∴S梯形DFCN=（DF+CN）CF=（+）×=．

【分析】（1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD=∠MCN=45°，从而得出∠ACN=90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；（2）BE=AD+CN．根据正方形的性质可得出BF=AD，再结合三角形的中位线性质可得出EF=CN，由线段间的关系即可证出结论；（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．

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湖南省长沙市宁乡市西部乡镇联考2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023八下·宁乡市期中）下列图形分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中不一定是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．（2023八下·南康月考）如图，在ABCD中，若∠A+∠C=130°，则∠D的大小为（）

A．100°B．105°C．110°D．115°

3．（2023八下·民勤期末）下列各式中，运算正确的是（）

A．B．C．D．

4．（2023八下·西城期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A．B．C．D．

5．（2023八下·民勤期末）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）

A．1，，B．3，4，5C．5，12，13D．2，2，3

6．（2023九上·福田期中）如图，矩形中，对角线，交于O点.若，，则的长为（）

A．4B．C．3D．5

7．（2023八下·三门期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

8．（2023八下·蒙阴期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）

A．16B．15C．14D．13

9．（2023八下·西城期末）下列命题中，正确的是（）

A．有一组邻边相等的四边形是菱形

B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形

C．两组邻角相等的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

10．（2023·邓州模拟）如图，在中对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF,若EF=2，则BD的长为(...)

A．10B．8C．6D．4

11．（2022八下·思明期中）如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离（）

A．变小B．不变C．变大D．无法判断

12．（2023八下·宁乡市期中）如图，点为矩形的边长上的一点，作于点，且满足.下面结论，其中正确的结论是：

①平分；②为等腰三角形；③；④其中正确的结论有多少个？（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

13．（2023·梧州）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

14．（2023八下·启东期中）如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理．

15．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为

16．（2023八下·宁乡市期中）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于点E，则AE的长是．

17．（2022八下·梅里斯期末）如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，则的长为．

18．（2023八下·启东期中）如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于．

三、解答题

19．（2023八下·武昌期中）已知=，求代数式的值.

20．（2023八下·郾城期末）计算

（1）；

（2）.

21．（2023八下·宁乡市期中）如图，每个小正方形的边长为1．

（1）求四边形的面积和周长；

（2）是直角吗？说明理由．

22．（2022八下·梅里斯期末）如图，在四边形中，，，，．求的度数．

23．（2023八下·保山期中）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E.求证：四边形AECD是菱形.

24．（2023九上·长沙期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF.

（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；

（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长.

25．（2023八下·宁乡市期中）如图AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．

（1）求证：△ADO≌△CBO．

（2）求证：四边形ABCD是菱形．

（3）若DE=AB=2，求菱形ABCD的面积．

26．（2023八下·北京月考）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．

（1）①依题意补全图形；

②求证：BE⊥AC．

（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．

（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为（直接写出答案）．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】解：由题意得平行四边形不一定是轴对称图形，

故答案为：A

【分析】根据轴对称图形的性质结合题意即可求解。

2．【答案】D

【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定

【解析】【解答】解：在ABCD中，∠A=∠C,∠A+∠D=180°,

∵∠A+∠C=130°，

∴∠A=∠C=65°,

∴∠D=115°,

故答案为：D.

【分析】根据平行四边形对角相等,邻角互补即可求解.

3．【答案】B

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：选项A，原式=2；故错误.

选项B，原式=2；故正确.

选项C，不能够合并；故错误.

选项D，原式=2，故错误.

故选B.

4．【答案】A

【知识点】最简二次根式

【解析】【解答】解：A、为最简二次根式，符合题意；

B、=2，不合题意；

C、=，不合题意；

D、=2，不合题意，

故选A

【分析】利用最简二次根式的定义判断即可．

5．【答案】D

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，此选项不合题意

B、32+42=52，能构成直角三角形，此选项不合题意；

C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；

D、22+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；

故选：D.

6．【答案】A

【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；矩形的性质

【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，

∴OA=OB=OC，

∵∠AOB=60°，

∴∠ACB=30°，

∵AC=8，

∴AB=，

故答案为：A．

【分析】根据矩形的性质及三角形内角和定理可得OA=OB=OC，∠ACB=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得∴AB=，据此即可求出结论.

7．【答案】A

【知识点】平行四边形的判定

【解析】【解答】解：由作图可得，AD=BC，AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形。

故选A。

【分析】根据两组对边分别相等可判定为平行四边形。

8．【答案】A

【知识点】菱形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形.

∴AF∥BE，

∴∠FAE=∠BEA.

又∵AE平分∠BAD.

∴∠FAE=∠BAE.

∴∠BEA=∠BAE.

∴AB=BE.

同理可得AB=AF.

∴四边形ABEF为平行四边形.

又∵AB=BE.

∴四边形ABEF为菱形

∴AE⊥BF.

又∵BF=12，AB=10.

∴BO=6，A0=8.

∴AE=16.

故选：A

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质，可知四边形ABEF是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，可知BF的一半为6，由勾股定理可求得AE=16.

9．【答案】D

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题

【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故本选项错误；

C、两组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；

D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项正确．

故选D．

【分析】分别根据菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理对各选项进行逐一分析即可．

10．【答案】B

【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形

∴

∵点，分别是，的中点

∴是三角形ABO的中位线

∴

∴

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，可得，由已知条件可知是三角形ABO的中位线，根据三角形中位线定理可得，从而推出.

11．【答案】B

【知识点】直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，

理由是：连接OP，设

∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，

∴OP=AB=a，

即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；

故答案为：B.

【分析】连接OP，可得到OP是Rt△AOB斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到在旋转的过程中OP=AB，即可作出判断.

12．【答案】C

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠C=90°，CD=BA，

∵于点，且满足，

∴△ECD≌△EFD（SAS），

∴∠CED=∠FED，

∴平分，①正确；

∵DA∥CB，

∴∠EDA=∠CED，

∴∠DEA=∠EDA，

∴DA=AE，

∴为等腰三角形，②正确；

∴△EBA≌△AFD（SAS），

∴AF=EB，

∴，③错误，④正确；

∴正确的结论有3个，

故答案为：C

【分析】先根据矩形的性质即可得到∠C=90°，CD=BA，进而根据题意结合三角形全等的判定与性质证明△ECD≌△EFD（SAS）即可得到∠CED=∠FED，从而即可判断①；先根据平行线的性质即可得到∠EDA=∠CED，进而得到∠DEA=∠EDA，从而得到DA=AE，再根据等腰三角形的判定即可判断②；根据三角形全等的判定与性质证明△EBA≌△AFD（SAS）即可得到AF=EB，从而得到，然后即可判断③和④。

13．【答案】x≥3

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】由题意可得：x﹣3≥0，

解得：x≥3，

故答案为：x≥3．

【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。

14．【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角

【知识点】矩形的判定

【解析】【解答】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。

故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角

【分析】根据已知可知平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。即可得出答案。

15．【答案】

【知识点】三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，

∴DF=AB=2.5，

∵DE为△ABC的中位线，

∴DE=BC=4，

∴EF=DE﹣DF=1.5，

故答案为：1.5．

【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长

16．【答案】3.4

【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；线段垂直平分线的判定

【解析】【解答】解：连接CE，如图所示：

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA=OC，AD=CB=5，BA=CD=3，∠CDA=90°，

∵OE⊥AC，

∴EO为AC的垂直平分线，

∴EA=CE，

设AE=CE=a，则ED=5-a，

由勾股定理得，

解得a=3.4，

∴AE的长是3.4，

故答案为：3.4

【分析】连接CE，先根据矩形的性质即可得到OA=OC，AD=CB=5，BA=CD=3，∠CDA=90°，进而根据垂直平分线的判定与性质即可得到EA=CE，设AE=CE=a，则ED=5-a，根据勾股定理求出a即可求解。

17．【答案】

【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：由折叠得，，

∵四边形ABCD为矩形，

∴，

∴，

，

，

设，则，

在Rt△中，，

解得，

的长为．

故答案为：

【分析】设，则，利用勾股定理可得，求出，即可得到DE的长为。

18．【答案】

【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】根据正方形的性质，作点E关于AC的对称点G，

则点G在AD上，所以PE=PG，由三角形的三边关系可知，PE+PF=PG+PF≤GF，而GF的最小值是AB的长，因为正方形ABCD的面积是2，所以，所以PE+PF的最小值是。

故答案是：

【分析】根据正方形的性质，作点E关于AC的对称点G，可知GF的最小值是AB的长，再根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出答案。

19．【答案】解：当=时，===

【知识点】二次根式的化简求值

【解析】【分析】由题意把x的值代入所求代数式，用完全平方公式和单项式乘以多项式可去括号，再合并同类二次根式即可求解。

20．【答案】（1）解：原式=

（2）解：原式=

【知识点】二次根式的混合运算

【解析】【分析】（1）先利用平方差公式计算，再进行二次根式的加减运算即可；

（2）先进行二次根式的乘法计算，再进行二次根式的加减运算即可.

21．【答案】（1）解：如图，

由勾股定理可得：，

∴，

，

，

，

，

，

，

故四边形的周长为：，

；

（2）解：，理由如下：

如图，连接BD，

∵；

而

∴，

∴△BCD是直角三角形，

则；

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法

【解析】【分析】（1）先根据勾股定理得到AB、BC、CD、AD，进而即可得到四边形的周长，再根据割补法即可求解；

（2），理由如下：连接BD，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到△BCD是直角三角形，进而即可求解。

22．【答案】解：连接AC，

∵，，

∴△ABC为等腰直角三角形，，

在中，由勾股定理得：

，

∴，

∵，，

∴在中，，

∴是直角三角形，，

∵，

∴．

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】连接AC的长，再利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，再求出即可。

23．【答案】证明：∵AB∥CD，CE∥AD，

∴四边形AECD是平行四边形

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC.

又∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC＝∠DAC

∴AD＝DC

∴四边形AECD是菱形

【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定

【解析】【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得

四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可求得∠ACD=∠BAC=∠DAC，所以可得AD=DC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得

四边形AECD是菱形。

24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°.

∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°.

∴∠D=∠BCF.

在Rt△ADE和Rt△BCF中，

∴Rt△ADE≌Rt△BCF.

∴∠1=∠F.∴AE∥BF.

∵AE=BF，

∴四边形ABFE是平行四边形.

（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°.

∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°.

∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°.

在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=.

∵四边形ABFE是平行四边形，

∴EF=AB=5.

【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质

【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC，∠D=∠BCD=90°，利用邻补角的性质可得∠BCF=90°，证明Rt△ADE≌Rt△BCF，得到∠1=∠F，推出AE∥BF，然后利用平行四边形的判定定理进行证明；

（2）根据∠D=90°、∠BEF=∠DAE可得∠BEF+∠1=90°，求出∠AEB=90°，由勾股定理求出AB，然后根据平行四