追及相遇问题“百校联赛”一等奖

追及相遇问题

“追及”、“相遇”是运动学中研究同一直线上两个物体的运动时常常涉及的两类问题，两者的基本特征相同，处理方法也大同小异．1．同时同位

两物体相遇一定是同一时刻处在同一位置．

(1)位移关系：x2＝x0＋x1

x0表示开始运动时两物体间的距离，x1表示前面被追物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移．

(2)时间关系：t1＝t2＝t

即追及过程经历时间相同，但t1、t2不一定是两物体运动的时间．

2．临界条件

当两物体速度相等时可能出现恰能追及、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况，即该四种情况的临界条件为

v1＝v2

3．分析v－t图象

说明：(1)Δx是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；(2)x0是开始追及以前两物体之间的距离；

(3)v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度．

4．解“追及”、“相遇”问题的思路

(1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图．(2)根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程．注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中

(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程．

(4)联立方程求解．

5．分析“追及”、“相遇”问题时应注意的问题

(1)分析“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住一个条件、两个关系．一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．两个关系是时间关系和位移关系．一定要养成画草图分析问题的良好习惯．(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意在追上前，该物体是否已经停止运动．(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件．

6．解决“追及”和“相遇”问题的方法

(1)数学方法：因为在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可列出方程，利用二次函数求极值的方法求解，有时也可借助v－t图象进行分析．

(2)物理方法：即通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解．

例1汽车正以10m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远．

解析

当汽车恰好不碰上自行车，有：

v汽＝v0＋at

v汽车＝v自＝4m/s

汽车：由4m/s＝10m/s－6m/s2·t

解得：t＝1s

x汽－x0＝x自

x0＝x汽－x自＝·1s－4m/s·1s＝7m－4m＝3m.

答案

3m

例2甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图中(如图9－3所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0~20s的运动情况.关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是()

图9－3A．在0～10s内，两车逐渐靠近B．在10～20s内，两车逐渐远离C．在5～15s内，两车的位移相等D．在t＝10s时，两车在公路上相遇

分析

由v－t图象与时间轴所围面积的关系，可分析判断不同时间段内两物体的位移关系．另外要明确v－t图线交点的物理意义．

解析

根据v－t图线与时间轴所围面积表示位移可知：在0～10s内，两车的位移差逐渐增大，即两车在远离，选项A错误；在10～20s内，甲的位移增加得多，两车在靠近，到20s末两车相遇，选项B错误；在5～15s内，由图线的对称关系知两图线在此时间段与时间轴所围面积相等，故两车位移相等，选项C正确；v－t图线的交点表示该时刻速度相等，选项D错误．

答案

C

变式训练2

在例2的已知条件下，(1)甲追上乙之前，甲、乙之间的最大距离是多少？(2)5～15s内乙车的位移大小是多少？

解析

(1)v－t图象的面积之差表示位移之差，甲追上乙之前，甲、乙之间的最大距离(2)在5～15s内，甲、乙两车位移相同，即

x乙＝x甲＝v甲t＝5×10m＝50m.

答案

(1)25m(2)50m例4.(08四川)（16分）A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84m处时，B车速度为4m/s,且正以2m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20m/s的速度做匀速运动。经过12s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？【解析】设A车的速度为vA，B车加速行驶时间为t，两车在t0时相遇。则有①

②

由①②③式得④式中，t0=12s，vA=20m/s，vB=4m/s，a=2m/s2s=84m。代入数据有⑤解得t1=6s，t2=18s⑥t2=18s不合题意，舍去。因此，B车加速行驶的时间为6s。③例5.（08宁夏）甲乙两年在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v-t图象如图所示。两图象在t=t1时相交于P点，P在横轴上的投影为