名师A计划中考数学总复习第一部分考点知识梳理25四边形课件0204180

2.5

四边形第一页，共49页。命题(mìngtí)解读考纲解读(jiědú)了解多边形的概念;掌握多边形的内角和定理和多边形的外角(wàijiǎo)和定理,能够熟练地求出多边形的内角和或外角(wàijiǎo)和;理解平行四边形的概念;了解四边形的不稳定性,了解并记住四边形的内角和等于360°;理解平行四边形的性质和判定方法,能够熟练地应用平行四边形的性质和判定证明或解决有关的问题;理解矩形、菱形、正方形的概念;理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系;掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定,并能够熟练地应用矩形、菱形、正方形的性质和判定证明或解决有关的问题.第二页，共49页。命题(mìngtí)解读考纲解读(jiědú)第三页，共49页。命题(mìngtí)解读考纲解读(jiědú)第四页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5考点1

多边形的相关结论1.多边形的内角和与外角和定理(1)n边形的内角和等于

(n-2)·180°

.

(2)任意多边形的外角和都等于

360°

.

2.多边形的对角线若n是多边形的边数,则对角线条数是

.

第五页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5典例1

(2016·湖南衡阳)正多边形的一个内角是150°,则这个正多边形的边数为

(

)A.10 B.11 C.12 D.13【解析】一个正多边形的每个内角都相等,根据内角与外角互为邻补角,因而就可以求出外角的度数.根据任何多边形的外角和都是360度,利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数,即多边形的边数.外角是180°-150°=30°,360°÷30°=12,则这个正多边形是正十二边形.【答案】C第六页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5【变式训练】(2016·湖北宜昌)设四边形的内角和等于a,五边形的外角和等于b,则a与b的关系是

(

B)A.a>b B.a=bC.a<b D.b=a+180°【解析】∵四边形的内角和等于a,∴a=(4-2)·180°=360°.∵五边形的外角和等于b,∴b=360°,∴a=b.第七页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5考点2

平行四边形的性质和判定1.平行四边形的定义两组对边

分别平行

的四边形叫做平行四边形.

2.平行四边形的性质(1)平行四边形的两组对边

平行且相等

.

(2)平行四边形的两组对角分别

相等

.

(3)平行四边形的对角线

互相平分

.

(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.第八页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点53.平行四边形的判定(1)两组对边

分别平行

的四边形是平行四边形.

(2)两组对边

分别相等

的四边形是平行四边形.

(3)一组对边

平行且相等

的四边形是平行四边形.

(4)两组对角

分别相等

的四边形是平行四边形.

(5)对角线

互相平分

的四边形是平行四边形.

第九页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,反例:等腰梯形;一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形,举例:如图,在等腰三角形ABC的底边上任取一点D,使BD≠CD,连接AD,沿AD剪下△ACD,并如图倒贴至△DAC'处,则∠B=∠C',AB=C'D,显然四边形ABDC'不是平行四边形.第十页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5典例2

(2016·西宁)如图,在

ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证:AB=CF;(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.【解析】(1)由在

ABCD中,E是BC的中点,利用ASA,即可判定△ABE≌△FCE,继而证得结论;(2)由AD=2AB,AB=CF=CD,可得AD=DF,又由△ABE≌△FCE,可得AE=EF,然后利用等腰三角形三线合一,证得结论.第十一页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DF,∴∠ABE=∠FCE,∵E为BC中点,∴BE=CE,∴△ABE≌△FCE(ASA),∴AB=CF.(2)∵AD=2AB,AB=CF=CD,∴AD=DF,∵△ABE≌△FCE,∴AE=EF,∴DE⊥AF.第十二页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5【变式训练】(2016·浙江舟山)如图1,已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形:第十三页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5(1)如图2,将图1中的点C移动至与点E重合的位置,F,G,H仍是BC,CD,DA的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形;(2)如图3,在边长为1的小正方形组成的5×5网格中,点A,C,B都在格点上,在格点上画出点D,使点C与BC,CD,DA的中点F,G,H组成正方形CFGH;(3)在(2)条件下求出正方形CFGH的边长.【答案】(1)如图①,连接BD,∵C,H是AB,DA的中点,∴CH是△ABD的中位线,∴CH∥FG,CH=FG,∴四边形CFGH是平行四边形.第十四页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5(2)点D的位置如图②所示.第十五页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5考点3

矩形的性质与判定1.矩形的定义有一个角是

直角

的平行四边形叫做矩形.

2.矩形的性质(1)矩形的对边平行且相等.(2)矩形的四个角都是直角.(3)矩形的对角线相等且互相平分.3.矩形的判定(1)有一个角是直角的

平行四边形

是矩形.

(2)有

三个角

是直角的四边形是矩形.

(3)对角线相等的平行四边形是矩形.第十六页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5典例3

(2016·浙江台州)如图,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和G,H.(1)求证:△PHC≌△CFP;(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系.【解析】(1)由矩形的性质得出对边平行,再根据平行线的性质得出相等的角,结合全等三角形的判定定理ASA即可得出△PHC≌△CFP;(2)由矩形的性质得出∠D=∠B=90°,再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形.由矩形的轴对称性知S△ACD=S△ABC,结合(1)知△PHC≌△CFP,△AEP≌△PGA,可得出两矩形面积相等.第十七页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5【答案】(1)∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,AD∥BC.∵PF∥AB,∴PF∥CD,∴∠CPF=∠PCH.∵PH∥AD,∴PH∥BC,∴∠PCF=∠CPH.∴△PHC≌△CFP(ASA).(2)∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=∠B=90°.又∵EF∥AB∥CD,GH∥AD∥BC,∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形.S矩形PEDH=S矩形PFBG.第十八页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5考点4

菱形的性质与判定1.菱形的定义

有一组邻边相等

的平行四边形叫做菱形.

2.菱形的性质(1)菱形的四条边都相等.(2)菱形的对角相等.(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形的判定(1)有

一组邻边相等

的平行四边形是菱形.

(2)四条边

都相等

的四边形是菱形.

(3)对角线

互相垂直

的平行四边形是菱形.

4.菱形面积的特殊求法菱形面积等于对角线乘积的一半.第十九页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形;顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形;顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形.第二十页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5典例4

(2016·福建三明)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB的中点,BF∥CE交DE的延长线于点F.(1)求证:四边形ECBF是平行四边形;(2)当∠A=30°时,求证:四边形ECBF是菱形.【解析】(1)利用平行四边形的判定证明即可;(2)利用菱形的判定证明即可.第二十一页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5【答案】(1)∵D,E分别为边AC,AB的中点,∴DE∥BC,即EF∥BC.又∵BF∥CE,∴四边形ECBF是平行四边形.(2)∵∠ACB=90°,∠A=30°,E为AB的中点,∴CB=CE.又由(1)知,四边形ECBF是平行四边形,∴四边形ECBF是菱形.第二十二页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5【变式训练】(2016·沈阳)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:(1)∠CEB=∠CBE;(2)四边形BCED是菱形.【答案】(1)∵△ABC≌△ABD,∴∠ABC=∠ABD,∵CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,∴∠CEB=∠CBE.(2)∵△ABC≌△ABD,∴BC=BD,∵∠CEB=∠CBE,∴CE=CB,∴CE=BD.∵CE∥BD,∴四边形BCED是平行四边形,∵BC=BD,∴四边形BCED是菱形.第二十三页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5考点5

正方形的性质与判定1.正方形的定义有一组

邻边相等

并且

有一个角是直角

的平行四边形叫做正方形.

2.正方形的性质(1)正方形的四条边都相等.(2)正方形的四个角都是直角.(3)正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.3.正方形的判定(1)有一个角是直角的

菱形

是正方形.

(2)有一组邻边相等的

矩形

是正方形.

判定正方形的总的思路就是要证明“既是菱形又是矩形”.第二十四页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5典例5

(2016·山东济宁)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.(1)已知EO=,求正方形ABCD的边长;(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.【解析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可用正方形的边长表示AC,再证得EO是△AFC的中位线,从而得到EO与BC的数量关系后可求BC;(2)根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF,进一步得出∠BAF=∠BCN,然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN,进而证得△ABF∽△COM,根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN=CM.结合(1)得到EM与CM的关系,可得EM与CN的数量关系.第二十五页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5【答案】(1)∵四边形ABCD是正方形,第二十六页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5第二十七页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5第二十八页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5【变式训练】△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.(1)观察猜想如图1,当点D在线段BC上时,①BC与CF的位置关系为

;

②BC,CD,CF之间的数量关系为

.(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸

第二十九页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5【答案】(1)①正方形ADEF中,AD=AF,∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,∴△DAB≌△FAC(SAS),∴∠ABD=∠ACF,∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF.故答案为:垂直.②由①可知△DAB≌△FAC,∴BD=CF,∵BC=BD+CD,∴BC=CF+CD.故答案为:BC=CD+CF.第三十页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5(2)CF⊥BC成立,BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.在正方形ADEF中,AD=AF,∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,∴△DAB≌△FAC(SAS),∴∠ABD=∠ACF,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°.∴∠ABD=180°-45°=135°,∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°,∴CF⊥BC.∵CD=DB+BC,DB=CF,∴CD=CF+BC.第三十一页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5(3)如图,过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EM⊥BD于点M,EN⊥CF于点N,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴DH=3,由(2)证得BC⊥CF,∵四边形ADEF是正方形,∴AD=DE,∠ADE=90°,∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,∴四边形CMEN是矩形,∴NE=CM,EM=CN,第三十二页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描考点(kǎodiǎn)1考点2考点3考点4考点5∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,∴∠ADH=∠DEM,∴△ADH≌△DEM(AAS),∴EM=DH=3,DM=AH=2,∴CN=EM=3,EN=CM=3,∵∠ABC=45°,∴∠BGC=45°,∴△BCG是等腰直角三角形,∴CG=BC=4,∴GN=1,第三十三页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描1.矩形、菱形的综合典例1如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且BE∥AC,CE∥BD.(1)求证:四边形OBEC是矩形;【解析】(1)利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质得出∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°,进而求出即可;(2)利用菱形的性质结合勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)得出CO,BO的长,进而求出四边形OBEC的面积.【答案】(1)∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴AC⊥BD,∵BE∥AC,CE∥BD,∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°,∴四边形OBEC是矩形.第三十四页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描第三十五页，共49页。备课(bèikè)资料考点(kǎodiǎn)扫描2.四边形中的折叠问题典例2如图,菱形ABCD中,E是AD的中点(zhōnɡdiǎn),将△CDE沿CE折叠后,点A和点D恰好重合,若菱形ABCD的面积为4,则菱形ABCD的周长是()【答案】A第三十六页，共49页。命题(mìngtí)点2命题(mìngtí)点1命题(mìngtí)点3命题点4命题点5命题点1

平行四边形的性质及判定(常考)1.(2014·安徽第14题)如图,在

ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是

①②④

.(把所有正确结论的序号都填在横线上)

第三十七页，共49页。命题(mìngtí)点2命题(mìngtí)点1命题(mìngtí)点3命题点4命题点5【解析】本题考查平行四边形的性质,等腰三角形的判定,三角形的中位线等几何知识.∵

ABCD中AD∥BC,∴∠1=∠3,∵F是AD的中点,且AD=2AB,∴DF=DC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,即∠DCF=第三十八页，共49页。命题(mìngtí)点2命题(mìngtí)点1命题(mìngtí)点3命题点4命题点52.(2013·安徽第13题)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2.若S=2,则S1+S2=

8

.

【解析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理及三角形相似的有关性质.因为E,F分别为PB,PC的中点,所以EF∥BC,且EF=由相似三角形性质可得，S△PBC=4S△PEF=8，又因为S△PBC=，所以S1+S2=，所以S1+S2=8.第三十九页，共49页。命题(mìngtí)点2命题(mìngtí)点1命题(mìngtí)点3命题点4命题点5命题点2

多边形的性质(冷考)3.(2012·安徽第7题)为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域.设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为

(

A)A.2a2 B.3a2C.4a2 D.5a2【解析】本题考查面积的计算以及割补思想求面积.图案中间的阴影部分是正方形,面积是a2,四周的每一个阴影部分的面积为,其和为a2,故阴影部分总面积为2a2.第四十页，共49页。命题(mìngtí)点2命题(mìngtí)点1命题(mìngtí)点3命题点4命题点5命题点3

矩形的性质及判定(常考)4.(2016·安徽第14题)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论:①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=S△FGH;④AG+DF=FG.其中正确的是

①③④

.(把所有正确结论的序号都选上)

第四十一页，共49页。命题(mìngtí)点2命题(mìngtí)点1命题(mìngtí)点3命题点4命题点5【解析】本题考查相似三角形、折叠、矩形的性质、相似三角形的判定方法、勾股定理等知识.∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，∴AF==8，∴DF=AD－AF=10－8=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD－CE=6－x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，∴(6－x)2+22=x2，解得x=∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，∴∠2+∠3=∴①正确；HF=BF－BH=10－6=4，设AG=y，则GH=y，GF=8－y，在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，∴y2+42=(8－y)2，解得y=3，∴AG=GH=3，GF=5，∵∠A=∠D，∴△ABG与△DEF不相似，∴②错误；∵S△ABG=×6×3=9，S△FGH=∴S△ABG=S△FGH,∴③正确;∵AG+DF=3+2=5,而GF=5,∴AG+DF=GF,∴④正确.第四十二页，共49页。命题(mìngtí)点2命题(mìngtí)点1命题(mìngtí)点3命题点4命题点5命题点4

菱形的性质及判定(高频)5.(2015·安徽第9题)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是

(

C)第四十三页，共49页。命题(mìngtí)点2命题(mìngtí)点1命题(mìngtí)点3命题点4命题点5【解析】本题考查菱形的性质、矩形的性质、勾股定理以及锐角三角函数.连接EF交AC于点M,由四边形EGFH为菱形可得FM=EM,EF⊥AC.利用“AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA,根据全等三角形的性质可得AM=MC.在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC=4在Rt△AME中，