圆心角-弧-弦-弦心距的关系剖析课件

圆心角-弧-弦-弦心距的关系剖析圆心角-弧-弦-弦心距的关系剖析圆心角-弧-弦-弦心距的关系剖析DOABECDOABEC①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分三、判断下列说法的正误√√√×××××CDABE已知：AB．求作：AB的中点．⌒⌒点E就是所求AB的中点．⌒例10、CABO你能确定AB的圆心吗？⌒点O就是AB的圆心．⌒例12、.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心·我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA概念：

圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB。⌒圆心角：1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①②③④3、下面我们一起来观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？并说出圆心角所对的弧，弦。ABCo任意给圆心角，对应出现两个量：圆心角弧弦探究：

O·AA′B′B

如图在圆O中，圆心角∠AOB=∠A1OB1，它们所对的弦ABA′B′所对的AB、A′B′

，有什么关系？⌒⌒根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点A与A′重合，B与B′重合．·OAB探究·OABA′B′A′B′二、如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？∴重合，AB与A′B′重合．AB与A’B’∴AB=A’B’如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB=∠A1OB1，请问上述结论还成立吗？为什么?·O1·OABA1B1∵∠AOB=∠A1OB1∴AB=A1B1，AB=A1B1.⌒⌒这样，我们就得到下面的定理：圆心角定理：相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，

所对弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中，

·OAA′B′BD′D 弦AB和弦A′B′

对应的弦心距有什么关系？由条件:①∠AOB=∠A′O′B′②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出三、圆心角与弧、弦的关系定理如图:∠AOB＝∠COD,那么吗?AB=CD⌒⌒ＡＢＣＤOEF思考:

·OAA′B′BD′D 如果AB=A′B′，那么∠AOB=∠A′O′B′，AB=A′B′，OD=O′D′吗？⌒⌒在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦的弦的弦心距相等。

·OAA′B′BD′D 如果AB=A′B′，那么∠AOB=∠A′O′B′，AB=A′B′，OD=O′D′吗？⌒⌒在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对弦的弦的弦心距相等。

·OAA′B′BD′D 如果OD=O′D′，那么∠AOB=∠A′O′B′，AB=A′B′，AB=A′B′吗？⌒⌒在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对弦的弧相等。在同圆或等圆中如果弦相等那么弦所对的圆心角相等弦所对的弧相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果弦心距相等那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等(1)圆心角(2)弧(3)弦(4)弦心距知一得三OαAA′B′αBD′D在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：（1）如果AB=CD，那么_____________,________,____________。

（2）如果OE=OF，那么_____________,________,____________。（3）如果AB=CD那么______________,__________,____________。（4）如果∠AOB=∠COD，那么_________,________,_________。⌒⌒∠AOB=∠CODOE=OFAB=CD⌒⌒∠AOB=∠CODAB=CDAB=CD⌒⌒∠AOB=∠CODAB=CDOE=OFOE=OFAB=CDAB=CD⌒⌒巩固练习：2、如图，∠1=∠2，∠1对AD，∠2对BC，问：AD=BC吗？为什么？.OADBC12答：不相等，因为AD，BC不是“相等圆心角对等弦”的弦3.下列命题中真命题是（）A。相等的弦所对的圆心角相等。B、圆心角相等，所对的弧相等。C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。D、长度相等的弧所对的圆心角相等。4、在⊙O中，=，∠B=70°，则∠A=

＿＿＿ABAＣＡＢＣＯ5、如图：AB为⊙O的直径，==，∠COD=35°，则∠AOE=＿＿＿＿度。BCCDDEABCDEo解:∵AC=BD（已知）∴∴AB=CD∴6、如图，在⊙O中AC=BD，,求∠2的度数。∠1=∠2=45°（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）AC-BC=BD-BC（等式的性质）证明：∴AB=AC．又∠ACB=60°，∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO例1如图,在⊙O中，

，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.ABAC=∵

AB=AC．∴△ABC是等边三角形.例3：已知如图（1）⊙O中，AB、CD为⊙O的弦，∠1=∠2，求证：AB=CD变式练习1：如图（1），已知弦AB=CD，求证：∠1=∠212ABCDO（1）变式练习2：如图（2），⊙O中，弦AB=CD，求证：BD=ACABCDO变式练习3：如图（2），⊙O中，弦BD=AC，猜测∠A与∠D的数量关系。（２）已知：AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的中点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。求证：AC=BDＣＮ例4：ＡＤＭＢ·OＡＤＭＢ·OＮＣ=CD例5：已知：如图（1），已知点O在∠BPD的角平分线PM上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，求证：AB=CDOPACDMB（1）变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与A、B、C、D，AB=CD求证：点O在∠BPD的平分线上OPACDB（2）变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB，求证：PA=PBPABO(3)变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙o中还存在相等的弦吗？APCBDO（４）例6如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC⌒例7、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,求证：AC=AE⌒⌒例8、如图，AB，AC都是⊙O的弦，且∠CAB=∠CBA，求证：∠COB=∠COAOBACOACDBE证明：∵∠CAB=∠CBA（已知），∴AC=BC（等角对等边）∴∠COB=∠COA（在同一圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的加以角相等）。例9、如图，AB，CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD求证：AC=BE⌒⌒证明：∵AB，CD是⊙O的两条直径，∴∠AOC=∠BOD。∴AC=BD，又∵BE=BD，∴AC=BE∴AC=BE⌒⌒例10

、如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B.（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；（2）求证：AC=BD⌒⌒EFOABCD例11

、如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O上，连接OA、OB、OC，延长AO分别交BC于点P，交BC于点D，连接BD、CD.（1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；（2）若⊙O的半径为r，求△ABC的边长⌒BCAOPD例12、如图∠ABC=900，C、D为AB的三等分点，AB分别交OC、OD于EF求证：AE=BF=CDFEDCOBA⌒例13、如图AB、CD为圆O两条弦，M、N分别为AB、CD的中点，且∠AMN=∠CNM求证：AB=CDNAOMDCB例14、在圆O中，AB=BC=CD,OB、OC分别交AC、DB点M、N.求证：△OMN是等腰三角形DONMACB⌒⌒⌒例15、以圆O的直径为一边作等边△ABC，AB、AC交圆O于点D、E求证：BD=DE=ECOEDCBA例13（1）在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的大小关系为（）A.⌒⌒AB=2CD⌒⌒B.AB﹥2CD⌒⌒⌒⌒C.AB﹥2CD⌒D.不确定（2）在同圆中，若AB=2CD，则弦AB、CD的大小关系为（）A.AB=2CDB.AB﹥2CDC.AB﹤2CDD.不确定⌒(3)在同圆中，若弦AB=2CD则AB与CD的大小关系为（）A.AB=2CD⌒⌒B.AB﹥2CD⌒⌒C.AB﹥2CD⌒⌒D.不确定1°弧n°1°n°弧∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做1º的弧.这样,1º的圆心角对着1º的弧,1º的弧对着1º的圆心角.nº的圆心角对着nº的弧,nº的弧对着nº的圆心角.性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.小结（2）所对的圆心角和所对的圆心角相等在两个圆中，分别有,若的度数和相等，则有（1）和相等判断1.在半径相等的⊙O和⊙O中,AB和A