第二章2：可控性课件

§2-2线性系统的可控性

1.可控性的定义一、可控性的定义及判别定理若对状态空间的任一非零状态

x(t0)，都存在一个有限时刻t1>t0

和一个容许控制u[t0,t1]，能在t1时刻使状态x(t0)转移到零，则称状态方程在t0时刻是可控的。反之称为在t0时刻不可控。

定义2-3:令初始时刻电容两端的电压x(t0)不为零，则网络的对称性使得无论施加何种控制均无法在有限时刻t1使x(t1)=0。根据以上定义，系统在t0不可控。y_++_+_xu例2-4:

考虑由如下网络组成的系统：说明如下：定义仅要求输入u

能在有限时间内将状态空间中任何初态转移到零状态，至于状态遵循什么轨迹转移则并未指定；而且对输入除了容许控制之外也未对其幅值加以任何限制，这种不加限制的控制称为无约束容许控制。与可控概念相反，只要存在一个非零初态

x(t0)，无论t1取多大，都不能找到一个容许控制将这个状态x(t0)控制到x(t1)=0，这时称系统在t0是不可控的。这里所定义的可控性有时称为到达原点的可控性。定义2-3所阐述的到达原点的可控性与状态空间的任何状态转移到另一任意状态是等价的（见习题2—3）。

2.可控性的一般判别准则直接利用定义判断系统可控很不方便，故需要研究判别系统可控性的一般准则。

定理2-4状态方程在t0可控，必要且只要存在一个有限时间t1>t0，使矩阵的n个行在[t0,t1]上线性无关。证明：充分性。证明是构造性的，思路如下：为非奇异。2.对于任给的x(t0)，构造如下控制输入(2-8)可以证明，(2-9)式所定义的u(t)能在t1时刻将x(t0)转移到x(t1)=0。必要性。反证法。设在t0时刻方程可控，但对任何t1>t0,在[t0，t1]上都是线性相关的，又由于方程在t0时刻可控，当取x(t0)=

时，存在有限时刻t1>t0和u[to,t1],使x(t1)=0，即矛盾。

证完。推论2-4

状态方程（2-7）在t0可控的充分必要条件是存在有限时刻t1>t0

使得W(t0,t1)

为非奇异。通常将式（2-8）式所定义的矩阵W(t0,t1)

称为可控性Gram矩阵，或简称为可控性矩阵。证明：直接利用定理2-1。 例：讨论如下系统在任意时刻t0的可控性:可采用前一节介绍的方法来判断f1和f2的线性相关性。故3.可控性的一个实用判据为了应用定理2—4，必须计算

假定A(t),B(t)是(n1)次连续可微的，定义矩阵序列M0,M1,…,Mn1如下：易于验证，以上矩阵序列满足：定理2—5

设状态方程dx/dt=A(t)x+Bu中的矩阵A(t),B(t)是(n1)次连续可微的。若存在有限时间t1>t0,使得

则状态方程在t0

时刻可控。

证明：只要证明存在一个t1>t0，使得行线性无关就可以了。而根据定理2-2，若能找到一个t1>t0，使得的秩是n就可以了。由有(t0,)B()在[t0,t1]上行线性无关。

证完。例2—7

讨论如下系统的可控性：

直接计算得到：易于验证，上述矩阵的行列式对任意t0均非零，故系统对任意t0都是可控的。注意：该定理无需计算状态转移矩阵。但需要特别注意的是，仅是一个充分条件；该定理在时变线性系统的可控性分析中是很重要的。参考文献：K.TsakalisandP.A.Ioannou:“LinearTime-VaryingSystems,ControlandAdaptation”,PrenticeHall,EnglewoodCliffs,NewJersey,1993.定义2—4若对t0时刻状态空间中的任一非零状态x(t0)，存在着一个有限时刻t1<t0和一个容许控制，能在[t1,t0]内使状态x(t1)=0转移到x(t0)，则称状态方程（2-7）在t0时刻是可达的。二、可达性的概念

t0t1可控t0t1可达完全类似于可控性的讨论，如下结论为显然：定理：状态方程在t0时刻可达的充分必要条件是存在有限的t1<t0，使得在[t1，t0]上行线性无关，或等价地，下列可达性矩阵非奇异(t1<t0)：事实上，只要考虑三、时不变系统的可控性判据本小节讨论时不变状态方程的可控性问题。时不变线性系统是线性系统理论中迄今为止被讨论最多、结果最完美的系统。主要原因是：时不变系统简单，便于分析，利用线性代数的工具就可以基本上弄清楚其中的问题；许多真实的工业系统在工作点附近均可用时不变线性系统近似。对于n

维线性时不变状态方程(2)eAtB（也即eAtB）的行在[0，)上是复数域行线性无关的；(1)在[0，)中的每一个t0,（213）可控；(3)对于任何t0

≥0及任何t>t0

，矩阵非奇异；下列提法等价:定理2-6(4)rank[B

AB…An1B]=n；（2-14）(5)在复数域上，矩阵(sIA)1B的行是线性无关的；(6)对于A的任一特征值，都有以上六个等价性条件基本概括了时不变系统在可控性方面的主要成果。证明的主要思路：(2)eAtB（也即eAtB）的行在[0，)上是复数域行线性无关的。(1)在[0，)中的每一个t0,（A,B）可控；证明：注意到拉氏变换是一一对应的线性算子即可。(2)eAtB（也即eAtB）的行在[0，)上是复数域行线性无关的。(5)在复数域上，矩阵(sIA)1B的行是线性无关的；证明：这是推论2-4的直接结果。(3)：对于任何t0≥0及任何t>t0，矩阵非奇异。反证法。若

利用(1-48)式：

要证系统可控。反证法。若不可控，则对任意t0及（也可用定理2-4并考虑Hamilton定理）上式对求导，再求导…，依次可得令=

t0，有思考题：1）为什么可以求导数？为什么可以取=t0？考虑解析函数、定理2-3及凯莱-哈密尔顿定理。2）试证明(2)与(4)的等价性。要证

反证法。若有一个0

使，要证

用反证法。若不然，

证明步骤如下：2.

利用上述引理，考虑矩阵矛盾。证完。下面考虑引理的证明。证明思路：则2）的形式为：即该矩阵行满秩，则必有A3=0。注1：定理2-6中(4)和(6)是判断时不变系统可控性的两个最常用的判据。（4）中的矩阵U=[BAB,,An1B]称为状态方程的可控性矩阵，在研究时不变系统时，矩阵U起着十分重要的作用。一般将命题4称为秩判据。命题(6)又称为PBH检验法，是由罗马尼亚学者Popov

等三人提出的。自然成立。因此，注2：关于定理2-6判据(6)的说明：可以将

换为(s为任意复数)。因为当s不是A的特征值时，

可控性判据小结1.时变线性系统：1）充分必要条件：2）充分条件：2.时不变系统的可控性问题（k

=0，1，2，…，ni，i=1，2，…，m）称为方程命题（6）是通过A的特征值来判断可控性的。通常我们把A的特征值i称为系统的振型或模态，把eAt中的与i相对应的模式。四、时不变系统的振型（模态）、模式定义：凡使矩阵[AiIB]

满秩的i

称为可控振型；使矩阵[AiIB]降秩的i称为不可控振型。1.振型（模态）与模式的定义不可控制振型所对应的模式与控制作用无耦合关系，因此不可控振型又称为系统的输入解耦零点，(将在可控性分解中深入研究，引理就是可控性分解）。

一个线性时不变系统可控的充分必要条件是没有输入解耦零点。与该不可控的模态2相对应的模式是e2t，它与控制无耦合关系。当0

是A的重特征值时，若rank[A0IB]<n

，只能断言至少有一个0不可控，并不能说所有的0都不可控，究竟有几个0

是可控的，几个0是不可控的，需要用其它方法补充研究，主要是当0为重特征值时：2.特征根(模态）的重数与可控性当0为简单特征值时：，

不可控模态；,可控模态。有一个模态不可控；有二个模态不可控；有三个模态不可控；计算可控性矩阵的秩进行可控性分解(将在后面介绍)

。例题:但3.可控性与模式若线性时不变动态方程可控即没有输入解耦零点时，则输入能激励方程的所有模式。另一方面，输入也能抑制任何所不希望的模式。对此例也可以直接用可控性分解来判断。,一个模态不可控；,二个模态不可控；,三个模态不可控；计算矩阵[A0Ib]的秩区别不出这三种不同情况。而可控性矩阵的秩却显示出这种差别：例2-9

考虑方程容易验证系统可控。A

有两个特征值1和2。因此方程有两个模式et,e2t。希望找到一种控制u

来抑制模式e2t

。计算eAt：令，则当时，取，则当后，输出将不再包含。由于系统可控，完全可以找到这样的容许控制，使得满足上述条件。在许多情况下，利用可控性矩阵来判断可控性时，无须计算出矩阵[B,AB,…,An1

B]，而只须计算一个列数较小的矩阵。记

Uk1=[BAB…Ak1

B]定理2-7若j是使rank

Uj=rank

Uj+1成立的最小整数，则对于所有k>j，有五