(精心整理)高考数学函数专题习题及详细答案

(精心整理)高考数学函数专题习题及详细答案

1.函数y=ex+1(x∈R)的反函数是()A．y=1+lnx(x>0)B．y=1-lnx(x>0)C．y=-1-lnx(x>0)D．y=-1+lnx(x>0)答案：A2.已知f(x)={(3a-1)x+4a,x<1；logx,x>1}是(-∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是(A)(0,1)(B)(0,∞)(C)[0,1)(D)(-∞,0)答案：B3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1≠x2)，|f(x1)-f(x2)|<|x2-x1|恒成立”的只有(A)f(x)=1/x(B)f(x)=|x|(C)f(x)=2x(D)f(x)=x2答案：B4.已知f(x)是周期为2的奇函数，当-3<x<-1时，f(x)=lg(3+x).设a=f(-5/2),b=f(-1),c=f(-1/2)，则(A)a<b<c(B)b<a<c(C)c<b<a(D)c<a<b答案：C5.函数f(x)=(3x2+lg(3x+1))/(1-x)的定义域是答案：(-∞,1)U(1,∞)6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(A)y=-x3,x∈R(B)y=sinx,x∈R(C)y=x,x∈R(D)y=(1/2)x,x∈R答案：A7.函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)的图像与y轴交于点P(0,2)(如右图所示)，则方程f(x)=1/3在[1,4]上的根是x=答案：38.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(A)f(x)f(-x)是奇函数(B)f(x)f(-x)是偶函数(C)f(x)-f(-x)是奇函数(D)f(x)+f(-x)是偶函数答案：B9.已知函数y=e的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则x=2时，f(2)的值是答案：e10.设f(x)={2e,x<2；log3(x-1),x≥2}，则f(f(2))的值为答案：111.对a，b∈R，记max{a，b}={a,a≥b；b,b>a}，则max{max{a,b},c}的值答案：max{a,b,c}II.求证：f(x)≥g(x)(x>0)．已知函数f(x)=x^2+x-1，α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β)，f'(x)是f(x)的导数；设a1=1，an+1=an-f(an)/f'(an)(n=1,2,……)1.求α,β的值；2.证明：对任意的正整数n，都有an>α；3.记bn=ln(an-β)(n=1,2,……)，求数列{bn}的前n项和Sn。解答：1.根据题意，有：f(α)=α^2+α-1=0f(β)=β^2+β-1=0解得：α=(1+√5)/2β=(1-√5)/22.证明：首先证明an+1>an，即：an+1-an=-f(an)/f'(an)>0因为f(x)在x>0时单调递增，所以f(an)<f(α)，f'(an)>f'(α)所以：an+1-an>-f(α)/f'(α)=α-β>0所以an>β，即对任意的正整数n，都有an>β。又因为α>an>β，所以an>α。3.求解：根据题意，有：bn=ln(an-β)Sn=b1+b2+…+bn所以：Sn=ln[(a1-β)(a2-β)…(an-β)]根据等比数列的求和公式，有：an=a1·(1-r^n)/(1-r)其中r=an/an-1所以：Sn=ln[(a1-β)(a2-β)…(an-β)]=ln[(a1-β)·(a1r-β)·(a1r^2-β)…(a1r^(n-1)-β)]/ln(r)=ln[(1-β/a1)·(1-rβ/a1)·(1-r^2β/a1)…(1-r^(n-1)β/a1)]/ln(r)=ln[(1-β/a1)·(1-α/a1)·(1-αr/a1)…(1-αr^(n-2)/a1)]/ln(r)=ln[(α-a1)·(αr-a1)·(αr^2-a1)…(αr^(n-2)-a1)]/ln(rα/a1)=ln[(α-a1)·(αr-a1)·(αr^2-a1)…(αr^(n-2)-a1)]/ln(α/a1)=ln[(α-a1)·(αr-a1)·(αr^2-a1)…(αr^(n-2)-a1)]-ln(α/a1)综上所述，得证。由题意可得：f(x+2)=f(x)-11f(x+4)=f(x+2)-11=f(x)-22f(x+6)=f(x+4)-11=f(x)-33f(x+8)=f(x+6)-11=f(x)-44因此，f(x+8)-f(x)=f(x)-44-f(x)=2f(x)-44=-22，解得f(x)=11。(2)由f(x+2)=f(x)-11，得f(x)=f(x+2)+11；由f(x+4)=f(x)-22，得f(x)=f(x+4)+22；由f(x+6)=f(x)-33，得f(x)=f(x+6)+33。将这三个式子相加，得到：3f(x)+66=0，解得f(x)=-22。综上所述，f(x)=11或f(x)=-22。２解：(1)由题意可得：f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(x+2)+f(x)=2f(x+1)f(x+3)+f(x+1)=2f(x+2)将第一个式子两边同时减去f(x)，得f(x+1)-f(x-1)=2f(x)-2f(x-1)，即f(x+1)=3f(x)-f(x-1)。将这个式子带入第二个式子中，得f(x+2)+f(x)=2(3f(x)-f(x-1))，即f(x+2)=5f(x)-2f(x-1)。同理，将f(x+1)=3f(x)-f(x-1)带入第三个式子中，得f(x+3)+3f(x)-f(x-1)=2(5f(x)-2f(x-1))，即f(x+3)=8f(x)-5f(x-1)。因此，f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x)=8f(x)-5f(x-1)-3(5f(x)-2f(x-1))+3(3f(x)-f(x-1))-f(x)=0，化简得：f(x)=x^2。(2)将f(x)=x^2带入原方程，得到：(x+1)^2+(x-1)^2=2x^2+22x^2+2=2x^2+2因此，方程恒成立，解为x为任意实数。综上所述，f(x)=x^2，方程的解为任意实数。方程$f(x)=5$的解分别是$2-\sqrt{14}$,$4$和$2+\sqrt{14}$。由于$f(x)$在$(-\infty,-1]$和$[2,5]$上单调递减，在$[-1,2]$和$[5,\infty)$上单调递增，因此$A=(-\infty,2-\sqrt{14}]\cup[4]\cup[2+\sqrt{14},\infty)$。由于$2+\sqrt{14}<6$，$2-\sqrt{14}>-2$，所以$B\subsetA$。解法一：当$x\in[-1,5]$时，$f(x)=-x^2+4x+5$。$g(x)=k(x+3)-(-x^2+4x+5)=x^2+(k-4)x+(3k-5)$。$2>\frac{4-k}{2}>-1$。①当$-1\leq\frac{4-k}{2}<1$，即$2<k\leq6$时，取$x=\frac{k^2-20k+36}{2(4-k)}$，$g(x)_{min}=-\frac{k-10}{4}<-\frac{1}{4}$。$\thereforek>2$，$\therefore16\leq(k-10)^2<64$，$\thereforeg(x)_{min}>-\frac{1}{4}$。②当$\frac{4-k}{2}<-1$，即$k>6$时，取$x=-1$，$g(x)_{min}=2k>-\frac{1}{4}$。由①、②可知，当$k>2$时，$g(x)>-\frac{1}{4}$，$x\in[-1,5]$。因此，在区间$[-1,5]$上，$y=k(x+3)$的图像位于函数$f(x)$图像的上方。解法二：当$x\in[-1,5]$时，$f(x)=-x^2+4x+5$。由$y=k(x+3)$得$x^2+(k-4)x+(3k-5)=y$。令$\Delta=(k-4)^2-4(3k-5)$，解得$k=2$或$k=18$。在区间$[-1,5]$上，当$k=2$时，$y=2(x+3)$的图像与函数$f(x)$的图像只交于一点$(1,8)$；当$k=18$时，$y=18(x+3)$的图像与函数$f(x)$的图像没有交点。由图可知，由于直线$y=k(x+3)$过点$(-3,0)$，当$k>2$时，直线$y=k(x+3)$是由直线$y=2(x+3)$绕点$(-3,0)$逆时针方向旋转得到。因此，在区间$[-1,5]$上，$y=k(x+3)$的图像位于函数$f(x)$图像的上方。证明：因为$f(0)>0$，$f(1)>0$，所以$c>0$，$3a+2b+c>0$。由条件$a+b+c=0$，消去$b$，得$a>c$；由条件$a+b+c=0$，消去$c$，得$a+b<0$，$2a+b>0$。故$-2<\frac{b}{a}<-1$。抛物线$f(x)=3ax^2+2bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{3a},\frac{4ac-b^2}{12a})$。在$-2<\frac{b}{a}<-1$的两边乘以$-a$，得$a^2+c^2-ac<0$。由于格式错误无法确定文章的原意，因此只能对每一段进行改写，不做其他修改。1.因为f(0)>0,f(1)>0，而f(-∞)=-3a/2，所以方程f(x)=0在区间(0,-∞)和(-∞,1)内分别有一实根。因此，方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根。2.解法一：由f(x)的奇偶性可知f(0)=0，即a+2=0，因此a=-2。再由f(1)=-f(-1)可得1/(a+4a+1)=-1/2，解得b=1。因此，f(x)=3/(b-1-2x)=-3/(2x+b+1)，易知f(x)在(-∞,∞)上为减函数。又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2)，因为f(x)为减函数，所以推得t^2-2t>k-2t^2，即对一切t∈R有3t^2-2t-k>0，因此判别式Δ=4+12k<0，即k<-1/3。解法二：由f(x)的奇偶性可知f(x)=-(1-2x)/(2+2x+1)，又由题设条件得1-2t^2-2t<2(2t^2-k)/(2+2t^2-2t+1)，即(2t^2-k+1)^2+(2t^2-2t+1)^2<2(2+2t^2-2t+1)，整理得23t^2-2t-k>1，因为底数2>1，所以3t^2-2t-k>0对一切t∈R均成立，因此判别式Δ=4+12k<0，即k<-1/3。3.因为f(x)的定义域为R，所以x^2+ax+a≠0恒成立，因此Δ=a^2-4a<0，即|a|<2，即当|a|<2时f(x)的定义域为R。4.设y=f(x)与y=g(x)在公共点(x,y)处的切线相同，因为f'(x)=x+2a，g'(x)=3a^2/x，由题意f(x)=g(x)，f'(x)=g'(x)，因此x+2a=3a^2/x，解得x=(3a^2-2a)^(1/3)，因为x>0，所以3a^2-2a>0，即0<a<2/3。因此，f(x)的单调减区间为(0,2-2a/3)。5.根据题意，设y=f(x)与y=g(x)在公共点(x,y)处的切线相同，则f'(x)=g'(x)，即1/(2x+2a)=3a^2/(x^2+ax+a)^2。解得x=(a^3-2a^2+2a)^(1/3)，因为x>0，所以a^3-2a^2+2a>0，即a>2或0<a<2/3。因此，f(x)的单调减区间为(0,2-a)或(2-a/3,0)。剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。由$x+2a=0$得：$x=a$，或$x=-3a$(舍去)。$23ax\begin{cases}x+2a=0,\\x.\end{cases}$$5a+2a^2-3a^2\lna=a^2-3a^2\lna.$令$h(t)=t-3t\lnt(t>0)$，则$h'(t)=2t(1-3\lnt)$。于是$\begin{aligned}b&=\frac{1}{2a+2ax-3a^2\lnx}\\&=\frac{1}{xx}\end{aligned}$当$t(1-3\lnt)>0$，即$0<t<e$时，$h'(t)>0$；当$t(1-3\lnt)<0$，即$t>e$时，$h'(t)<0$。故$h(t)$在$\left(0,e^3\right)$为增函数，在$\left(e^3,+\infty\right)$为减函数，于是$h(t)$在$(0,+\infty)$的最大值为$h(e^3)=e^3$。设$F(x)=f(x)-g(x)=\frac{1}{2}x+2ax-3a^2\lnx-b(x>0)$，则$F'(x)=x+2a-\frac{3a^2}{x}$。故$F(x)$在$(0,a)$为减函数，在$(a,+\infty)$为增函数，于是函数$F(x)$在$(0,+\infty)$上的最小值是$F(a)=F(x)=f(x)-g(x)$。故当$x>a$时，有$f(x)-g(x)\geq0$，即当$x>a$时，$f(x)\geqg(x)$。解析：(1)$\becausef(x)=x^2+x-1$，$\alpha,\beta$是方程$f(x)=0$的两个根($\alpha>\beta$)，$\therefore\alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\beta=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。(2)$\becausef'(x)=2x+1$，$a_{n+1}=\frac{a_n^2+2a_n+1}{2a_n+1}$，$\thereforea_2=\frac{a_1^2+2a_1+1}{2a_1+1}$，$\cdots$，$a_n=\frac{a_{n-1}^2+2a_{n-1}+1}{2a_{n-1}+1}$，$\becausea_1=1$，$\therefore$有基本不等式可知$a_2>\frac{5-\sqrt{5}}{5}$，$\cdots$，$a_n>\alpha(n=1,2,\cdots)$。(3)$\becausea_{n+1}-\beta=\frac{a_n-\beta}{(a_n-\alpha)(a_n-\beta)}=\frac{a_n+1+\alpha}{(a_n-\alpha)(a_n-\beta)}$，而$\alpha+\beta=-1$，即$\alpha+1=-\beta$，$\thereforea_{n+1}-\alpha=\frac{a_n+1+\alpha}{a_n+1-\alpha}$，$b_{n+1}=2b_n$，又$b_1=\lna$，$\thereforeb_{n+1}=\ln(2^{2n-1}(3+\sqrt{5})^{n-1})$。(4)$\becausea_2>a_1$，$\cdots$，$a_n>a_{n-1}$，$\thereforea_n>\alpha$，$\thereforea_{n+1}-\alpha>0$，$\thereforea_{n+2}-\