北师大版初中数学九年级下册二次函数教案汇总

/二次函数【知识点八：二次函数解析式的表示方法】1．一般式：（，，为常数，）；2．顶点式：（，，为常数，）；3．两点式：（，，是抛物线及轴两交点的横坐标）．【留意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种状况：1．已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2．已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3．已知抛物线及轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；4．已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．【典型例题】1、依据下面条件求二次函数的解析式：（1）抛物线过（－1，－6）、（1，－2）和（2，3）三点；（2）抛物线的顶点坐标为（－1，－1），且及y轴交点的纵坐标为－3；（3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；（4）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）．2、把抛物线2+2x－3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为．3、二次函数有最小值为，当时，，它的图象的对称轴为，则函数的关系式为．4、校运会上，小明参与铅球竞赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y(m)及水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋，求小明这次试掷的成果及铅球出手时的高度．【变式练习】1、抛物线2经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)三点，则，，．2、抛物线的图象如图6所示，则此抛物线的解析式为．3、已知二次函数中的满意下表：…012……400…求这个二次函数关系式．4、如图，已知抛物线及交于A(－1，0)、E(3，0)两点，及轴交于点B(0，3)．求抛物线的解析式．5、已知二次函数的图象及x轴交于A（－2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2．求二次函数的图象的解析式；设次二次函数的顶点为P，求△的面积．6．（t，0），且t

≠

0（1）若该抛物线指出此时y的最小值，；AOPxy图12－

AOPxy图12－

3－

3（3）直．xyO7、（1）请在坐标系中画出二次函数xyO（2）在同一个坐标系中画出的图象向上平移两个单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式．注：图中小正方形网格的边长为1．8．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约123．铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4m处（即4）达到最高点，最高点高为3m．已知铅球经过的路线是抛物线，依据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成果吗

9、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式．（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺当面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺当航行10、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5米时，达到最大高度3．5米，然后精确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05米．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．

（2）该运动员身高1．8米，在这次跳投中，球在头顶上方0．25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少

【提高练习】1、已知二次函数的图象经过、两点，且及轴仅有一个交点，求二次函数的解析式．ABPxyOC（5，4）2、如图，抛物线及轴相交于点AABPxyOC（5，4）（1）求的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．3、抛物线2过点(0，－1)及点(3，2)，顶点在直线3x－3上，a<0，求此二次函数的解析式．0xyABC4、如图二次函数的图象经过A(－1，0)和两点，且交轴于点0xyABC（1）试确定、的值；（2）过点作轴交抛物线于点点为此抛物线的顶点，试确定的形态．5、如图，在平面直角坐标系O中，等腰梯形的下底边在的正半轴上，∥，，∠，点B的坐标为（7，4）．（1）求A、C的坐标；（2）求经过点O、B、C的抛物线的解析式；6．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系上经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常状况下，该运动员在空中的最高处距离水面10米，入水处距池边的距离为4m，同时，运动员在距水面高度为5m以前，必需完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿态，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式．（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是图中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿态时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误并通过计算说明理由．

7．（香港）今有网球从斜坡O点外抛出，网球的抛物路线方程是4x－x2，斜坡的方程是，其中y是垂直高度（米），x是及O点的水平距离（米）

（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A，写出A点的垂直高度，以及A点及O点的水平距离．（2）在图象中，标出网球所能达到的最高点B，并求及水平线之间夹角的正切．

8、以x为自变量的函数中，m为不小于零的整数，它的图象及x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边．(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数的图象经过点A，及这个二次函数的图象交于点C，且=10，求这个一次函数的解析式．【知识点九：二次函数及一元二次方程和不等式的关系】1．二次函数及一元二次方程的关系（二次函数及轴交点状况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特别状况．图象及轴的交点个数：当时，图象及轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离．当时，图象及轴只有一个交点；当时，图象及轴没有交点．当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．2．抛物线的图象及轴肯定相交，交点坐标为，；3．二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象及轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶依据图象的位置推断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号推断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知及轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标．⑸及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线及轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线及轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线及轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根．【典型例题】1、已知二次函数及x轴有交点，则k的取值范围是．2、抛物线及轴交点的个数为（）A、0B、1C、2D、以上都不对3、二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是（）A、B、C、D、4、若方程的两个根是－3和1，则二次函数的图象的对称轴是直线（）A、＝－3B、＝－2C、＝－1D、＝15、画出二次函数的图象，并利用图象求方程的解，说明x在什么范围时．【变式练习】1、已知二次函数的图象及轴只有一个公共点，坐标为，求的值．2、如图：求该抛物线的解析式；依据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0．3、二次函数的图象过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，点D在函数图象上，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B、D，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出访一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【提高练习】1、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在第象限．2、及的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为（）A、0B、－1C、2D、3、已知二次函数．求证：不论a为何实数，此函数图象及x轴总有两个交点．4、已知一元二次方程的一根为2．（1）求关于的关系式；（2）求证：抛物线及轴有两个交点；5．阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式：．解：设，则是的二次函数．∵a=1>0，∴抛物线开口向上．又∵当时，，解得．由此得抛物线的大致图象如图所示．视察函数图象可知：当或时，．的解集是：或．（1）视察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．（大致图象画在答题卡上）6、已知关于的函数（为常数）（1）若函数的图象及轴恰有一个交点，求的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在轴上方，求的取值范围．7、已知抛物线．（1）求证此抛物线及轴有两个不同的交点；（2）若是整数，抛物线及轴交于整数点，求的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线及轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且，求点M的坐标．【知识点十：二次函数最值及实际问题】1、假如自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，．2、假如自变量的取值范围是，则，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当时，；若不在此范围内，则须要考虑函数在范围内的增减性，假如在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；假如在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，．3、二次函数应用【典型例题】1、出售某种文具盒，若每个获利元，一天可售出个，则当元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．2、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是23．已知抛物线（>0）的对称轴为直线，且经过点试比较和的大小：_（填“>”，“<”或“=”）4、用6m长的铝合金型材做一个形态如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大最大透光面积是多少5、如图14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长米，下底长米，上下底相距米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为米．（1）用含的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）依据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．假如修建甬道的总费用（万元）及甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5．7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0．02万元，则当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少最少费用是多少万元图14图146、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；假如每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．（1）求及的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元依据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元7、如图1，中，，，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形．设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．（1）求的长；（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和探讨性学习小组的同学作了如下探讨：张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢图1O李明：因为抛物线上的点是表示图1中的长及矩形面积的对应关系，则(12，36)表示当时，的长及矩形面积的对应关系．O赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出，这个问题就可以解决了．请依据上述对话，帮他们解答这个问题． 图2【变式练习】1、某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出及的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大最大利润是多少（3）请画出上述函数的大致图象．2、如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点及点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．（1）请你用含的代数式表示．BCNMA（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，及四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少BCNMA3、凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则削减10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再削减10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去．（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会削减y2间包房租出，请分别写出y1、y2及x之间的函数关系式．（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y及x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由．【提高练习】1、如图所示．某校安排将一块形态为锐角三角形的空地进行生态环境改造．已知△的边长120米，高长80米．学校安排将它分割成△、△、△和矩形四部分(如图)．其中矩形的一边在边上．其余两个顶点H、G分别在边、上．现安排在△上种草，每平方米投资6元；在△、△上都种花，每平方米投资10元；在矩形上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元．(1)当长为多少米时，种草的面积及种花的面积相等(2)当矩形的边为多少米时，△空地改造总投资最小最小值为多少2、某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部是矩形，其中2米，1米；上部是等边三角形，固定点E为的中点．△是由电脑限制其形态变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．（1）当和之间的距离为0．5米时，求此时△的面积；（2）设及之间的距离为米，试将△的面积S（平方米）表示成关于x的函数；EABGNDEABGNDMC3、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发觉，销售量（件）及销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润及销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．2524y2（元）x（月）123456789101112O4、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖状况进行了调查．调查发觉这种水产品的每千克售价（元）及销售月份2524y2（元）x（月）123456789101112O（1）试确定的值；（2）求出这种水产品每千克的利润（元）及销售月份（月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大最大利润是多少5、如图17，某马路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”－－，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是