数学苏教版（2023）选择性必修第二册第6章 空间向量与立体几何 知识点清单 素材

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第6章知识点清单

目录

第6章空间向量与立体几何

6.1空间向量及其运算

6.2空间向量的坐标表示

6.3空间向量的应用

第6章空间向量与立体几何

6.1空间向量及其运算

一、空间向量的线性运算

1.空间向量线性运算的意义

=+=a+b，

=-=a-b，

=λa(λ∈R).

2.空间向量的加法和数乘运算满足的运算律

(1)a+b=b+a；

(2)(a+b)+c=a+(b+c)；

(3)λ(a+b)=λa+λb(λ∈R).

3.共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa.

二、空间向量的数量积

1.空间向量的数量积

设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos叫作向量a，b的数量积,记作a·b，即a·b=|a||b|cos.

其中为向量a与向量b的夹角，且0≤≤π.如果=0，那么向量a与b同向；如果=π，那么向量a与b反向；如果=，那么称a与b互相垂直，并记作a⊥b.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

2.空间向量的数量积满足的运算律

(1)a·b=b·a；

(2)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)；

(3)(a+b)·c=a·c+b·c.

3.投影向量

(1)对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b(如图)，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量.

与平面向量的情形类似，我们有a·b=·b，即向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积.

(2)如图，设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量m在平面α上的投影向量.

对于平面α内的任一向量n，有m·n=·n，也就是说，空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积.

三、共面向量定理

1.共面向量：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.任意两个空间向量都是共面向量.

2.共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p=xa+yb.

推论1：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使=x+y，或对空间任意一点O，有=+x+y.

推论2：空间中的一点P与不共线的三点A，B，C共面的充要条件是存在唯一的有序实数组(x，y，z)使得=x+y+z且x+y+z=1，其中O为空间任意一点.

四、用已知向量表示其他向量

1.用已知向量来表示其他向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

2.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之

和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.

3.在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

五、空间向量的数量积及其应用

1.求空间向量的数量积的方法

(1)利用定义求解：a·b=|a||b|cos；

(2)利用a在b上的投影向量m或a在b所在平面上的投影向量n求解，

即a·b=m·b=n·b.

2.空间向量的数量积的应用

(1)求模：|a|=；

(2)求夹角：cos=；

(3)证明两向量垂直：a⊥ba·b=0.

六、共面向量定理的应用

1.判定空间向量共面和空间四点共面的方法

判定向量共面或空间四点共面，可以利用共面向量定理及其推论(详见知识点3)，

也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行判定.

2.利用共面向量定理证明线面平行

证明AB∥平面α，即证明可由平面α内两个不共线的向量a，b线性表示，即=xa+yb.

6.2空间向量的坐标表示

一、空间向量基本定理

1.空间向量基本定理

如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p=xe1+ye2+ze3.

2.基底

如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.

我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.

如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示.

3.推论

设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得=x+y+z.

二、空间向量的坐标表示

1.空间直角坐标系

如图(1)，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz，点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面.

如图(2)，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

2.空间向量的坐标

在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a=a1i+a2j+a3k.

有序实数组(a1，a2，a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，

记作a=(a1，a2，a3).

3.如图，在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一点P，我们称向量为点P的位置向量.于是，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得=xi+yj+zk.因此，向量的坐标为=(x，y，z).此时，我们把与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫作点P的坐标，记作P(x，y，z).

4.空间向量的坐标运算

设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则

(1)a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)；

(2)a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)；

(3)λa=(λx1，λy1，λz1)，λ∈R；

(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.

5.空间向量的平行、垂直、模及夹角

(1)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).

A，B间的距离AB=.

线段AB的中点M的坐标为().

(2)设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则

名称满足条件

向量表示形式坐标表示形式

a∥b(a≠0)b=λa(λ∈R)x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R)

a⊥ba·b=0x1x2+y1y2+z1z2=0

模|a|=|a|=

夹角cos=cos=

三、空间向量基本定理

1.用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据向量加法的三角形

法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形和化简，从

而求出结果.

(3)下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间中所有向量，且表示要彻底，表示

的结果中只能含有基向量，不能含有其他的向量.

四、空间向量的坐标表示及其运算

1.确定空间任意一点P的坐标的常用方法

(1)垂面法：即找到点P在三条坐标轴上的投影.方法是过点P作三个平面分别垂直x

轴，y轴，z轴于A，B，C三点(A，B，C即为点P在三条坐标轴上的投影)，点A，B，C在x轴，y轴，z轴上分别对应a，b，c，则(a，b，c)就是点P的坐标.

(2)垂线段法：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1，由的长度及方向确定竖坐标z，再在xOy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z).

2.用坐标表示空间向量的步骤

3.空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广，其运算法则仅是在平面向量运算法则的基础上增加了竖坐标的运算.

空间向量的坐标运算法则与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用.

五、利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题

1.求解此类问题要抓住两个核心关系式

设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则

(1)a∥b(a≠0)b=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1；

(2)a⊥ba·b=0x1x2+y1y2+z1z2=0.

2.利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题的方法

（1）建坐标系：根据题目中的几何图形建立适当的空间直角坐标系

（2）定坐标：通过点的坐标确定相关向量的坐标

（3）译语言：将立体几何问题中的几何语言“翻译”成向量中的对应语言

（4）用运算：借助向量的运算和性质完成几何问题的证明

（5）得结论：得出正确的结论

六、利用空间向量的坐标运算求夹角、长度

1.求异面直线夹角的步骤

(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；

(2)求出异面直线a，b的方向向量的坐标a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)；

(3)利用公式cos=进行求解；

(4)设异面直线a，b的夹角为θ，则cosθ=|cos|.

2.求空间中两点间的距离的步骤

(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)；

(2)利用公式|AB|=||==求A，B间的距离.

6.3空间向量的应用

6.3.1直线的方向向量与平面的法向量

6.3.2空间线面关系的判定

一、直线的方向向量

1.我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量.

二、平面的法向量

1.平面的法向量

如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面

α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫作平面α的法向量.

2.几个常用结论

(1)平面的法向量一定是非零向量；

(2)如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量

(3)如果向量n是平面α的一个法向量，则λn(λ≠0)也是平面α的一个法向量，而且平面α的所有法向量都互相平行；

(4)若向量n是平面α的一个法向量，表示非零向量m的有向线段所在直线与平面α

平行或在平面α内，则有n·m=0.

三、空间线面的平行和垂直关系

1.设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：

平行垂直

l1与l2e1∥e2e1⊥e2

l1与α1e1⊥n1e1∥n1

α1与α2n1∥n2n1⊥n2

四、三垂线定理

1.在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

五、求平面的法向量

1.求平面的法向量的步骤

六、利用空间向量证明空间中的平行关系

1.证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.

2.证明线面平行的方法

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

(2)在平面内找到一个用有向线段表示的向量与直线的方向向量是共线向量；

(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示.

3.证明面面平行的方法

(1)证明两个平面的法向量平行；

(2)转化为线面平行、线线平行来证明.

七、利用空间向量证明空间中的垂直关系

1.证明线线垂直只需证明两直线的方向向量垂直.

2.利用空间向量证明线面垂直的方法

(1)用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；

(2)用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量分别与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；

(3)证明直线的方向向量与平面的法向量平行.

3.利用空间向量证明面面垂直通常有两种途径

(1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直来证明；

(2)直接求解两个平面的法向量，由两个平面的法向量垂直，得到面面垂直.

八、利用空间向量解决探索性问题

1.空间向量最适用于解决立体几何中的探索性问题，无须进行复杂的作图、论证、推理，只需建立适当的空间直角坐标系，写出相关向量的坐标，通过坐标运算就可进行判断.

2.用向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的步骤

(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示出来.

(2)假设所求的点或参数存在，用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的

垂直或平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合限定的范围，则存

在，否则不存在.

6.3.3空间角的计算

一、用空间向量研究空间角

空间角向量求法

异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ=|cos|=，θ∈

直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ=|cos|=，θ∈

两个平面的夹角若平面α，β的法向量分别是n1，n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1，n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ=|cos|=，θ∈

二、用向量法求异面直线所成的角

1.用向量求异面直线所成的角的两种方法

(1)基向量法

基向量法的一般步骤：

①确定空间的一个基底，进而确定空间两直线的方向向量.

②求出两个方向向量夹角的余弦值.

③根据直线夹角与其方向向量夹角的关系，得到两异面直线所成的角.

(2)坐标法

利用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤：

①建立适当的空间直角坐标系并写出相应点的坐标.

②求出两条异面直线的方向向量.

③利用向量夹角的余弦公式得出结论.

2.注意向量的夹角与异面直线所成角的区别

当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，此角就是异面直线所成的角；当

异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.

三、用向量法求线面角

1.利用向量法求空间中线面角的一般步骤

(1)建立适当的空间直角坐标系并写出相应点的坐标；

(2)求出直线的方向向量a的坐标以及平面的法向量b的坐标；

(3)设线面角为θ，利用sinθ=，结合θ∈得出结论.

四、用向量法求二面角的大小

1.利用向量法求二面角的平面角

(1)如图1，，是二面角α-l-β的两个半平面内分别与l垂直的向量，则二面角α-l-β的大小θ=.

图1图2图3

(2)如图2，3，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角α-l-β的大小θ=或θ=π-.

2.利用法向量求二面角的大小(或其某个三角函数值)的步骤

(1)建立适当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标.

(2)求出两个半平面的法向量n1，n2

(3)设二面角的平面角为θ，则|cosθ|=|cos|.

(4)根据图形判断θ为钝角还是锐角，从而求出θ(或其某个三角函数值).

6.3.4空间距离的计算

一、点到平面的距离

1.如图所示，P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d=.

二、点到直线的距离

1.如图所示，P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离d=.

2.如图所示，P是直线l外一点，PO⊥l，O为垂足，A是l上任意一点，设e是直线l的方向向量，记φ=，则点P到直线l的距离d=||sinφ.

三、异面直线间的距离

如图，设A，P分别为异面直线a，b上的点，向量n与直线a，b都