人教A版高中数学选修同步柯西不等式与排序不等式-导学课件1

二一般形式的柯西不等式1.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当bi=0(i=1,2,3)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.【思考】由二维形式柯西不等式推理出三维形式柯西不等式,属于何种推理方法?提示:类比推理.2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.【思考】在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为ai=kbi(i=1,2,3,…,n),可以吗?提示:不可以.若bi=0而ai≠0,则k不存在.【素养小测】

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况. (

)(2)在应用柯西不等式时,不需要验证等号成立的条件.(

)提示:(1)√.二维形式的柯西不等式是一般形式的特殊情况.(2)×.不满足等号成立的条件时,取不到最值.2.已知a+b+c=1,且a,b,c∈R+,则的最小值为 (

)A.1

B.3

C.6

D.9【解析】选D.因为a+b+c=1,所以

=2(a+b+c)·=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·≥(1+1+1)2=9,当且仅当a=b=c时等号成立.3.设a,b,c,d均为正实数,则(a+b+c+d)·

的最小值为________.

【解析】(a+b+c+d)·=(1+1+1+1)2=42=16,当且仅当a=b=c=d时取等号.答案:16二维形式的柯西不等式是一般形式的特殊情况.所以82=(u2+v2+w2)2=(9+(2x-y-2z)2≤9(x2+y2+z2),将2x-y-2z=6代入,得36≤(1)已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1.设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则≥在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为ai=设a,b,c为正实数,a+b+4c=1,则的因为b1,b2,…,bn为正实数,注意所证不等式的结构特征,寻找柯西不等式的条件,然后证明.【思维·引】将题设不等式化简成与柯西不等式相关的式子进而证明.若不等式x≥(a-b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围.【解析】由a+b+c+d=3,得b+c+d=3-a,所以,当且仅当因为a,b,c为正数,所以[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]·柯西不等式的常见类型及解题策略所以b1+b2+…+bn>0.(2)根据柯西不等式,有因为b1,b2,…,bn为正实数,柯西不等式的常见类型及解题策略因为b1,b2,…,bn为正实数,类型一利用柯西不等式证明不等式【典例】设a1,a2,…,an为实数,b1,b2,…,bn为正实数,求证: .【思维·引】将题设不等式化简成与柯西不等式相关的式子进而证明.【证明】

(b1+b2+…+bn)

=(a1+a2+…+an)2.因为b1,b2,…,bn为正实数,所以b1+b2+…+bn>0.所以 .当且仅当 时,等号成立.【内化·悟】如何证明≥a+b+c?提示:三维形式的柯西不等式≥(a1b1+a2b2+a3b3)2.注意到不等号的方向,向的形式构造.【类题·通】利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数.(2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排各项的次序.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.(4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.【习练·破】已知a,b,c,d为不全相等的正数,求证:【证明】由柯西不等式知:于是 ①等号成立⇔a=b=c=d,由题设a,b,c,d不全相等,于是①中等号不成立,即【加练·固】已知a,b,c,d∈R+,且a+b+c=1,求证:【证明】根据柯西不等式,有

≤(1+1+1)(3a+1+3b+1+3c+1)=18,所以类型二柯西不等式综合应用角度1利用柯西不等式求取值范围【典例】已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试求a的取值范围. 世纪金榜导学号【解析】由a+b+c+d=3,得b+c+d=3-a,由a2+2b2+3c2+6d2=5,得2b2+3c2+6d2=5-a2,(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2.由条件可得,5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2,所以实数a的取值范围是[1,2].【素养·探】利用柯西不等式求取值范围的题型,体现了数学运算、逻辑推理的核心素养.已知a,b,c∈R,a2+b2+c2=1.若不等式x≥(a-b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围.【解析】由柯西不等式得(a-b+c)2≤(a2+b2+c2)=3.当且仅当a=c=-b时取等号.若不等式x≥(a-b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,则x≥3,即实数x的取值范围为[3,+∞).【典例】已知a,b,c均为正数,且a+2b+4c=3.求的最小值. 世纪金榜导学号【思维·引】由已知条件,构造出使用柯西不等式的条件,利用柯西不等式求最小值.【解析】因为a+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.因为a,b,c为正数,所以[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]· ≥(1++2)2.当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2,等式成立.≥,故的最小值为.【类题·通】柯西不等式的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值.依据已知条件,利用柯西不等式求最值,注意等号成立的条件.(2)求解析式的值.利用柯西不等式的条件,注意等号成立的条件,进而求得各个量的值,从而求出解析式的值.(3)证明不等式.注意所证不等式的结构特征,寻找柯西不等式的条件,然后证明.提醒:利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件.【习练·破】1.已知正实数u,v,w满足u2+v2+w2=8,求的最小值.【解析】因为u2+v2+w2=8.所以82=(u2+v2+w2)2=(9+16+25),所以.当且仅当,即,w=2时取到“=”,所以当,w=2时的最小值为.2.设x,y,z∈R,2x-y-2z=6,试求x2+y2+z2的最小值.【解析】考虑向量u=(2,-1,-2),v=(x,y,z),由柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2,得[2x+(-1)y+(-2)z]2≤[22+(-1)2+(-2)2](x2+y2+z2),即(2x-y-2z)2≤9(x2+y2+z2),将2x-y-2z=6代入,得36≤9(x2+y2+z2),即x2+y2+z2≥4,当且仅当,即时等号成立.所以x2+y2+z2的最小值为4.【加练·固】

1.设a,b,c为正实数,a+b+4c=1,则的最大值是 (

)【解析】选B.1=a+b+4c== ,所以,当且仅当 时,取等号.2.(1)已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1.求

的最小值.(2)设2x+3y+5z=29.求函数μ=的最大值.【