高考数学大一轮复习第九章平面解析几何96双曲线课件文新人教版

§9.6双曲线基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的

等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做

，两焦点间的距离叫做

.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当

时，P点的轨迹是双曲线；(2)当

时，P点的轨迹是两条射线；(3)当

时，P点不存在.知识梳理距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距2a<|F1F2|2a＝|F1F2|2a>|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程(a>0，b>0)(a>0，b>0)图形性质范围

对称性对称轴：

对称中心：

x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点性质顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线

离心率e＝，e∈

，其中c＝

实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝

；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝

；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝

(c>a>0，c>b>0)(1，＋∞)2a2ba2＋b2巧设双曲线方程知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(

)(2)方程 (mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(

)思考辨析×√×√√

1.(教材改编)若双曲线

(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为考点自测答案解析由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.

答案解析由题意知(2＋m)(m＋1)>0，解得m>－1或m<－2，故选D.A.m>－1 B.m<－2C.－2<m<－1 D.m>－1或m<－2

3.(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是答案解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.答案解析答案解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，题型分类深度剖析例1已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹方程答案解析几何画板展示如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.命题点2利用待定系数法求双曲线方程解答设双曲线的标准方程为∴b＝6，c＝10，a＝8.(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；解答∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).解答命题点3利用定义解决焦点三角形问题例3

已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.答案解析∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|引申探究1.本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？解答不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，解答所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4，思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为

(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.

跟踪训练1

(1)已知F1，F2为双曲线

的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为答案解析几何画板展示由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，答案解析题型二双曲线的几何性质

答案解析A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，又∵m＞0，n＞0，故m＞n.(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：

(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________.答案解析∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，思维升华

答案解析题型三直线与双曲线的综合问题例5

(2016·兰州模拟)已知椭圆C1的方程为

＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点.(1)求双曲线C2的方程；解答则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.解答由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得设A(x1，y1)，B(x2，y2)，思维升华(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.跟踪训练3若双曲线E：

－y2＝1(a>0)的离心率等于

，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点.(1)求k的取值范围；解答故双曲线E的方程为x2－y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. (*)∵直线与双曲线右支交于A，B两点，解析整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝

或k2＝

，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.∵点C是双曲线上一点.

直线与圆锥曲线的交点现场纠错系列11(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件.(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.错解展示现场纠错纠错心得典例已知双曲线x2－

＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？返回解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0). ①当k＝2时，方程①可化为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点.返回课时作业答案解析12345678910111213A.11 B.9 C.5 D.3由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.√12345678910111213√答案解析∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故选A.12345678910111213√答案解析A.16 B.20C.21 D.2612345678910111213由双曲线定义|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|＝2a＝8，∴|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋16＝21，∴△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝21＋5＝26.故选D.12345678910111213√答案解析1234567891011121312345678910111213√答案解析1234567891011121312345678910111213√答案解析解得x＝5或x＝－1，又a＝3，故c＝5，123456789101112137.(2016·北京)已知双曲线 (a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝___；b＝______.1234567891011121312由2x＋y＝0，得y＝－2x，解得a＝1，b＝2.答案解析123456789101112138.(2016·浙江)设双曲线x2－

＝1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.答案解析如图，由已知可得a＝1，b＝

，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，解得－1＋

＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，12345678910111213123456789101112139.已知双曲线 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________.答案解析要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＝4|PF2|，在△PF1F2中，由余弦定理，123456789101112131234567891011121310.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O且所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.答案解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30°且小于等于60°，1234567891011121311.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；12345678910111213解答由已知c＝

，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.12345678910111213(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值.解答不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，1234567891011121312345678910111213解答12345678910111213∴双曲线方程可化为2x2－y2＝2a2.设直线l的方程为y＝x＋m.∴Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，∴直线l一定与双曲线相交.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，12345678910111213则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2.消去x2，得m2＝a2.

＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m212345678910111213＝m2－4a2＝－3，∴m＝±1，a2＝1，b2＝2.12345678910111213解答又a2＋b2＝c2，解得a＝2，b＝1，(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左，右顶点)，且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.证明12345678910111213设A(x1，y1)