转化与化归思想分类讨论思想【全国一等奖】

第2讲转化与化归思想、分类讨论思想一、转化与化归思想[思想概述]转化化归思想的基本内涵是：人们在解决数学问题时，常常将待解决的数学问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用框图可直观地表示为：转化有等价转化和非等价转化，等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性，等价转化策略就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题．在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．预测2016年高考对转化与化归思想的考查的基本类型和重点为：(1)常量与变量的转化：如分离变量，求范围等；(2)数与形的互相转化：如解析几何中的斜率、函数中的单调性等；(3)数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化．[类型讲解]类型一具体与抽象、特殊与一般的转化【例1】

已知f(θ)＝sin2θ＋sin2(θ＋α)＋sin2(θ＋β)，问是否存在常数α，β，满足0≤α＜β≤π，使得f(θ)为与θ无关的定值．

规律方法(1)由于题目中的参数和变量较多，所以直接求解难以入手，因此对参数θ取特殊值，进行推理求解．(2)当问题难以入手时，可以先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，并加以证明．解假设存在适合条件的m，由f(x)是R上的奇函数可得f(0)＝0.又在[0，＋∞)上是增函数，故f(x)在R上为增函数．由题设条件可得f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)＞0.又由f(x)为奇函数，可得f(cos2θ－3)＞f(2mcosθ－4m)，∴cos2θ－3＞2mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ＋2m－2＞0.规律方法(1)本题正确求解的关键有三点：①去对应法则“f”，②将“cosθ”用“t”代换，将较复杂的三角函数不等式化为二次不等式，③分离参数，转化为求最值．(2)在求解过程中，①切记注意t∈[0,1]，②分离参数注意不等式的性质，不要弄错不等号的方向．对于形式较复杂的式子，我们常通过更换某个(或某部分)变量的方法转化为相对简单易解的问题．(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.证明(1)连接A1B，设A1B与AB1交于E，连接DE.∵点D是BC中点，点E是A1B中点，∴DE∥A1C，∵A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.∴∠BDB1∠＝BC1C.∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°，∴BC1⊥B1D.∵B1D∩AD＝D，∴BC1⊥平面AB1D.规律方法(1)根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关，易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路．(2)本题把立体几何问题转化为平面几何问题，三维降为二维，难度降低，易于解答．二、分类讨论思想[思想概述]分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．分类讨论的常见类型：

(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶次方根非负，对数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比较，含参数的取值不同会导致所得结果不同等．

(4)由图形的不确定性引起的分类：有的图形的形状、位置关系需讨论，如二次函数图象的开口方向，点、线、面的位置关系，曲线系方程中的参数与曲线类型等．分类讨论思想，在近年高考试题中频繁出现，涉及各种题型，已成为高考的热点．考查的重点是含参数函数性质、不等式(方程)问题，与等比数列的前n项和有关的计算推理，点、线、面的位置以及直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等．规律方法(1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必需进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．(2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解二次不等式涉及到两根的大小等．

规律方法(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．类型三由定理、性质、公式等引起的分类讨论【例3】

已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.规律方法(1)利用等比数列的前n项和公式时，需要分公比q＝1和q≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的．一般地，在应用带有限制条件的公式时要小心，根据题目条件确定是否进行分类讨论．(2)由性质、定理、公式等引起的讨论，主要是应用的范围受限时，存