数学-突破导数压轴中的八大绝技之1.参数分离

第1讲：参数分离法参数分离方法是函数与导数中一种非常重要的技巧，它的出现意味着我们可以避免繁杂的分类讨论，因为含参分类讨论从高一到最后一直都是很多学生无法逾越的鸿沟！当然，分离参数也并非万能的，一方面分参意味着不含参数的函数可能异常复杂，讨论起来有点麻烦，甚至需要极限（洛必达法则），另一方面则是因为像恒成立问题分参，需要讨论正负号这些学生很容易忽视！不过，个人觉得分参是处理含参问题的一把利器，它确实要比分类讨论操作起来容易一些，我们应该多加练习力求掌握.一．基本原理1.零比零（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于零.若函数和满足下列条件：（1）；（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；（3）且(可为实数，也可为)，那么：.2.无穷比无穷（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于无穷.若函数和满足下列条件：（公众号：凌晨讲数学）（1）；（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；（3）且(可为实数，也可为)，那么：.二．典例分析1.分离参数法解决恒成立问题例1.（2020全国1卷）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.解析（2）当时，恒成立，当时，恒成立分离参数之后等价于，求导可得：，一方面由于（易证，略），故，代入得：.习题1.已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5解析：，即.由于对任意恒成立，所以，即.令，，.令，，所以在上单调递增，所以，可得，所以在上单调递增.所以.又，所以.故选：B.（公众号：凌晨讲数学）2.分离参数法解决零点问题例2.（2022乙卷）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围.解析：（2）原问题等价于在上各有一个解.再令,显然,在上增,在上减,在上增.且,故存在,使得,于是,在上递减,在上递增,且有洛必达法则知:,故可得时,满足题意.注：这道题目分参过后就引入了洛必达法则，其难度很大！习题2．（2018全国2卷改编）已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）（公众号：凌晨讲数学）A． B．C． D．解析：令，显然，所以，令（），则问题转化为“若图象与图象有三个交点，求的取值范围”.，令，解得，当或时，，在，单调递增，当时，，在单调递减，在处取极小值，作出的简图，由图可知，要使直线与曲线有三个交点，则，故实数的取值范围是.故选：C.3.参变半分离（分离直线）在利用分离参数时，我们可以使用参变半分，即分离直线的形式来处理.例3．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.练习3.已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围.解析：原题等价于在区间各恰有一个零点.设，则，在定义域内有，对恒有，则在区间内单调递增，又，所以只要有即可，从而.四．分参数与主元视角参数分离结束后，我们的函数结构就会呈现参数在等式（不等式）的一段，变量在另一端的情形，这个时候，并非一定要将主元视为自变量来讨论，也可以先把含参数的结构来处理，见下例：例4.设,若函数在上单调递增,则的取值范围是________解析：因为在上单调递增,所以恒成立,令,则,所以在单调递增,故只需即可,所以,即,又,解得,故.三．习题演练（公众号：凌晨讲数学）1.已知函数.，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围.解析：.在上有两个零点，即关于方程在上有两个不相等的实数根.令，，则.令，，则，显然在上恒成立，故在上单调递增.因为，所以当时，有，即，所以单调递减；当时，有，即，所以单调递增.因为，，，所以的取值范围是.2.已知函数若当时，不等式恒成立，求的取值范围（公众号：凌晨讲数学）解析：由题意可知当时，恒成立，此时当时，，设，设，此时，，此时恒成立，恒成立在上单调递增，但是当时，型，用洛必达法则；根据洛必达法则可知所以的取值范围是3.已知在上恒成立，求的取值范围解析：当时，恒成立，此时，当时，设设，此时单调递增，且在上恒增又时，型，所以使用洛必达法则根据洛必达法则，可得所以的取值范围是4．已知函数，若恒成立，则实数的最大值为（

）A． B． C．2e D．解析：由题意可得：，则，当时，则；当时，则；故在上单调递减，在上单调递增，若与直线相切时，设切点为，则切线斜率，所以该切线方程为，注意到切线过点，则，整理得，解得或，当时，；当时，；结合图象可得实数的取值范围为，即实数的最大值为．故选：C．5．已知函数.若恒成立，则的取值范围是的___________.解析：恒成立等价于即可.令，则，令，则，令，则当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增；所以，所以在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，取到最小值为，即，故答案为：.6.已知函数.若当时,,求的取值范围.解析：当时, 设,则.设,则.在上,单调递增,单调递增,,即.因为,所以，故的取值范围为7.已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．解析：（2）,设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.8．已知函数，，当实数满足时，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.解析：，令，易知函数在上单调递增，则，有，记，则，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以函数单调递增，且，由题意，所以，所以，不等式恒成立即恒成立，所以时，恒成立，即在上恒成立，记，则，因为，所以在上单调递增，所以，故.故答案为：9．若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为（

）A． B．0 C．1 D．3解析：因为对于任意恒成立，等价于对于任意恒成立，令，，则，令，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在有且仅有一个根，满足，即，当时，，即，函数单调递减，时，，即，函数单调递增，所以,由对勾函数可知,因为，即，，，所以，当时，不等式为，因为，不合题意；所以整数的最大值为0.故选：B整套系列资料八讲见：数学-突破导数压轴中的八大绝技之1.参数分离数学-突破导数压轴中的八大绝技之2.同构四大