向量的加法和减法运算高一数学系列

人教A版2019高中数学必修第二册第6章平面向量及其应用6.2.1向量的加法和减法运算

1.向量的定义：我们把既有大小又有方向的量叫向量.2.向量的表示方法：（1）用有向线段来表示。（2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.如,长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.相等向量：

问题1

数能进行加法运算，与数的运算类比向量能否进行加法运算呢？

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.4.共线向量：小明从A地出发向东行走6千米到达B地，AB（比例尺：1:100000）6cm8cmC再向北又走了8千米到达C地，那么这时小明在A地的什么方向？到A地的距离是多少？向量：

“东北方向，Km”北东问题110cm10向量的加法1向量加法的定义★求两个向量的和的运算，叫做向量的加法；★两个向量的和，仍然是一个向量；★对于零向量和任意向量，规定：

向量加法的交换律和结合律【向量加法的交换律】【向量加法的结合律】

多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如：

向量的加法1向量加法的三角形法则：CAB首尾连首尾相接位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型还有没有其他的做法？向量的加法1OABC起点相同向量加法的平行四边形法则：力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型向量的加法1对向量加法两个法则的理解【1】两个法则的使用条件不同：

★三角形法则适用于任意两个非零向量求和★平行四边形法则只适用于两个不共线的相量求和【2】三角形法则中强调“首尾相连”；平行四边形法则中强调的是“共起点，不共线”.【3】作三个或者三个以上的向量求和时，使用三角形法则更简单.向量的加法1ABCEFKJD向量求和的多边形法则：向量的加法1ABCDE根据图示填空：课堂练习向量的加法1ABC(1)同向(2)反向ABC思考1

当向量不共线时，和向量的长度与向量的长度和之间的大小关系如何？三角形的两边之和大于第三边综合以上探究我们可得结论：向量的加法1思考2向量的减法2与已知向量的模相等，方向相反的向量叫做的相反向量，记作.

相反向量向量减法的定义向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即

★规定：零向量的相反向量还是零向量，即

★任意向量与其相反向量的和是零向量,即

★如果与互为相反向量，那么

向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，可以把向量的减法转化成向量的加法来计算.向量的减法2一、向量减法的三角形法则ABCO.如图，作以OA,OB为边作平行四边形OACB，连接BA.不难看出，向量表示向量与的和，也就是向量探讨1：已知向量如何作共起点，连终点，指向被减向量向量的减法2？(1)如图，如果从

的终点到

的终点作向量，那么所得向量是什么？（1）（2）OABABO同向反向探讨2：共起点，连终点，指向被减向量向量三角不等式3★当，不共线时，作OA=，AB=，则=OB，如图①，根据

三角形的性质有已知非零向量，，则

★当，共线且同向时，作法同上，如图②，此时，

此时显然有

★当，共线且反向时，不妨设，作法同上，如图③，此时,有

图①图②图③向量三角不等式3

——,,三者的大小关系

☆当向量和共线时：①当非零向量和同向时，②当非零向量和反向时，③和中至少有一个为零向量时，☆当向量和不共线时：

利用向量三角不等式可以解决有关向量的大小(模)的取值范围或最值问题，但需要注意的是运用此性质时，必须验证等号成立的条件，即:当与同向时，；;当与反向时，;.

重点理解课堂练习1、填空.2、如右图平行四边形ABCD，

，,用，表示向量3、判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由（3）相反向量就是方向相反的量（4）若，则A、B、C三点是一个三角形的定点（）（）（）（）（）（6）两个向量是互为相反向量，则两个向量共线（）√√如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是哪个？AB+AD=CAB.OA-OC=0C.BD-CD=BCD.BO+OC=DA【错解】思路不明确，不知道选啥.【正解】AB+AD=AC，故A错误；

OA-OC=CA，故B错误；BO+OC=BC=AD，故D错误