固体物理学第一章晶体的结构课件

§1.4倒格子

由于晶格具有周期性,描述晶格的物理量都应当具有周期性。

对于周期函数，在数学上可以进行付里叶展开（变换）。对于晶格周期函数进行展开，就可以引入倒格子的概念。在固体物理中，倒格子是一个极其重要的概念，一个新概念，也是一个比较抽象的概念。对应波矢空间,或状态空间。空间矢量量纲[长度]-1。倒格子概念的用途：X-ray衍射分析晶格振动：原子运动状态的描写能带理论：电子由运动状态的描写

§1.4倒格子由于晶格具有周期性,描述晶格的物理量都1(1)倒格子：由晶体点阵用的矢来定义,设有一正格子基矢为：定义一相应的倒格子基矢：

引进一倒格矢:,其中h1,h2,h3为整数，由G构成一倒格子空间.即：由构成的点阵为原点阵（）的倒易点阵，G称倒格矢，与格矢量对应.G的量纲为[L]-1,与波矢的相同。可见：知道，就知道(1)倒格子：2(2).倒格子的性质倒格子基矢和正格子基矢的正交性倒格子矢量和正格子矢量之间的广义关系（3）正、倒格子体积的关系正格子原胞的体积为：倒格子原胞的体积为：

则：

(2).倒格子的性质倒格子基矢和正格子基矢的正交性倒格子矢3*倒格子与晶面指数为（h1h2h3）的晶面族之间的关系—倒格矢的几何意义

（1）垂直于（h1h2h3）晶面族如图：o为某格点，为原胞基矢，ABC为距o最近的晶面(h1h2h3),分别与三个基矢相交于：与ABC面交于M.

垂直于ABC面.即垂直于(h1h2h3)晶面这一性质将晶面族与倒格子格矢量联系起来，是X-ray依据a1a3OCABa2MGh*倒格子与晶面指数为（h1h2h3）的晶4(2)晶面系中相邻的面间距

由上图可知，晶面间距dh1h2h3即为OM的长度,则：

(3)用这一关系写出晶面族的方程为：代表从正格子原点到第n个晶面上任意一点的矢量.从原点到第n个晶面的距离为:

a1a3OCABa2MGh(2)晶面系中相邻的面间距a1a3OCABa2MGh5

任何一物理量，在晶格中具有：Г(r)=Г(r+R)，R为格矢量，则周期函数可以作傅立叶展开.同样，f(x+a)=f(x),则以a为周期的函数可以展开为：

若一维晶格，周期为a,则为倒格矢，展开为：推广到三维：

其中为倒格矢，h1h2h3为整数，则：

dr为小体积元，Ω为正格子原胞体积(2)函数的展开(以晶格周期为周期的函数的傅立叶展开)任何一物理量，在晶格中具有：Г(r)=Г(r+R)6

可见，一个具有正格子周期的物理量，在正格子表述和在倒格子的表述之间遵从傅立叶变换的关系。每个特定的晶格结构有两个点阵同它联系，一个是晶格点阵，一个是倒易点阵。晶体的衍射斑点是晶体倒易点阵的映像，通过傅立叶变换即可由之得出晶体的实点阵结构。倒格子所在的空间，实际是波矢空间，也称傅立叶空间。由于常用波矢描述运动状态（如电子的运动或晶格振动状态）。故倒空间可理解为状态空间，而正格子空间为位置空间或坐标空间。倒空间的每一点都有一定的意义，而格点Gn有着特殊的重要性。

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§1.5晶体的宏观对称性晶体内部结构的规则性用bravias格子概括。对整个单晶来说，表现为外形的规则性或宏观对称性。对晶体对称性的研究可以定性或半定量地确定与其结构相关的物理性质。并能简化某些数学计算。

如原子结构具有中心反演对称性，则原子无固有偶极矩；若一个体系具有镜面对称性，面对称操作可以变左旋矢量为右旋矢量，故具有镜面对称性的材料是无旋光性。

从数学角度看，晶体对称性是对晶体进行几何变换而能保持晶体性能的不变性。一个变换就是一种操作。定量研究对称操作集合的性质要用群论。本节介绍对称性的一些问题，初步了解这方面知识。§1.5晶体的宏观对称性81.对称操作晶体对称性可以从外形上看出来，例如：

外形愈规则，对称性愈高。具体：若对晶体进行一定的几何变换而能复原，这种操作叫对称操作。显然晶体对称操作愈多，对称性愈高。2.点对称操作及数学表述（1）概念：相对于晶体的某一点、线、面作某种变换而能复原，则这种变换叫晶体的点对称操作。其中点、线、面分别叫对称中心、对称轴、对称面。1.对称操作9（2）数学中的线性变换在xyz坐标系中的点（x,y,z),经过一线性变换，在新坐标系x’y’z’中坐标为（x’,y’,z’）.变换矩阵为：

则X’=AX.变换中，任意两点之间距离不变，即:

左边=右边则：

变换矩阵行列式为±1。变换为正交变换。如果一个物体在某一正交变换下不变，称这个变化为该物体的一个对称操作，用一个正交矩阵表示。

（2）数学中的线性变换10例如绕z轴旋转θ角变换的正交矩阵为：例如中心反演的正交矩阵为：

例如右图中对称性描述：*旋转：对圆可以绕旋转任意角度.正方形中心轴旋转π/2，π，3π/2,2π.等腰梯形旋转π，规则梯形和四边形除旋转2π外，不能是其它角度.*镜像：圆任意直径;正方形对边中点连线及对角线;规则梯形对边中点连线可见：对称性的高低可以用操作数来描述，操作数越多，对称性越高。

例如绕z轴旋转θ角变换的正交矩阵为：11例1.立方体的对称操作a.不动1个b.绕三个<100>转π/2，π，3π/29个c.绕6个<110>转π6个d.绕4个〈111〉转2π/3，4π/38个24个纯旋转操作，每个加中心反演，共48个(Oh)例2.正四面体对称操作:

(1)12个纯转动：3个<100>转π，4个<111〉转2π/3，4π/3,不动(2)立方体剩余12个转动加中心反演复合操作(Td)

(d)x1x1例1.立方体的对称操作(d)x1x112例3.正六角柱*不动*绕上下面心连线转2π/6,2π/3,π,4π/3,5π/3*绕对棱中点连线转π/2（3个)*绕对面中心连线转π/2（3个)12转动，再加中心反演，共24个对称操作

分析对称性一一列出对称操作很麻烦,为简便，不列对称操作，而列出对称素。一个物体的旋转轴或旋转-反演轴统称该物体的对称素。

*旋转轴：一个物体绕某一转轴旋转2π/n及其整数倍后复原,该轴称物体的n重旋转轴，记作n。*旋转反演轴：物体旋转2π/n，再作中心反演的联合操作及联合操

作的整数倍后不变，这个轴称物体的n重旋转反演轴,记

操作过程中保持不变的点、线、面例3.正六角柱操作过程中保持不变的点、线、面13*代表线旋转π，再作中心反演，如图实际存在一个镜面，这个对称素一般称镜面，用m表示，即=m.3.对称操作群（Group)一个物体的全部对称操作的集合称对称操作群.*群的定义：它是一个数学“元素”集合，数学“元素”（群元）之间定义一个“乘法”（运算）规则，并在此规则下满足：(1)封闭性（闭合性），即：

A∈GB∈GC=AB则：C∈G(2)存在一单位元素E，A∈GAE=A(3)元素间的乘法运算满足结合律:A(BC)=(AB)C，但不满足交换律,实际上矩阵运算就不满足交换率。（4）逆元存在:对于任意的一个群元A，都有群的例子：所有整数相对其加法运算构成一个群（整数群）。封闭性：所有整数相加仍然为一整数。单位元：整数“0”。结合律：整数相乘满足结合律逆元存在：整数和其相对应的“负整数”。这里的群元为无穷多个，乘法呢？）A''AA'O*代表线旋转π，再作中心反演，如图A''AA'O14思考题：所有非零的实数是否相对于数的乘法运算构成一个群呢？*对称操作群的说明（回答为什么对称操作构成一个群？）：“乘法规则”为连续操作。并满足四个条件：1.单位元素就是不动；2.逆群元存在；3.结合律为操作的先后次序。4.对称操作存在封闭性。所以对称操作可以组成群。（应讨论晶体满足什么条件对称操作形成封闭的群）思考题：所有非零的实数是否相对于数的乘法运算构成一个群呢？154.对称性与宏观物理性质的关系例如：介电张量ε一般条件下：，ε为二阶张量但满足一定对称性，则ε可以简化对角矩阵。如立方对称：六角对称：（双折射）

在实际的晶体结构中，能存在的对称操作能有哪些呢？下面就来分析得出结论。xyz4.对称性与宏观物理性质的关系xyz16

（1）旋转

设A、B为晶面上任意二格点，相距为a，假设有过A点垂直于晶面的轴，转θ为对称操作。旋转后：B→B’，B’也是格点，同理，过B点作-θ旋转，A→A’.A’点为格点则：m为整数.而：

则：1-2cosθ=m，cosθ∈[-1，1]，m在[-1，3]，则：旋转操作中θ只能取以上值.即旋转度n=1,2,3,4,6,不可能用5,7,…旋转轴（传统上）。ABB’A’（1）旋转ABB’A’17

(2)旋转—反演的复合操作晶格反演为-R,仍为Bravias格子单就反演，没有什么限制。旋转只有1,2,3,4,6，因此旋转—反演也只有：只有10种对称素的操作。但和不是最基本的.因为：

在以上十种对称素的基础上组成的对称操作群一般称点群。=3+i=3+m(2)旋转—反演的复合操作=3+i18

7个晶系,14种Bravias格子.按照对称性的顺序依次是：三斜、单斜、正交四方、六角、三角、正方注意：*只有加底心、面心原子才可能等价*但不是所有的晶系都可加如三角、立方有3度轴,三个面等价，不能有底心六角加心，破坏6度对称性.三斜单斜正交四方六角三角正方7个晶系,三斜单斜正交四方六角三角正方19

补充题1.证明在二维晶格中，倒格子原胞面积与正格子原胞面积互为倒数2.证明:(1)在二维晶格中，密勒指数为(hk)的晶列与倒格矢垂直，其中为倒格子基矢：（2）晶列间距为补充题201-8.晶体表面的几何结构

前面所讲内容都假定晶体在三个方向是无限延伸的，这是理想情况.实际晶体总有表面。当研究晶体内部性质时，晶体大小至少是μm量级，与原胞尺寸Å相比很大，表面所占的比例也很小，可以忽略，所以前面的模型仍是很好的模型。但是，表面与内部性质毕竟不同，特别是科技的发展，要利用薄膜做器件，表面的性质变得突出了。20世纪60年代，表面的研究很活跃，并形成了“表面物理”这一学科。1.二维晶格从几何结构上看，表面是一个二维晶格.二维情况比较简单—只考虑平行于表面方向上的周期性，可以找出相应的原胞与基矢，其Bravias格子为：其中、为基矢。基矢的选取采用使得平行四边形面积最小。一维晶格呢？零维呢？（在凝聚态物理学中统称为低维系统）1-8.晶体表面的几何结构212.表面结构的重构成晶体表面的原子排列与晶体内部的原子排列方式不同,这种现象就称为表面的重构成现象.2.表面结构的重构成22

1-9非晶材料的结构非晶很常见,如玻璃SiO2。人们接触非晶很早，但研究的比较晚，20世纪50年代以后才开始。但发展很快，1977Mott和Anderson的模型获得了诺贝尔奖。83年出版第一本教材（非晶物理学）。50年代开始,70年代发展