高数一第一次辅导讲义课件

(3)理解定积分的概念、基本性质、定积分中值定理(4)掌握微积分基本定理（即变上限积分定理）和微积分基本公式（即牛顿-莱布尼兹公式）.(5)运用定积分的换元法和分部积分法计算定积分.(6)运用定积分求平面曲线围成图形的面积和简单立体的体积.第二部分：解题方法和典型例题一、求极限的主要方法1.利用各极限定理与性质（包括左右极限定理、单调有界定理、夹逼准则等）.2.运用四则运算公式与连续性求定式的极限.3.求未定式的极限，常用如下方法：（1）未定式变形法，即运用初等变形（通分、约分、同乘同除、有理化分母与分子、求数列之和、用恒等式或三角公式变形、换元法、取对数等）化未定式为定式，再求出极限.（2）利用重要极限与常用极限公式，利用等价无穷小求极限.（3）利用洛必达法则求极限（作为导数的应用）.例1求解：题目含和，需用左、右极限来求.左极限=右极限=所以原极限=1.例2求解：题目比较复杂，可用等价无穷小替换变简单.

原式=例3设，求解先证数列存在极限.易知当时，.假设时，，则当时，，所以，即是有界数列.由于，所以，从而，则，故是单调增加数列，从而数列必定存在极限.设，对等式两边取极限，得，从而（舍去）.例4已知，求解因为，所以，从而.以代入原式得原式=所以.二、一元函数微分法1.要求掌握导数、微分及高阶导数的定义和几何意义.2.熟练掌握计算导数、导函数、微分及高阶导数的各种方法，特别是复合函数、隐函数求导公式、对数求导法等.例5设，求和解:当时，当时，由于不存在极限，所以在处不连续，故在不可导，即不存在.例6求二次曲线上任一点处切线方程.解:由隐函数求导法，将方程两边对求导得，,从而切线斜率故切线方程为例7求函数的阶导数.解例8设对任何都满足，且（常数），求解令，则，从而三、微分中值定理与导数的应用1.掌握罗尔定理、拉格朗日定理的条件、结论、几何意义、相互关系.2.熟练运用洛必达法则求各种未定式的极限（包括七种类型）.3.利用导数研究函数的各种性态（包括单调性、极值、最值及应用题、凹凸性及拐点）.例9设，其中有二阶连续导数，且.（1）确定的值，使在点处连续.（2）求.（3）讨论在点处的连续性.解（1）利用洛必达法则求极限：所以当时，，这时在点处连续.（2）时，时，用定义求导数：（3）所以在处连续.四、计算不定积分的方法主要有：直接积分法、两个换元积分法、分部积分法、有理函数及可化为有理函数的积分法等，其中换元法和分部积分法是常用的两个主要方法.例10已知的一个原函数为，求.解因为，即，所以例11已知，求.解令，则，从而，所以考虑到上式中的，且题目设时所以应取，从而应舍去，故

例12求解若先让凑成，计算将很复杂，应优先化简分母.原式例13求解原式五、定积分及其应用1.理解定积分的概念、基本性质、定积分中值定理.2.掌握微积分基本定理（即变上限积分定理）和微积分基本公式（即牛顿-莱布尼兹公式），利用求原函数（或不定积分）和牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.3.运用定积分的换元法（包括第一类和第二类）和分部积分法计算定积分.4.运用定积分求平面曲线围成图形的面积以及简单立体的体积.例14设函数在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，，求证在（0，1）内至少存在一点，使.证明由已知的条件，满足定积分中值定理的条件，所以存在，使，从而，再由罗尔定理，存在，使.例15已知，求证.分析：被积函数在处不连续，所以不能应用积分上限求导公式，而要用分部积分法将改造成在处连续的另一函数，问题即可解决.证明其中约定于是新的被积函数在处连续，从而另设，则所以例16求分析：对于被积函数含根式、绝对值或分段函数的积分，应设法去掉根号、绝对值或分段来计算，应注意被积函数在不同部分区间所取的正负号或不同的表达式.另设，

则所以例16求分析：对于被积函数含根式、绝对值或分段函数的积分，应设法去掉根号、绝对值或分段来计算，应注意被积函数在不同部分区间所取的正负号或不同的表达式.解：原式例17：设在上连续，在内可导,且令，

求证在内.证明由定积分中值定理，存在，使从而,又因为,所以

单调减少，从而，又，从而例18设曲线,轴和轴所围区域被曲线分成面积相等的两部分，其中为常数，试求的值.解：由，求得交点坐标为分别记上、下两块的面积为和，则而，从而，故.例19计算下列定积分解（1）原式（2）令，则，从而移项得（3）原式例20：设在上连续，且

求证(1)(2)方程在内有且仅有一个根.证明（1）由积分变上限函数的性质知（2）又知在上连续，所以由零点存在定理，方程在内至少有一个根.又因

，所以在上严格单调增加，从而方程在内仅有一个根.例21设，求解：设，则原式例22求下列极限：（1）（2）解:(1)原式=

（2）

例23求下列极限：（1）（2）解（1）原式=

（2）

例24求下列极限：（1）（2）

解：（1）当时，所以

（2）

例25求下列函数极限：（1）（2）

解（1）

（2）

例26求下列极限：（1）,（2）解（1）原式=

（2）另求下列极限：（3）

（4）解（3）

（4）

或（4）

例27：求下列极限：(1)（2）解（1）因所以（2）因所以

例28求下列函数在分段点处的极限：（1）（2）

解：(1)即故（2）

即故不存在.例29已知，求的值.解：因当时，，由此及已知，可得必有（否则，将与已知矛盾）,即

从而有即或由已知，必有即，由比较两端系数，得

例30：若,求的值解：此为“”型极限，即因分母为的一次二项式，分子必为常数，即例31判断函数的连续性(1)(2)解:(1)当时，处处连续，在分段点处，即。从而在不连续（2）当时，处处连续，分段点为，

即所以，且，即，所以函数在也连续，从而在上连续.例32：求函数的间断点.解：函数在处没定义，因此为间断点.

例33求函数的间断点解：为分段函数，分段点为

对，有，即左、右极限存在但不相等，故其为间断点对从而有，又从而为连续点，故只有为间断点.

有例34设函数在处可导，且，求解：由导数定义可知例35讨论在处的可导性.解：==虽然左、右导数都存在，但不相等，所以在

处不可导.例36求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）解:(1)函数是由复合而成的，于是(2)函数是由复合而成的，于是

(3)

(4).例37求函数的极值.解：函数的定义域为,函数的导数为=

令,得驻点.且是不可导点.列表讨论的极值如下:由上表可知，在处，函数取得极小值；在处，取得极大值不存在极大值0例38要造一圆柱形油桶，体积为V