苏科版数学八年级上册知识点整理

苏科版数学八年级上册知识点整理

1、全等三角形的定义是指两个三角形能够完全重合，形状和大小完全相等，与位置无关。一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等。三角形全等不因位置发生变化而改变。2、全等三角形的性质包括对应边相等、对应角相等，即长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角。对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。此外，全等三角形的周长相等、面积相等，对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定有五种方法：边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等；斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、证明两个三角形全等的基本思路有三种：已知两边时，可以找第三边（SSS）、找夹角（SAS）或找是否有直角（HL）；已知一边一角时，可以找一角（AAS或ASA）或找夹边（SAS）；已知两角时，可以找夹边（ASA）或找其它边（AAS）。5、例题包括：求CD的长度、判断两个三角形全等的结论、不能判定两个直角三角形全等的条件、根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形以及无法判定两个三角形全等的条件。6．如图，正三角形ABC的三个内角平分线交于O点，则∠2-∠1=30°。第二章轴对称1、轴对称是一种图形对称方式，关于一条直线对称的两个图形称为轴对称图形。2、轴对称的性质：①轴对称图形的对称轴是任意两个对应点所连线段的垂直平分线；②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意两个对应点所连线段的垂直平分线；3、线段的垂直平分线：①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。②判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。4、角的角平分线：①性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。②判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。5、等腰三角形：①性质定理：⑴等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）；②判断定理：一个三角形的两个相等的角所对的边也相等（等角对等边）。6、等边三角形：①性质定理：⑴等边三角形的三条边都相等；⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。②判断定理：⑴三条边都相等的三角形是等边三角形；⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。7、直角三角形推论：⑴直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。例题：7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长．8．下列说法不正确的是（）A．轴对称图形的对称点不一定在对称轴的两侧；B．两个关于某直线对称的图形不一定全等；C．两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴；D．平面上两个全等的图形一定关于某直线对称。9．（2019·江苏初二月考）下列图标中哪一个是轴对称图形？A．B．C．D．10．（2019·江苏初二月考）已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是多少？A．80°或50°B．20°C．80°或20°D．不能确定第三章勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。常见勾股数有3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13。简单运用：⑴勾股定理常用于求边长、周长、面积；理解：①已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。②用于证明线段平方关系的问题。③利用勾股定理，作出长为n的线段。⑵勾股定理的逆定理常用于判断三角形的形状；理解：①确定最大边（不妨设为c）；②若c²=a²+b²，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a²+b²<c²，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a²+b²>c²，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）。难点：运用勾股定理立方程解决问题。11．（2019·全国初二单元测试）在△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AC²+BC²+AB²的值是多少？A．2B．4C．6D．8第四章实数平方根：一般地，如果x²=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。正数a的平方根记做“±a”，读作“正、负根号a”。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。算术平方根：一般地，如果x²=a(a≥0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，√0=0。一个正数只有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根。注意a的双重非负性：a≥0，√a≥0。立方根：平面直角坐标系是由两条垂直的数轴组成的，分别为x轴和y轴，它们的交点称为原点O。⑵坐标：在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x,y)来表示，x和y分别称为该点的横坐标和纵坐标。⑶象限：平面直角坐标系将平面分成四个部分，每个部分称为一个象限。第一象限为x和y坐标都为正的部分，第二象限为x坐标为负，y坐标为正的部分，依次类推。⑷距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离公式为d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。3、图形的坐标表示：⑴点：一个点的坐标就是它在平面直角坐标系中的位置。⑵线段：线段的两个端点分别有坐标(x1,y1)和(x2,y2)，可以用这两个点的坐标表示线段。⑶正方形：正方形的四个顶点坐标可以表示为(x,y),(x+a,y),(x+a,y+a),(x,y+a)。⑷矩形：矩形的四个顶点坐标可以表示为(x,y),(x+b,y),(x+b,y+a),(x,y+a)。4、平移：平移是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，不改变图形的大小和形状。平移可以用向量来表示，向量的大小和方向分别表示平移的距离和方向。5、对称：对称是指将图形沿着某个轴线或点对称，得到的图形与原图形完全相同。常见的对称有关于x轴、y轴和原点的对称。6、旋转：旋转是指将图形绕某个点旋转一定的角度，得到的图形与原图形相似但不相同。旋转可以用旋转矩阵来表示，矩阵中的元素表示旋转的角度和方向。在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向。x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。需要注意的是，x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。对于平面内任意一点P，过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对(坐标)是一一对应的关系。不同位置的点的坐标有不同的特征。各象限内点的坐标的特征：点P(x,y)在第一象限：x>0,y>0；点P(x,y)在第二象限：x<0,y>0；点P(x,y)在第三象限：x<0,y<0；点P(x,y)在第四象限：x>0,y<0。坐标轴上的点的特征：点P(x,y)在x轴上：y=0，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上：x=0，y为任意实数。点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上：即是原点坐标为（0，0）。两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上：x与y相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线（直线y=-x）上：x与y互为相反数。和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征：点P与点p’关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）；点P与点p’关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）；点P与点p’关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）。本文介绍了一次函数的概念、自变量取值范围和三种表示法，以及由函数关系式画图的步骤。其中，正比例函数和一次函数的概念和性质也得到了详细讲解。对于点P(x,y)到坐标轴及原点的距离，可以通过以下公式计算：点P到x轴的距离等于|y|，点P到y轴的距离等于|x|，点P到原点的距离等于√(x²+y²)。针对例题14，已知点M(3,-4)，在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标可以通过以下方法求得：由于该点在x轴上，所以其纵坐标为0，设其横坐标为x，则有√((x-3)²+(-4)²)=5，解得x=6或x=0，因此该点的坐标为(6,0)或(0,0)。针对例题15，已知P(x,y)是第四象限内的一点，且x²=4，y=3，则点P的坐标为(2,-3)。在一次函数中，给定一个x值可以确定一个y值，其中x是自变量，y是因变量。自变量的取值范围需要从整式、分式、二次根式和实际意义等方面考虑。函数的三种表示法包括关系式（解析）法、列表法和图象法。由函数关系式画图的步骤包括列表、描点和连线。一次函数的图像是一条直线，正比例函数的图像经过原点。正比例函数是一种特殊的一次函数，其形式为y=kx，其中k为常数。正比例函数的图像经过原点，具有一些特殊的性质。1.当$k>0$时，函数图像经过第一、三象限，随着$x$的增加，$y$也随之增加。2.当$k<0$时，函数图像经过第二、四象限，随着$x$的增加，$y$反而减少。3.一次函数$y=kx+b$有以下性质：-当$k>0$时，$y$随着$x$的增加而增加。-当$k<0$时，$y$随着$x$的增加而减少。6.确定一个正比例函数$y=kx$（$k\neq0$），需要确定常数$k$；确定一个一次函数$y=kx+b$（$k\neq0$），需要确定常数$k$和$b$。这类问题可以使用待定系数法，即过已知点必须代入，相交的点必须联立。7.一元一次方程$kx+b=0$（$k$和$b$为常数，$k\neq0$）可以转化为一次函数$y=kx+b$（$k$和$b$为常数，$k\neq0$）的形式。因此，解一元一次方程可以转化为求一次函数在$y=0$时的$x$值。例题：16.已知一次函数为$4$，则$k=4$。17.在平面直角坐标系中，点$A(3,0)$，$B(8,0)$，且点$P$在$y$轴正半轴上，$\trianglePAB$是等腰三角形。则点$P$的坐标为$(0,5)$。18.