第二章几何光学(全部)资料课件

几何光学

——射线光学或光线光学1引言：几何光学以及波动光学都是处理光的传播问题。光传播时以电磁波的形式出现。光具有波动性，它可以解释除了量子效应外的所有光学现象。如：光的干涉、衍射，也包括了光的直线传播；但是与光的直线传播相关问题，用波动光学就没有必要，只要用几何光学就能解决。几何光学处理当光波长可以忽略不计时的光传播问题，或者说光波长λ趋近零的传播问题。2几何光学只考虑光线和波面，不考虑光的波动方面（振动）的性质。并以几何定律和(某些)基本实验定律为基础的光学。因此，几何光学不必涉及光的本性问题。适用范围：波面线度L远较波长为大时才适用。L>>λ3例：一束光照在有孔的屏上。孔的直径远大于光的波长。4

第二章几何光学的基本原理

内容：几何光学是研究光通过光学系统的传播

以及成像问题。(1)具体讨论几何光学的基本实验定律，以及由它们概括而成的费马原理。然后，讨论简单的光学元件的成像规律；继而讨论透镜的组合及光阑之基本概念。5(2)现代几何光学：由于在近几十年来，激光和电脑的发明，引起几何光学的日新月异的变化。除了上述基本的经典内容外，出现了许多几何光学的前沿课题，例如，光学系统的像质评价的新方法，新的像差概念和计算，光学传递函数，(电脑)光学系统自动设计，光纤传输和梯度折射率光学等。参阅“现代几何光学”(易明著)一书。6§1.光线的概念一、光线与波面1.光线——用一条表示光的传播方向的几何线来代表光。注意：光线仅仅（书上“只能”）表示光的传播方向，它并非是有孔光阑在极限情况下所分出的光线。72.波面：光是按电磁波规律传播，每一时刻都有相应的波面，在各向同性介质中，光波是沿波面法线传播的，几何光学中，不考虑位相，这时波面只是垂直于光线的几何曲面。几何光学波面只是垂直于光线的几何曲面。光线和波面都是抽象的数学概念。8二、几何光学的基本实验定律。1.光的直线传播性质：光在均匀介质中的直线传播定律。2.光通过两种介质分界面时的反射定律和折射定律。3.光的独立传播定律和光路可逆原理。9§2费马原理为了表述费马原理，首先要引入光程的概念。由折射率的定义(

n=c/v)，光程等于光在介质中走过距离s

的相同时间内，在真空中所走的距离。这样，如果光在不同介质中的光程相等，那么尽管各自所经历的路径不等，但它们各自所花费的时间必定相等，所以比较光程，实际上是比较传播时间。光程：=ns10光线从A点经历曲折的路径达到B点的光程问题的引入：光在各向均匀介质中的传播规律可由上述基本定律完全确定，而研究光在不均匀介质中的传播问题，更具有普遍意义。因此，就得研究光在不均匀介质中的一点A至另一点B是沿怎样路径传播的？11AB(不均匀介质中)费马原理：光沿着所需时间为极值的路径传播；或：实际光路总是一个极值。这个极值可以是极小值、极大值或恒定值。1.在一般情况下，这个极值往往取极小值。2.由费马原理可导出上述三个基本定律。(书上有一个例子。)123.举例，极值的三种情况

一个旋转椭球面的两个焦点P与P之间的光线PAP(c)极大值情况PPA(a)恒定值情况APP(b)极小值情况(a)情况：若以椭球面为镜面，通过P的入射光线，在椭球面反射后总是通过另一焦点P，因此，通过P和P两点的实际光线的光路为恒定值。(b)情况：光从镜面反射只有PA光线过P，所以，实际光程是最短的。(c)情况：实际光程最大的。13§3.理想成象的几个概念几何光学的一个中心问题——成象问题，为此先介绍几个基本概念。一.单心(同心)光束与象散光束。1.单心光束：光束的所有光线只有一个交点(顶点)。(1)发散同心光束：在均匀各向同性介质中，一发光点发出的光束。(2)会聚同心光束：光束中光线会聚于同一点。要点：同心(单心)光束只有一个顶点。143.光束所对应的波面同心光束与球面波对应；象散光束与非球面的高次曲面波对应，这时光线聚集在相互垂直的线段aa和bb上——称为焦线。2.象散光束：光线不交于同一点的光束。154.同心性（单心性）若项点p的同心光束经一个光学系统（例反射或折射）后，虽改变了光线的方向，但仍能找到唯一的顶点P，因此，经过这一光学系统后的光束仍是同心光束。说明：1、光束的单心性没有破坏。2、顶点P是发光点P的象，说明这一光学系统能完善成象——理想成象，相应的光学系统为理想光学系统。16结论：光学系统能理想（完善）成象的条件：光学系统要保持光束的同心性（单心性）。但是：许多光学系统达不到这个条件，只有平面镜才能完善成象。对于实际的光学系统，只有在一定的限制条件下，才能看成理想光学系统。例如：薄透镜在近轴光线的限制下，可以看成理想光学系统。17二.物与象(从光束角度讨论物与象)光束可分为同心光束和象散光束，还可以进一步分类。光束的分法Ⅰ.同心光束和象散光束Ⅱ.入射光束和出射光束Ⅲ会聚光束和发散光束——完善成象问题。——区分物与像。——区分物和像的实与虚。18光学系统光学系统光学系统光学系统Ⅱ.入射光线和出射光线——只是对某一光学系统而言入射同心光束的顶点——物点(物是对入射光线而言)出射同心光束的顶点——象点(象是对出射光线而言)Ⅲ会聚光束和发散光束若为出射会聚光束时对应实象,出射发散光束时对应虚象。若为入射会聚光束时对应虚物,入射发散光束时对应实物。191、由于光束有会聚与发散之分，物与象就有实与虚之分，并且，实物和虚物都可以成实象和虚象；2、这里的物和象与入射和出射光束一样都是对于给定的光学系统而言，而且是相互对应的；3、象的接受：说明：203、象的接受：

a、当用屏幕来接受象时，屏幕只能接收实象而不能接收虚象，因为虚象所在之处根本没有光线(能量)通过；

b．但眼睛都能观察到实象和虚象；(见P158)

原因：因为光束具有能量，当它进入人眼时，方能引起视觉，人眼看到的是发散光束的顶端。不论它是物点还是象点，也不论它实的还是虚的，都是相同的，即从视觉看，在“象点”处有一“物点”存在。211.定义:对于某个光学系统,由入射光束与出射光束所在进行的空间分成物空间和象空间。三物空间和象空间光学系统2.注意：虚象或虚物虽在物或象空间，但它并不实际存在，实际存在的是象空间的发散光束或物空间的会聚光束。因此空间之分，不是物、象的位置来判断的。223.共轭关系物空间的点和象空间的点是一一对应的；并且，根据光路的可逆性，物点P移到象点P位置上，并使光线沿相反方向射入光学系统，它将成象在原来的物点P的位置。物点与象点的这种关系称为共轭，相应的点称为共轭点，相应的光线称为共轭光线。光学系统23几何光学的中心任务是研究光学系统的成像问题。要完善成象就必须保持光束的单心性(不被破坏)。下面主要讨论平面、球面的反射、折射的成象问题。24§4、光在平面界面上的反射和折射一、光在平面上的反射••1、平面反射保持光束的同心性根据反射定律，对于反射平面，入射光束与反射光束是对称的，所以反射光束能保持光束的同心性。25••2、成像规律物与象同大小、正立、对称与平面。物象中一者为实，另一者为虚（可以有虚物，如下图中令光线逆向）。••26二.光在平面上的折射分析两个透明物质的平面分界面上的折射情况，这时除了平行光束经折射后仍为平行光束外，其它情况，单心光束将被破坏。图中，绕y轴转动一个小角度，“青绿色”扫过的空间——光束271、折射光束所有光线的延长线都交oy轴上的线段P1P2

的范围内——因为绕轴旋转。结果:同时，交点P点描绘出一段很短的弧，可认为近似地垂直于图面的小段直线。28

P1P2线段为弧矢象线，P点所描的象线为子午象线。———象散3、所对应波面不在是球面，由微分几何可知，任何曲面的每一点上有两个主曲率半径，而两条象线正是曲面元的曲率中心的轨迹。2、折射光线的单心性已被破坏，光束中所有光线并不相交于单独的一点，而是交于两条互相垂直的线段上，这称为象线，其中29近视情况:对光束加以限制:仅当P发出的光束几乎垂直于界面，此时此时三点几乎合在一起，折射光束可以看成是单心光束。当：入射光束越倾斜,象散越显著。30当：竖直方向看,有清晰的象，但称：y为象似深度对于虚物(即会聚光束的顶点)，上式同样成立。(图中光线逆向)31§4、光在平面界面上的反射和折射一、光在平面上的反射二、光在平面上的折射折射光束的单心性被破坏，光束中所有光线并不相交于单独的一点，而是交于两条互相垂直的线段上，这称为象线———象散对光束加以限制:当P发出的光束几乎垂直于界面，此时此时三点几乎合在一起，折射光束可以看成是单心光束。上节课：32y为象似深度：对于虚物(即会聚光束的顶点)，上式同样成立。(图中光线逆向)33例题.使一束向P点会聚的光在到达P点之前，通过一平行玻璃板，如果将玻璃板垂直于光束的轴竖放，问会聚点将朝哪个方向移动？移动多少距离？(这里我们只求当光束几乎垂直入射时的情况)解：第一次成象：对界面1,虚物为P(0,y)，34第二次成象：物在(0,y1)，此时折射面在y=h处,公式变为：第二次象点P:移动距离：第一次成的像=第二个折射面的物35三.全反射光学纤维1.全反射这是一种特殊意义的折射情况。分析：当n2<n1时的折射情况,(光密介质到光疏界质)并且，随着入射角的增加,折射角增加得更快。由折射定理可知i2>i1

,36(1)当入射角i1=

ic

时,折射角i2=900，(2)当入射角i1ic

时，就不再有折射光线，而是全部被反射，称之为全反射，ic称为临界角。(3)全反射时，能量就可以看成全部被反射。37(3)实质（由光的电磁理论可知）全反射，光疏介质中的场并不为零，在极薄层内存在行波，但衰减很快，所以，全反射时能流不是绝对不能透过界面，而是透过去又返回来，平均来看，透过的能流为零。这样，能量就可以看成全部被反射。38

利用光的全反射规律，使光在透明光学纤维材料中经多次全反射而达到传递光束的目的，这种纤维材料称为光学纤维——光纤。2、光学纤维——全反射应用最突出的例子。392.1光学纤维的结构由直径为几微米的单根或多根玻璃纤维组成。每根纤维都有透明的芯子材料和外(面)包层。芯料的折射率大于包层的折射率，常用的材料是石英玻璃或透明塑料等。402.2集光能力（数值孔径）光学纤维芯子(内层)的折射率为n1，外层为n2，周围介质为n0，且n1>n2>n0观察图中是一条临界光线，ic满足由此得到，对应于临界光线的端面入射角iici´41对于，当端面光线入射角大于i

时，界面入射角小于临界角ic，光线将从界面逸出。当端面光线入射角小于i

时，由上可知：对于一定的n1、n2的光学纤维,端面光线的最大入射角角度i是一定的。ici´界面入射角大于临界角ic，光线将在光学纤维内产生多次反射而从另一端射出。42因此，光学纤维所能容许传光的范围是一定的，称n0sini

为光学纤维的数值孔径（N.A），i称为孔径角。物理意义，数值孔径表示集光能力的一个参量，数值孔径越大，表示能接受的光能量越多。431、应用很广，尤其光波导通讯——以光为载体，传输信息。优点：一根光纤可以同时传输大量信息，干扰小。应用 光纤可以分成单模光纤和多模光纤。442、光纤传感器温度、应力等影响453、传像光纤

——从1968年用玻璃材料制成第一根自聚焦纤维棒后，人们对光纤成像产生了极大兴趣。胃窥镜就是应用了这种传像光纤。 这时光纤的作用就像一支透镜一样，物体发出的光由光纤一端送入光纤，经过一段距离传送后在观察者一方生成物像。 今天，我国已能制造具有几十万个像素的传像光纤。46Fig.1Testingexperimentalsystem图1光纤迈克尔逊白光干涉测量系统LEDscanningmirrorphotodetectorpolaroid3dBcouplerGRINlenssamplegratingruleramplifiercomputerA/Dcardtestarmreferencearmlensmirror4、光纤干涉仪47四棱镜i1ABCi2i2i11.棱镜结构及偏向角图为三棱镜的主截面——垂直于两界面，A—折射棱角，θ—偏向角：表示出射光线相对于入射光线的方向变化。过程：光从光疏介质进入光密介质，光线偏向底面BC；光线在AC界面折射，光从光密介质进入光疏介质，光线又进一步向底面偏折。偏向角θ--随入射角i1的改变而改变。48导出最小偏向角与棱镜折射率的关系偏向角达最小值：棱镜材料的折射率由上式，对于一定形状的棱镜利用实验测得0，从而求得折射率n，（开设的光学实验三）i1ABCi2i2i1可证明：49——目的：用此来改变光路，且能量损失比平面反射小的多。（优点）例：主截面为等腰直角三角形的棱镜ABC(1)光线垂直入射到A面上，这时反射损失最小。（例对玻璃约为4％）(2)按原方向入射到AC面上，入射角=45度，从而产生全反射，反射光强几乎没有损失。(3)再垂直入射到BC面而出射，因垂直入射，所以损失也很小。(4)结果光线转向900，对象转过900。2.全反射棱镜——能产生全反射的棱镜50——白光经过折射后分解成各种颜色的光的现象2.棱镜色散一般：红光（波长大）n小

紫光（波长小）n大这种色散为正常色散，折射率随波长增加而减少。如图，白光（经过缝）经棱镜色散后形成彩色光带，称之为（棱镜）光谱。原因：材料的折射率与波长有关。因此，不同波长的折射情况也就不同。51§5光在球面上的反射和折射

----球面是基本的光学系统元件一.符号法则521.几个名词顶点O：球面中心曲率中心C：主(光)轴：通过O、C两点连线副(光)轴：通过球心的任意直线主截面：通过主轴的平面由于主轴对所有的主截面具有对称性，这样只须讨论一个主截面内光线的情况。•53意义：对于物，象都有虚实之分，为了使球面的半径，物，象的位置和虚实参量具有明确的意义，并使将要导出的公式对各种情况都普遍适用（普遍性和统一性），有必要采用统一的符号规则。2.符号规定54教材上P170，共三条注意：习惯上，一般取光线的方向自左向右进行(1)右正、左负；上正、下负；(2)倾角：顺时针为正；(3)图中的量采用“全正图形”，几何量都是正值。符号规定•••(-u)55球面反射和折射的成像问题球面反射和折射与平面折射类似，会破坏光束的同心性。在近轴条件下，球面反射和折射与平面折射能保持光束的同心性。下面主要讨论在近轴条件下，球面反射和折射的成像公式。56二、近轴光线条件下球面反射的物象公式近轴光线：近轴光线限制了光线与主轴的夹角，光线在球面上的入射角、反射角和折射角等都很小，以至使所有角度的正弦、正切都可以用该角度的弧度值代替。通常这些角度小于50.1.成象公式的导出（物理思想）57ACO

P点发出任意一条光线，经A点反射，到达P点（与沿主轴光线的交点），若P点为像点，根据费马原理,物象间的所有(成像)光线的光程是相等的。58ACO由几何关系，可得到（见教材171页）59由此得到 对于一定的物点(s一定)，s是的函数，即反射光线不交于一点，反射（出射）光束是像散光束。球面反射会破坏光束的单心性。根据费马原理,物象间的光程应取恒定值,即ACO60要使球面反射成像，就要加上限制条件——近轴光线。ACO61由在近轴条件下(取一级近似)，由上式得到成象公式近轴光线条件下球面反射的物象公式622.成象公式表明：(1)这种在近轴条件下研究成象规律的光学称为高斯光学或近轴光学，相应的象点称为高斯象点。(2)共轭关系：物象间的一一对应和互逆性。对于一定的球面镜(r一定)、s值(物距)和s值(象距)一一对应，则有唯一的确定的象点。(3)成象公式也适用于凸面镜反射。63对于凸球面镜，r>0，实物：s<0，所以s总是大于0。s、s和r的符号。3、焦距ƒ注意：••643、焦距ƒ焦距ƒ:当s=-时，这表明：在近轴条件下，沿主轴方向的入射平行光束经球面反射后，成为会聚（凹面镜）或发散（凸面镜）光束.其顶点在主轴上，称之为反射球面的焦点，相应的距离为焦距。••对于凸球面镜，r>0，对于凹球面镜，r<0，654.用焦距ƒ表示高斯成象公式为 ——球面反射物象公式66例题P223第8题某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中它自己的象。它移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中看到的他眼睛的象重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？(-s2)(-s1)PP••分析：题中强调两点：①玻璃板是薄的，意味着厚度可忽略。②看到两个象，光对玻璃板存在反射和折射。67解：对于反射成象很容易，同样可以采用球面反射成象公式，即看成ƒ=

的特例，得：对于折射光线，由于薄玻璃板，不考虑折射所成的象的移动。由公式即：凸面镜的象距眼睛48cm。因此板应放在距眼睛24cm处.（d=24cm）。(-s2)(-s1)PP••68三、近轴光线条件下球面折射的物象公式对于球面折射，同样可以费马原理，在近轴条件下导出折射球面的成象公式。•球面折射成象公式：69单位：长度用ｍ时，Φ的单位为屈光度（D）[ｍ-1]例如：光焦度大的球面，对入射光线的偏折作用大。球面折射成象公式：1.光焦度：公式右端的量，对于一定的介质及一定球面是个不变量，称之为光焦度——表征球面的光学特性。注意：决定光焦度的正负和大小有两个因素。70意义：光焦度是表征球面折射本领大小的物理量。表示该球面的聚光本领。对于，Φ＞0，会聚光学系统；

Φ＜0，发散光学系统；

Φ＝0，无焦系统。2.共轭关系：这与球面反射情况相同。3.焦距71象方焦点F：平行于主轴的入射光束折射后与主轴的交点。象方焦距：(当s=－∞时）3.焦距物方焦点F：主轴上一点发出的光束经折射后将平行于主轴，那么该点为物方焦点。焦距之比：负号反映了两焦点F和F＇总在球面的两侧。注意：两焦距的正负是由r的正负和(n–n)的正负同时决定。物方焦距：(当s＝∞时）球面折射成象公式721.高斯公式用两焦距来替换折射率和半径，得六、高斯公式和牛顿公式称之为高斯物象公式，与原式相比，它具有普遍意义。2.牛顿公式将起点改为：分别以两焦点为起点，这时物距为x，

象距为x。高斯公式变为——称之为牛顿公式。由图看出，将此代入高斯公式，例题P181，(仅作说明)••••73球面反射和折射的成像问题1、近轴光线条件下球面反射的物象公式2、近轴光线条件下球面折射的物象公式对于反射：上节课提要：74§6.近轴物点近轴光线成像条件一、成像问题：前面主要讨论了主轴上单独一点的成象问题，那么不在主轴上的任意一个发光点所发出的光束经反射或折射后，在什么条件下才能保持单心性，即能成象于单独的一点。限制条件：近轴物点和近轴光线 ——近轴条件•75成象公式： ——上式与主轴上物点的成象公式相同，说明若物垂直于主轴，那么象也垂直于主轴。•76由图可知：在近轴条件下•ii角度很小时，折射定律为二、导出单一折射球面的 近轴成象的横向放大率77定义横向(垂轴)放大率为象高与物高之比:78讨论：对于球面镜情况：上式中n=-n

代之即可。79一.问题：前面主要讨论了主轴上单独一点的成象问题，那么不在主轴上的任意一个发光点所发出的光束经反射或折射后，在什么条件下才能保持单心性，即能成象于单独的一点。根据费马原理可以推论，物体上任意发光点（任一物点）发出的光束经球面反射或折射后，能成象于单独一点（完善成象）的条件是：从物点发出的所有光线到达象点的光程都应相等。即：完善成象的物象间所有光线必是等光程的。§6.近轴物点近轴光线成象条件80二.下面只作大致说明。81可从计算任一光线的光程发出从Q点沿任一光线QA到Q的光程为在近轴光线和近轴物点的条件下得到光程的一级近似式82根据费马原理，所有从Q点发出的光线到Q的光程都相等。必须满足光程(QAQ)应与h无关。因此，在限制条件下，完善成象的条件（应满足）83要满足(1)，光线必须是近轴的。要满足(2)式物点必须是近轴的。由上看出：(1)式与主轴上物点的成象公式相同，说明若物垂直于主轴，那么象也垂直于主轴；(2)式给出了横向放大率:84近轴条件：满足近轴物(点)和近轴光线的条件。结论：只有近轴物点在近轴光线的条件下，才能完善成象。对于球面镜情况：上式中n=-n

代之即可。85

下面，进一步研究物空间与象空间之间的关系。86得到三、亥姆霍兹—拉格朗日定理拉氏不变量•在近轴光线条件下，由图可得到代入横向放大率的公式87上式中等号左边的量是物空间有关物理量，等号右边的是象空间有关量。在球面折射系统成象前后，光线与主轴的夹角、物高或象高以及各方介质折射率三者的乘积保持不变。这三者的乘积()称为拉格朗日—亥姆霍兹不变量，简称拉氏不变量。88角放大率角放大率定义为象方折射线与主轴的夹角与物方入射光线与主轴夹角之比：横向放大率与角放大率的关系由下面两式89一、共轴光具组光具组：具有两个或两个以上的球面界面的球面系统。共轴光具组：光具组中所有的球面（界面）的主轴重合为什么要有共轴的要求？确保光具组在近轴条件下能够最后成象。三个因素：1.近轴光线；2.近轴物点；3.光能。§7共轴光具组90(1)近轴光线;(2)球界的大小。这就限制了折射光束的张角2.要使后面一系列球面都能成象。即光具组最后成象，就要求：通过前一个球面的光束必须能通过或部分通过次一个球面；并且要尽量使用近轴光线和满足近轴物点。这就要求了光具组满足共轴条件。由图：1.第一界面折射光受到两方面的限制91二、逐次成象法前已述：在成象问题中。入射与出射光束，物空间与象空间及物与象都是相对于某个球面或某个光学系统而言的。因此：前一个球面的出射光束=后一个球面的入射光束；前一个球面的象空间=后一个球面的物空间；前一个球面的成的象=后一个球面的物；这样：第一个球面的象看作第二个球面的物，依次逐个对各球面成象。PP1P2P3P92讨论图中光束及物象的性质PP1P2P3P1.对于折射球面(1)而言，光束1是发散的入射光束，所以P点是实物；光束2是会聚的出射光束，所以P1点是实象。2.对于折射球面(2)而言，光束3是发散的入射光束，所以P1点是实物；光束4是的发散的出射光束，所以P2点是虚象。3.对于折射球面(3)而言，光束4是发散的入射光束，所以P2点是实物；光束5是的会聚的出射光束，所以P3点是实象。4.对于折射球面(4)而言，光束5是会聚的入射光束，所以P3点是虚物；光束6是发散的出射光束，所以P‘点是虚象。5.看成一个光学系统，光束1、6和点P、P的性质,该系统的性质？93共轴光具组的横向放大率94例题：薄壁球形玻璃鱼缸的半径为R，所盛水的折射率n=4/3。鱼缸左侧与轴线垂直的平面反射镜离球心为3R。一条位于左球面顶点处的小鱼沿缸壁以速度v游动。从鱼缸右侧观测鱼的直接像与反射像。试求两像之间的相对速度。•分析：1.玻璃鱼缸的壁可忽略——两端水球面95•2.直接像是从物点发出的光线向右传播，经右侧球面折射成像。3.反射像是从物点发出的光线向左传播，经平面镜反射后向右传播，再经球形水缸折射成像。4.分别求出两个像的位置和横向放大率，两个像的速度分别为96•解：1、直接像代入，解出横向放大率直接像是放大的正立虚像。运动方向与物相同。97•2、反射像由成像公式得 物对平面镜成像在镜左侧2R处。代入，解出然后，对凸球面折射成像，98•再对凹球面折射成像，由成像公式得代入，解出横向放大率反射像是放大的倒立实像。运动方向与物相反。993、相对速度相对速度•100将透明物质磨成薄片，其两面为球面（或其中一个面为平面）透镜可分为两类：凸透镜和凹透镜。它们是以中心与边缘的厚薄来区分的。(1)孔径：透镜一般都为园片形，其直径为透镜的孔径。(2)主轴：两球面球心的连线为主轴。(3)透镜厚度：两表面在主轴上的间隔（透镜的中心厚度）(4)薄透镜：中心厚度可以忽略的透镜（与球面的曲率半径相比）§8薄透镜101一、近轴条件下薄透镜的成象公式由折射率为n、曲率半径分别为r1和r2的两个球面构成。利用近轴逐次成象法导出成象公式。PP

t-sn1snn2OO(1)物点P──象点P:(2)虚物P──象点P由于透镜很薄t0,两式相加即得薄透镜的物象公式1022、用焦距表示成象公式由上式，令s和s分别趋近于无穷大，得物方焦距象方焦距于是用焦距表示成象公式—（薄透镜的）高斯公式同样有两焦距的普遍关系103若透镜两边折射率相同104(1)因为透镜很薄，两球面顶点oo与透镜中心（看作）重合。若透镜两边的折射率相同(n1=n2),则任何通过o点的光线都不改变方向。这样的点称为薄透镜的光心。(2)注意：只有当n1=n2时，薄透镜的中心O就是光心C，而当n1≠n2时，除沿主轴方向入射的光线外，通过薄透镜中心的入射光线就要发生偏折。3、光心105这是在近轴光线条件下，任意一条光线在通过光具组前后与主轴的夹角之比，它表征光线经光具组后的会聚程度，所以又称光束会聚比。定义：(3)为了对光心作出定义，引入角度放大率106a.因为主轴的光线方向不变，所以光心必在主轴上。(4)光心的定义b.如上图，光心既是物方单心光束的顶点，又是象方单心光束的顶点，是通过薄透镜光束的共同交点。••定义：主轴上角放大率等于正1的物象共轭重合点——为薄透镜的光心。107(5)问：折射球面和球面镜的光心。由令可解得光心位置。108成象公式4、光焦度上式右边仅决定于薄透镜的形状和介质(n、n1和n2）的光学性质。其表示薄透镜的聚焦能力，称薄透镜的光焦度。(两个折射球面的光焦度之和)109当>0时，为会聚透镜；当<0时，为发散透镜。从上式看出，透镜的会聚和发散性质，不能只看透镜的形状，还与透镜两侧的介质有关。例如当n1=n2=n时，有四中情况：（见教材P186）最常见的是n1=n2=1，即透镜在真空(空气)中。1105、牛顿公式：二、横向放大率：由图可得所以还可化成定义：横向放大率：111透镜横向放大率：对于(单)球面折射成象情况：对于球面镜：薄透镜两侧折射率不同习题：导出薄透镜两侧折射率不同时的横向放大率。对于共轴光具组:112讨论：(1)为正时，象是正立的；(2)为负时，象是倒立的；(3)||>1时，象是放大的；(4)||<1时，象是缩小的。113三.薄透镜的作图成象法1.不在主轴上的近轴物点的作图成象法在近轴条件下，利用经过两焦点和光心的三条典型光线中的任意两条画出象点的方法。F••1142.在主轴上的物点的作图成象法此时，三条典型光线合并成一条，则要利用到焦平面的性质。焦平面：通过焦点与主轴垂直的平面。相应有物方焦平面和象方焦平面。焦平面特点：!!!!!!!!!(1)物方焦平面上的任意一点P发出的光，经透镜折射后，成为一束与主轴成一定倾角的平行光。115(2)与主轴成一定倾角的入射平行光束，折射后会聚于象方焦平面上的一点P。方向的确定：倾斜的平行光束的方向由P点或P点与光心的连线(这条典型的线也就是副轴)来确定。116(1)沿主轴的光线方向不变，这仅说明象点在主轴上。(2)从物点作任一光线PA,通过作副轴BO判断PA的共轭光线。或(3)第二条光线可以利用象方焦平面和平行于光线PA的副轴来确定。3.凸透镜主轴上的物点的作图成象法117这种方法对于凹透镜同样适用，只是要注意焦平面的位置。这种方法对于近轴物点也同样适用。这种方法的核心：平行光通过透镜后交于焦平面的同一点，通过光心的光线方向不变。1184.凹透镜主轴上的物点的作图成象法•• 物方焦平面上的任意一点发出的光，经透镜折射后，成为一束与主轴成一定倾角的平行光。 与主轴成一定倾角的入射平行光束，折射后会聚于象方焦平面上的一点。119[例题]分析：薄透镜两边的介质不同，光心不在镜心上。物象位置已知，由此确定光心。难点在于确定镜心位置，当知道了透镜位置，其他问题也就容易了。薄透镜置于不同介质中，物、象方折射率分别为n=1.0和n=1.5。已知MN为系统的主轴，S和S为物象共轭点，如图所示。试用作图法作出透镜、光心和焦点的位置，并说明透镜是会聚还是发散。S••S120(1)光心位置连线S、S，C•与主轴的交点就是光心。但不是镜心，即不是透镜所在位置。(2)镜心位置S••S121过S作主轴的垂线SP,并延长至S",S••SC•S"•使SP的长度为(2)镜心位置122过S作主轴的垂线SP,并延长至S",使连线S、S,与主轴的交点O就是镜心，S••SC••S"(2)镜心位置作一薄透镜L与主轴垂直。因为，由此解得123S••SC••S"(4)因为>0，所以透镜是会聚的。(3)焦点位置物方通过S作平行于主轴的光线，经薄透镜后必通过其共轭象点S'。与主轴的交点就是象方焦点F'。象方通过S作平行于主轴的光线，与透镜L交于B点。连线S、B与主轴的交点就是物方焦点F。124共轴光具组的成像规律1、共轴光具组等效为一个简单的光学系统。2、这个光学系统存在与薄透镜的顶点、焦点和焦平面等价的一些基点和基面。3、在基点和基面的基础上，成像规律就是高斯成像公式。125§9、理想光具组的基点和基面一.高斯理论

1、引入：

(1)逐次成象法虽然原理简单，物理思想清晰，但相当麻烦(对复杂光学系统)，并且有时各球面和相对位置往往并不完全知道。126定理将两个限制联系起来，对于共轴光学系统在理想条件下nyu是一个与中间过程无关的不变量。上式可看作整个光学系统的物空间和象空间的值，与中间过程无关。这启发我们用一个等效光学系统来代替。(2)由亥姆霍兹—拉格朗日定理127(3)另一方面：从前面的一些成象公式或规律是在于一些基点位置（如焦点、顶点），因此，一旦知道光学系统整体的一些基点位置，那么也确定成象的规律，而不需要去考虑光的实际路径。1282、高斯的理想成象理论(1)在高斯的理论中，只需建立一系列的基点和基面，利用这些基点和基面，不需要研究光具组的实际光线。就可以描述光具组的基本光学特性，从而使问题大大简化。(2)高斯理论就成了建立物像共轭关系的纯几何理论。(3)最重要的基点和基面有：焦点、主点和焦平面、主平面。129(2)在完善成象中有两个限制：y、y受到近轴物点的限制，u、u受到近轴光线限制，已导出：定理将两个限制联系起来，对于共轴光学系统在理想条件下nyu是一个与中间过程无关的不变量。上式可看作整个光学系统的物空间和象空间的值，与中间过程无关。这启发我们用一个等效光学系统来代替。亥姆霍兹—拉格朗日定理130(3)另一方面：从前面的一些成象公式或规律是在于一些基点位置（如焦点、顶点），因此，一旦知道光学系统整体的一些基点位置，那么也确定成象的规律，而不需要去考虑光的实际路径。1312、高斯的理想成象理论(1)理想光具组：可以保持光的单心性以及象和物在几何上的相似。如只限于靠近对称轴的区域（近轴条件）时，共轴光具组可作为理想光具组。(2)高斯理论：对于理想光具组物方每一点、直线、平面，在象方都应有一个共轭的点、直线、平面。因此，理想光具组理论就成了建立这些共轭关系的纯几何理论。132(3)在高斯的理论中，只需建立一系列的基点和基面，利用这些基点和基面，不需要研究光具组的实际光线。就可以描述光具组的基本光学特性,从而使问题大大简化。(4)最重要的基点和基面有：焦点、主点和焦平面、主平面。133二、基点、基面的定义(1)焦点和焦平面定义与前面（例薄透镜）相同，只是这里的焦点是对整个系统而言。如图所示。(2)主点和主平面对于整个光学系统的焦距、物距和象距是以什么作为参考点呢？134（2）主点和主平面称谓：由物方焦点F发出的光线，经过系统后为平行主轴的光线，这两线的延长线交点为M。通过M点向主轴作的垂直平面——物方主平面。意义：系统对物方焦点发出的光线所产生的(多次)偏折等效于物方主平面对同一光线所产生的(一次)偏折。象方主平面、象方主点的引入类似，如上图。135 如图，总可以选择FB的倾角，使A'P'与AP在同一直线上，这样，物方主平面上（任一点）点M是光线PA和FB的交点。经系统后此两条光线分别成为B'F'和A'P'，相交于M'，它在象方主平面上。所以M与M'是一对与主轴等距的物象共轭点。即=+1。主平面的定义：136定义：主平面是系统中垂轴(横向)放大率为正1的两个共轭垂轴平面。任意光线：任意光线经系统的多次偏折，等效于两主平面的偏折。137（3）节点和节平面总能找到：在象方折射光线中一定有一条光线与入射光线平行,即u=u。节点：这两条光线的延长线与主轴的交点K和K'，分别称为物方节点和象方节点。当一束与主轴有一定倾角u的平行光束入射，经过光学系统后聚焦于象方焦平面上的一点根据主平面的性质，存在一对共轭点M、M'即入射光线PAM与出射光线M'B'F'平行，并且共轭。（过M点只有一条光线平行于光束。）••138节点定义：••节点就是主轴上角放大率正1（=+1）的物象共轭点。通过节点的光线方向不变。所以当=1时，=1。因此：这时两节点分别与两主点重合。节平面：通过节点的垂轴平面。若：光学系统在空气中(光学系统两边介质相同)，

由亥姆霍兹—拉格朗日定理139基点、基面上节课提要：定义：主平面是系统中垂轴(横向)放大率为正1的两个共轭垂轴平面。任意光线：任意光线经系统的多次偏折，等效于两主平面的偏折。1、主点和主平面1402、节点和节平面••••通过节点的光线方向不变。节点就是主轴上角放大率正1（=+1）的物象共轭点。若：光学系统两边介质相同时，两节点分别与两主点重合。1413、简单光学元件的主点和节点（1）薄透镜：主点——几何中心 节点——光心（2）球面：主点——顶点 节点——光心——球心1421.复合光具组的成象公式对于光具组或光学系统整体的物方焦距、物距以物方主点为参考点，象方焦距、象距以象方主点为参考点，这样成象公式仍为高斯公式三、复合光具组1432.共轴球面系统的组合对于几个共轴球面系统组合成的光学系统，可以合成为一个整体，用基点、基面表示其光学特性。这个共轴球面系统可以是一个透镜，也可以是一个球面，或可以是一个复杂的光学系统。对于两个以上的共轴球面系统，(类似于求合力一样，)将每两个相邻系统组合成一个系统，再进一步合成。144两个共轴球面系统(组合透镜系统)的基点两个共轴球面系统Ⅰ和系统Ⅱ构成的合成系统。根据基点性质可求出其位置(1)用Δ或d表示两光学系统