第一章-yz方程的推导与分类课件

第一章yz方程的推导与分类第一章yz方程的推导与分类第一章yz方程的推导与分类哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla

拉普拉斯算子微积分知识回顾与梯度算子有关的场论运算

平面上的拉普拉斯算子

常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、二阶线性方程傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、余弦级数机动目录上页下页返回结束☆拉普拉斯方程：

☆热传导方程：

☆波动方程：

三类偏微分方程

两种特殊函数

贝塞尔方程

勒让德方程

琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等

热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动

空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布

的解：贝塞尔函数

的解：勒让德函数

（位势方程的一种）机动目录上页下页返回结束一、典型方程的推导第一章方程的推导与分类三、定解条件与定解问题四、二阶线性偏微分方程的分类和化简

二、偏微分方程的基本概念

机动目录上页下页返回结束常见数学物理方程的导出确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度

根据物理规律建立微分方程

通过合理的数学近似对方程进行化简数学物理方程定解问题的提法泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）定解问题：定解条件（初始条件，边界条件）机动目录上页下页返回结束一、典型方程的推导条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。例1、弦的振动研究对象：线上某点在t时刻沿纵向的位移。机动目录上页下页返回结束弦振动的相关模拟机动目录上页下页返回结束简化假设：(2)横向振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(1)弦柔软，弦上任意一点的张力沿弦的切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：其中：在一平面内机动目录上页下页返回结束其中：………一维波动方程令：------非齐次方程自由项--齐次方程忽略重力作用：机动目录上页下页返回结束例2、热传导所要研究的物理量：温度

根据热学中的傅里叶实验定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S

流入V的热量为

高斯公式（矢量散度的体积分等于热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场该矢量的沿着该体积的面积分）机动目录上页下页返回结束流入的热量导致V内的温度发生变化

流入的热量：→温度发生变化需要的热量为：热传导方程热场如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程机动目录上页下页返回结束从麦克斯韦方程出发：在自由空间：例3、时变电磁场电场强度磁场强度电感应强度磁感应强度机动目录上页下页返回结束对第一方程两边取旋度，根据矢量运算：由此得：得：即：

同理可得：——电场的三维波动方程——磁场的三维波动方程机动目录上页下页返回结束例4、静电场电势u

确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：———拉普拉斯方程

———泊松方程

（位势方程）机动目录上页下页返回结束(有源)(无源)二、偏微分方程的基本概念

定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为偏微分方程。一般形式：其中u为多元未知函数，F是有限个偏导数的已知函数。以及u的注意：在偏微分方程中可以不含未知函数u，但必须含有未知函数u的偏导数。机动目录上页下页返回结束定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，及其系数仅依赖于自变量，就称为线性偏微分方程。例如：（一阶线性）（二阶线性）（一阶非线性）（三阶非线性）机动目录上页下页返回结束波动方程：热传导方程：位势方程：二阶线性偏微分方程的一般形式：其中，当时，称方程为非齐次方程。当时，称方程为齐次方程机动目录上页下页返回结束L是线性偏微分算子，B是线性定解条件算子叠加原理

几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)特别地：(级数收敛且可以逐项所需要的微分)（级数收敛）机动目录上页下页返回结束古典解（经典解）：设是空间的一个区域，如果是在中定义的足够光滑的函数（例如N次连续可微），且将它代入方程能使其在中恒等地成立，则称u是方程在中的一个经典意义下的解，称为古典解。广义解：有时为了研究问题的需要，还可用多种方法扩充解的概念，研究所谓广义解。机动目录上页下页返回结束三、定解条件与定解问题同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。机动目录上页下页返回结束初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件A、波动方程的初始条件初始条件——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度机动目录上页下页返回结束边界条件——描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件(1)已知端点处的位移：（a=0或a=l

)或：第一类边界条件当时，表示弦线的端点固定。（经常采用）(2)已知端点处受到垂直于弦线的外力:(a=0或a=l

)当时，表示端点不受到垂直于弦线的外力———自由端第二类边界条件机动目录上页下页返回结束(3)已知端点处的位移和受到垂直于弦线的外力的一第三类边界条件个线性组合：：（a=0或a=l

)当时，表示端点固定在一个弹簧的支承上———弹性支承端机动目录上页下页返回结束B、热传导方程的边界条件(1)已知温度在边界上的值(S为给定区域v的边界)第一类边界条件当时，表示物体表面恒温。(2)已知物体通过边界的热量是边界的外法向，当时，表示热量流入，当时，表示热第二类边界条件量流出，当时，表示边界绝热。（Dirichlet）（Neumann）机动目录上页下页返回结束(3)热交换状态：牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。第三类边界条件与周围介质有热交换交换系数；周围介质的温度，（Robin）机动目录上页下页返回结束C、拉普拉斯方程的边界条件:与A、B类似。当时，称边界条件为为非齐次的。当时，称边界条件为齐次的。在边界条件表达式中机动目录上页下页返回结束1、定解问题

把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。2、定解问题的适定性

解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；微小变动。定解问题的概念机动目录上页下页返回结束四、二阶线性偏微分方程的分类和化简

两个自变量的二阶线性偏微分方程一般形式：其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。

方程(1.4.1)的二阶导数项称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主部可以得到简化，不同时为零。并且称为方程的判别式。机动目录上页下页返回结束(一)设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内作下面的自变量变换在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换二次连续可微，且雅可比行列式在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(1.4.3)是可逆的，即存在机动目录上页下页返回结束也就是说，方程(1.4.1)可以采用新的自变量ξ,η，具体地用复合函数的求导法则于是得到：机动目录上页下页返回结束注意到第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果我们能选择到方程的两个函数无关的解将变换取为那么方程(1.4.6)的系数机动目录上页下页返回结束方程(1.4.7)的化为因为沿着曲线，有代入（1.4.7)，得到即：事实上，若是（1.4.7）的解，则必定是（1.4.8）的解，反之亦然。机动目录上页下页返回结束称方程(1.4.8)为方程(1.4.1)的特征方程。而其积分曲线为方程(1.4.1)的特征曲线。（为方程的判别式）不难证明：因此在(1.4.3）下，的符号保持不变。显然方程(1.4.8)可以分解为两个方程机动目录上页下页返回结束1）在(x0,y0)的邻域内积分曲线存在实并且线性无关。取变换那么方程(1.4.6)的系数方程(1.4.6)可以化为其中均为的已知函数。机动目录上页下页返回结束在(1.4.9)中再作自变量变换：那么方程(1.4.1)最终可以化为其中均为的已知函数。弦振动方程是(1.4.10)的特例：机动目录上页下页返回结束2）在(x0,y0)的邻域内积分曲线存在实并且线性无关。取变换那么方程(1.4.6)的系数于是方程(1.4.6)可以化为其中均为的已知函数。其中与从而(此时)机动目录上页下页返回结束在(1.4.11)中再作函数变换：那么方程(1.4.1)最终可以化为其中均为的已知函数。热传导方程是(1.4.12)的特例：机动目录上页下页返回结束3）在(x0,y0)的邻域内解，但有共轭复数解方程无实取变换（容易证明此变换可逆）那么方程(1.4.6)的系数方程(1.4.1)可以化为其中均为的已知函数。拉普拉斯方程是(1.4.12)的特例：机动目录上页下页返回结束(二)由前面的讨论可知，方程(1.4.1)通过自变量的可逆变换化为那一种标准形式，决定于它的主部系数若在区域Ω中某一点(x0，y0)满足：则称方程在点(x0，y0)是双曲型的.则称方程在点(x0，y0)是抛物型的.则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的.(如弦振动方程)(如热传导方程)(如拉普拉斯方程)机动目录上页下页返回结束例1：把方程标准形式，其中Ω为不包含原点的区域。

分类并化为解：该方程的的判别式：