电磁场与电磁波 第3章 恒定电流的电场和磁场

第3章恒定电流的电场和磁场

恒定电流的电场磁感应强度恒定磁场的根本方程矢量磁位磁偶极子磁介质中的场方程

恒定磁场的边界条件

标量磁位

互感和自感

磁场能量

磁场力

本章小结

内容提要

1.电流强度

导体内的自由电子在电场的作用下，会沿着与电场相反的方向运动，形成电流。用电流强度来描述一根导线上电流的强弱，单位时间内通过某导线横截面的电量，即：

2.电流密度电流强度只能描述一根导线上总电流的强弱，而不(3-1)恒定电流的电场

电流密度(3-2)

电流密度是一个矢量，它的方向与导体中某点的正电荷运动方向相同，大小等于与正电荷运动方向相垂直的单位面积上的电流强度，单位是安培/米2(A/m2)。导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场。我们称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。可以从电流密度

求出流过任意面积S的电流能描述导体截面某点的电流情况，故引入电流密度的概念。如图3-1所示的一段导体，设通过S的电流为I，则该点处的电流密度

定义为：恒定电流的电场(3-3)图3-1电流密度强度。一般情况下，电流密度

和面积元

的方向并不相同。此时通过面积S的电流就等于电流密度

在S上的通量，即：

恒定电流的电场有时，电流仅分布在导体外表的一个薄层内，因此引入面电流密度。任一点面电流密度的大小等于通过垂直于电流方向的单位长度上的电流，方向为该点正电荷运动的方向。如图3-2所示，设通过l的电流为I，n为正电荷运动方向，那么面电流密度为：

电流分为传导电流和运流电流。前者是由导体中的自由电子或半导体中的自由电荷在电场作用下定向运动形成，后者是指带电粒子在真空中或气体中运动时形成。(3-4)恒定电流的电场图3-2面电流密度(3-5)

当体密度为的带电粒子以速度

运动时，运流电流密度为：恒定电流的电场

1.电荷守恒定律

在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内正、负电荷量的代数和总是保持不变。它是物理学中的基本定律之一。

2.电荷守恒定律的表达式在体电流密度为

的空间内，任取一个封闭的曲面S，根据定律，通过S面流出的电流应该等于以S为边界的体积V内单位时间内电荷的减少量，即：(3-6)恒定电流的电场

电荷守恒定律(3-7)

式(3-7)是电荷守恒定律的数学表达式，也称为电流连续性方程的积分形式。

式中是体电荷密度。因积分限与时间无关，故可将微分移到积分号内，通常

又是空间点

和时间t的函数，故写成偏微分的形式，即：对式(3-7)应用散度定理，有：(3-8)恒定电流的电场

要使这个积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即：(3-9)式(3-9)也称为电流连续性方程的微分形式。

在恒定电流的情况下，导电媒质内任意点的电荷分布不随时间变化，即：那么恒定电流场电流连续性方程的积分和微分形式分别(3-10)恒定电流的电场

1.欧姆定律的微分形式对于各向同性、线性导体，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即：(3-11)为：(3-12)式(3-11)叫做欧姆定律的微分形式，是电导率。恒定电流的电场

欧姆定律

2.欧姆定律的积分形式对一段导体而言，导体中的电流I，与这段导体两端的电压U成正比，与这断导体的电阻R成反比，即：(3-13)

式(3-13)叫做欧姆定律的积分形式，它描述了一段导线上的导电规律，而微分形式的欧姆定律描述的是导体内任意点的

与

的关系，它比积分形式更能细致地描述导体的导电规律。注意，运流电流不遵从欧姆定律。恒定电流的电场

焦耳定律

1.焦耳热

当金属导体内部的自由电子在电场作用下定向运动形成电流时，自由电子在运动过程中不断与金属晶格点阵上的质子碰撞，把自身的能量传递给质子，使晶格点阵的热运动加剧，导体温度上升，形成电流的热效应，这种由电能转换来的热能就称为焦耳热。2.焦耳定律当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，那么在单位时间内电场力对电荷所作的功，即功率是：(3-14)恒定电流的电场

在导体中，沿电流线方向取一长度为l、截面为S的体积元，根据式(3-14)，该体积元内消耗的功率为：

当V→0时，取P/V的极限，就得出导体内任一点的热功率密度为：或

(3-15)(3-16)式(3-16)就是焦耳定律的微分形式。很显然，有：恒定电流的电场(3-17)

应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。将电源外部导体中恒定电场的根本方程归纳如下：(3-18)(3-19)1.积分形式恒定电流的电场恒定电流场的根本方程2.微分形式(3-21)(3-20)(3-22)电流密度

与电场强度

之间满足欧姆定律

。由于恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位

,使得

。在均匀导体内部(电导率为常数)，根据式(3-18)和

有：

即恒定电流场中的电位满足拉普拉斯方程。恒定电流的电场1.边界条件的法向和切向表达式类似于静电场的边界条件推导方法，将恒定电流场根本方程的积分形式(3-18)、(3-19)应用到不同导体的界面上，如图3-4示，可得到恒定电流场的边界条件为：或(3-23)(3-24)(3-25)(3-26)恒定电流的电场

恒定电流场的边界条件图3-4边界条件恒定电流的电场式(3-25)、(3-26)说明，电流密度J在通过界面时其法向分量连续，而电场强度E的切向分量连续。2.边界条件的电位表达式在恒定电流电场中，用电位表示的法向和切向边界条件分别为：或(3-27)(3-28)恒定电流的电场

式中Jn=J1n=J2n,当

时，分界面上的面电荷密度为零。

由于在恒定电流导体内电荷密度为零，电荷只能分布在分界面上，且其面密度为：由于3.恒定电流场条件下分界面场的角度关系恒定电流的电场可以看出，当1>>2，即第一种媒质为良导体时，第二种媒质为不良导体时，只要1≠/2,2≈0，即在不良导体中，电力线近似地与界面垂直。这样，可以将良导体的外表看作等位面。应用边界条件，可得：(3-29)例3-1

设同轴线的内导体半径为a,外导体的内半径为b，内、外导体间填充电导率为的导电媒质，如图3-5所示，求同轴线单位长度的漏电电导。恒定电流的电场图3-5同轴线横截面恒定电流的电场解：由题知，媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设沿轴向方向单位长度(L=1)从内导体流向外导体的电流为I，那么根据式(3-1)(P52)和(3-11)(P53)得在媒质内(a<r<b)的电流密度和电场强度分别为：那么两导体间的电位差为：恒定电流的电场从而可求得单位长度的漏电导为：例3-2一个同心球电容器的内、外半径为a、b，其间媒质的导电率为，求该电容器的漏电电导。解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，那么根据式(3-1)(P52)和(3-11)(P53)媒质内任一点的电流密度和电场强度分别为：恒定电流的电场那么内、外导体间的电压为：漏电电导为：也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏电电阻R，从而得到漏电电导，即：恒定电流的电场恒定电流的电场表3-2恒定电场与静电场的比较恒定电流的电场恒定电流场与静电场的比较

从表3-2，我们可以得到以下几点：

1)恒定电场中的

、、

、I、分别与静电场中的

、、

、q、相对应，它们是对偶量；

2)二者的电位满足拉普拉斯方程，只要两种情况下的边界条件相同，二者的电位必定是相同的。因此，当某一特定的静电问题的解已知时，与其相应的恒定电场的解可以通过对偶量的代换直接得出，如将静电场的

q、、换为

I、、。

3)恒定电场中的电导G和静电场中的电容C也是对偶量。如图3-6所示，将金属导体1、2作为正、负极板置于无限大电介质或导电媒质中，可对偶法从电容得到极板间的电导。恒定电流的电场图3-6两极板间的电场恒定电流的电场

如线距为d，线半径为a的平行双线，周围媒质的介电常数为，电导率为，可从其电容计算公式直接写出其电导的计算公式。恒定电流的电场例3-3

计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻(如图3-7所示)。设土壤的电导率为0。图3-7例3-3用图恒定电流的电场解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将导体球看作等位体。用静电比较法，位于电介质中的半径为a的导体球的电容为：所以导体球的接地电导为：接地电阻为：恒定电流的电场整个回路C2受到整个回路C1的作用力为：(3-30)(3-31)如图3-8所示，在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元对另一载有电流I2的回路C2上任一线元的作用力为：磁感应强度

安培定律图3-8安培定律磁感应强度(3-32)用场的观点，力

应理解为第一个回路C1在空间产生磁场，第二个回路C2在这个磁场中受力，故式(3-31)可改写为：

式中

和

称为电流元矢量，

是

到

的距离矢量，

，0是真空的磁导率。磁感应强度

毕奥—萨伐尔定律

式(3-33)叫做毕奥—萨伐尔定律，它给出了回路C1在观察点产生的磁感应强度。(3-34)令(3-33)

若电流不是线电流，而是具有体分布的电流

，则应把式(3-33)改写为：磁感应强度(3-36)(3-35)对于面电流

而言，它产生的磁场为：

式(3-36)可用来计算各种形状的载流回路在外磁场中受到的力和力矩。对以速度

运动的点电荷q，其在外磁场

中受到的力为：

从式(3-32)可以得出电流元

在外磁场

中受到的力为：磁感应强度式(3-38)称为洛仑兹力公式。(3-38)(3-37)

如果空间还存在外电场

，电荷q受到的力还要加上电场力。这样，就得到带电q以速度

运动的点电荷在外电磁场(，)中受到的电磁力为:例3-4

求载流I的有限长l直导线(见图3-9)外任一点的磁场。磁感应强度图3-9例3-4用图r(,0,z)R磁感应强度解：取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标系中计算。将式(3-33)改写为：从对称关系能够看出磁场与坐标的大小无关。不失一般性，将场点取在=0，即场点坐标为(,0,z)，源点坐标为(0，0，z)，从而可得到：磁感应强度所以磁感应强度式中：

对于无限长直导线(l→∞)，1=/2,2=-/2，其产生的磁场为：磁感应强度

磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用表示，即：如果S是一个闭曲面，那么：1.恒定磁场的磁通量(3-39)(3-40)恒定磁场的根本方程

磁通连续性原理上式中，故可将上式改写为：

2.磁通连续性原理以载流回路C产生的磁感应强度

为例，来计算

在一个闭曲面上的磁通量。代入式(3-29)到式(3-33)并由矢量恒等式(A1.1)(P298)有：恒定磁场的根本方程再由矢量恒定式(A1.14)(P298)那么有：恒定磁场的根本方程而由矢量恒等式(1-34)(P12)，即有：

所以有：(3-41)

式(3-41)表明，磁感应强度

穿过任意闭曲面的磁通量为零，这一性质就叫做磁通连续性原理，也称为磁场的高斯定理。它说明磁力线无头无尾，恒是闭合的。恒定磁场的根本方程对(3-41)式使用散度定理，可得到：由于式中积分区域V是任意的，所以对空间的各点，有：(3-42)

式(3-42)也称为磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度

是一个无源(散度源)场。把式(3-41)称为磁通连续性原理的积分形式。恒定磁场的根本方程图3-10环路定律

如图3-10所示，设载有电流I的回路C产生的磁场为

，考查任意一条闭曲线C上

的环量。设P为C上的一点，由矢量恒定式(A1.1)(P298)则

与线元的点积为：PIICPPCCII恒定磁场的根本方程

安培环路定律

假设回路C对P点的立体角为，同时P点位移引起的立体角增量为d，那么P点固定而回路C位移-所引起的立体角增量也为d。是位移

所形成的有向面积。注意到

，这个立体角为。把其对回路C积分，就得到P点对恒定磁场的根本方程当载流回路C和积分回路C不交链时，有：当载流回路C和积分回路C相交链时，有：回路C移动时所扫过的面积张的立体角为，则以上的磁场环量可以表示为：恒定磁场的根本方程这样当积分回路C和电流I(载流回路C)相交链时，可得：(3-43)

当穿过积分回路C的电流是几个电流时，可以将式(3-43)改写为一般形式：(3-44)

式(3-44)就是安培环路定律的数学表达式，也称为安培环路定律的积分形式。它表明在真空中，磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以与该回路恒定磁场的根本方程交链的电流的代数和。电流的正负由积分回路绕行方向与电流方向是否符合右手螺旋关系来确定，符合那么取正，反之，那么取负。根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定律的微分形式。由于因而式(3-44)可以改写为：恒定磁场的根本方程因积分区域S是任意的，因而有：

式(3-45)就是安培环路定律的微分形式,它说明磁场的涡旋源是电流。我们可用此式从磁场求电流分布。对于对称分布的电流，我们可以用安培环路定律的积分形式，从电流求出磁场。

(3-45)恒定磁场的根本方程例3-5

半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。解:在圆柱坐标系中计算，取导体中轴线与z轴重合。由对称性可知，磁场与z和大小无关，只是r的函数，且只有分量，即磁感应线是圆心在导体中轴线上的圆。沿磁感应线取半径为r的积分回路C，根据安培环路定律的积分形式有：

在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，即：r≤a恒定磁场的根本方程

当r>a时，积分回路包围的电流为I；当r≤a时，包围电流为Ir2/a2。当r≤a时，有：当r>a时，有：写成矢量形式为：r≤ar>a

恒定磁场的根本方程(3-46)

称式(3-46)中的

为矢量磁位(简称磁矢位)，其单位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量。式(3-46)仅仅规定了磁矢位

的旋度，而的散度可以任意假定。因为若

，另一矢量

，其中是一个任意标量函数，则：由于磁感应强度的散度为零，根据矢量恒等式(1-33)(P12)，一个无散度源的场

总可以表示为另一个矢量场的旋度，即可以令

矢量磁位

矢量磁位(3-47)把式(3-47)称为库仑标准。将式(3-46)代入安培环路定律的微分形式(3-38)(P65)有：即

和

的旋度都为

，但它们却具有不同的散度。由于具有不同散度的磁矢位

和

的旋度都为

，在恒定磁场中，选取磁矢位的散度为零，即：矢量磁位

库仑标准及磁矢位的解(3-48)(3-49)并代入库仑规范，有：使用矢量恒等式(1-35)(P12)

，

式(3-48)是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对于无源区(

)来说，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即：

在直角坐标系中，式(3-49)可以写为：矢量磁位

将这三个方程与静电场中电位的泊松方程(2-23)(P27)比照，可以得到磁矢位的解：式(3-48)在直角坐标系中的三个分量形式为：将其写成矢量形式为：(3-50)矢量磁位

(3-51)若磁场由面电流

产生，其磁矢位为：

同理，线电流产生的磁矢位计算公式为：(3-52)根据前面的分析，磁场和磁通的计算都可以通过求解磁矢位来进行，即：矢量磁位

磁矢位的重要意义(3-53)例3-6

求长度为l的载流直导线的磁矢位。解

:取如图3-11所示的坐标系，由于I

沿z方向流动，故只有z向分量，场点坐标是(r,,z),根据线电流的磁矢位计算公式(3-44)(P67)有：矢量磁位

图3-11直导线磁矢位O矢量磁位

当l

z时，有：上式中，假设lr，那么有：矢量磁位

当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出：从上式用圆柱坐标系的旋度公式(A1.23)(P299)，可求出：例3–7

用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。

矢量磁位

解：由题知，在导线内，电流均匀分布，而导线外电流为零，故电流密度的分布满足：

r≤a

从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即：ra设在导线内磁位是A1,导线外磁位是A2，那么由式(3-41)可得：矢量磁位

r>a时，满足：r<a时，满足：解之得：矢量磁位

其中C1，C2，C3，C4是待定常数。由r=0处磁矢位不应为无穷大，可定出C1=0。将磁矢位代入柱坐标系旋度公式(A1.23)(P299)，可得到：

再把求得的磁矢位分别代入上式可以求出导线内、外的磁场分别为：

根据分界面上沿圆周方向的磁场强度切向分量连续(H1t=H2t)，可定出C3为：矢量磁位

导体外部的磁感应强度为：矢量磁位

考虑一个载流I、半径为a的圆形平面在远区产生的场。如图3-12所示，取载流回路位于xoy平面，中心在原点，z轴正向与回路的法线方向一致。由电流分布的对称性，磁场具有轴对称性。因而可将场点选取在xoz平面(=0平面)，它们与=0平面成的角分别为+和-，则它们在场点的矢量磁位dA相加后得到的A只有A分量，且是r和的函数，与的大小无关，此时A与直角坐标的Ay分量一致，它是电流元矢量

的y分量Iadcos所产生的磁矢位分量总和，即：(3-54)磁偶极子

载流圆形平面回路的磁场分析图3-12小平面载流回路的磁场Oa-+eedAA=eyAIP磁偶极子如果r>>a，那么式中磁偶极子

从图3-12可得到：所以把上式代入式(3-54)，积分后得到：(3-55)磁偶极子式中，m=Ia2，是圆形回路磁矩的模值。

1.磁矩

将一个载流回路中的电流大小与该载流回路所形成的有向面积的乘积定义为磁矩，即：(3-56)

可见，一个载流回路的磁矩是一个矢量，其方向与环路的法线方向一致，大小等于电流乘以回路面积。但这一定义并不局限于平面回路，可以是三维空间的任意闭曲线为周界的任意曲面。磁偶极子

磁矩和磁偶极子2.磁偶极子有了磁矩的概念，我们可以把式(3-55)改写为：(3-57)把式(3-55)在球坐标系中求旋度(A1.27)(P299)，得到磁场

为：磁偶极子(3-58)

式(3-58)的磁场表达式与电偶极子的电场强度表达式(2-39)(P30)相似，故将载有恒定电流的小回路称为磁偶极子，其定义如图3-13(a)所示。磁偶极子

注意：磁偶极子的电流回路形状不同时，只要面积S对场点所张的立体角相同，则在同一点的

是相同的，即

的分量仅与载流回路的面积有关，而与其具体形状无关。或者说对于任一载流回路，只要其磁矩

给定，远区的磁场表达式都相同。更一般的情况，位于点

的磁矩为

的磁偶极子，在点

处产生的磁矢位为：(3-59)ISmS图3-13(a)磁偶极子的定义磁偶极子图3-13(b)磁偶极子的场图磁偶极子

1.分子电流和分子磁矩

当空间存在磁介质时，磁介质在磁场的作用下要产生磁化，正如极化的电介质要产生电场一样，磁化的磁介质也要产生磁场。物质分子内所有电子对外部所产生的磁效应总和可以用一个等效回路电流来表示，把这个等效回路电流称为分子电流。分子电流形成的磁矩叫做分子磁矩。2.磁化和磁化强度磁介质中的场方程

磁化强度在外磁场的作用下，电子的运动状态发生变化，这种现象称为物质的磁化。能被引起磁化的物质叫做磁介质。把磁介质内单位体积内的分子磁矩定义为磁化强度，即：(3-60)

式中

是分子磁矩，求和对体积元V内的所有分子进行。磁化强度

的单位是A/m(安培/米)。如在磁化介质中的体积元V内，每一个分子磁矩的大小和方向全相同(都为

)，单位体积内分子数是N，则磁化强度为：(3-61)磁介质中的场方程磁介质被外磁场磁化后，可以看成是真空中的一系列磁偶极子，磁介质产生的附加磁场实际上就是这些磁偶子在真空中产生的磁场。磁化后的磁介质中的分子磁矩的有序排列，一方面在介质内部要产生某个方向的净电流，另一方面在介质的外表也要产生宏观面电流，把这两种电流就称为磁化电流。

下面来求磁化电流。如图3-13所示，设P为磁化介质外部的一点，磁化介质内部

处体积元V内的磁偶极矩为

V，它在

处产生的磁矢位为：磁介质中的场方程

磁化电流(束缚电流)全部磁介质在

处产生的磁矢位为：根据矢量恒等式(A1.5)(P298)可以将上式改写为：磁介质中的场方程图3-13磁化介质的场OnSr磁介质中的场方程再用恒等式(A1.14)(P298)可将磁矢位的表示式变形为：(3-62)

式(3-62)中，

是磁介质表面的单位外法向矢量。且式中第一项与体分布电流产生的磁矢位表达式(3-42)(P67)相同，第二项与面分布电流产生的磁矢位表达式(3-43)(P67)相同，因此，磁介质所产生的磁矢位可以看作等效体电流和面电流在真空中共同产生的。磁介质中的场方程(3-63)(3-64)等效的体电流和面电流密度分别为：

是磁化介质表面的单位外法向矢量。例3-7

半径为a、高为L的磁化介质柱(如图3-15所示)，磁化强度为

(

为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流

和磁化面电流

。解:取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时有：磁介质中的场方程图3–15例3-7用图xOy磁介质中的场方程由式(3-63)得磁化体电流为：在界面z=0上，

，其磁化面电流为：在界面z=L上，

，其磁化面电流为：

磁介质中的场方程代入磁化电流的公式并应用斯托克斯定理，上式变为：

在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流

。磁化电流

和外加的电流

都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：磁介质中的场方程

磁场强度在界面r=a上，，其磁化面电流为：

磁介质中的场方程即：令(3-65)把

称为磁场强度，单位是A/m(安培/米)。于是有：

(3-66)把式(3-66)称为磁介质中的安培环路定律的积分形式。磁介质中的场方程应用斯托克斯定理可得到安培环路定律的微分形式：(3-67)

把

和

之间的关系称为本构关系，它表示磁介质的磁化特性。在知道

的情况下，可以通过本构关系求得。由式(3-65)可得到

和

之间的关系为：

磁导率(3-68)实际中，使用

与

间的关系来表征磁介质的特性，磁介质中的场方程(3-69)并按

与

间的不同关系将磁介质分为各向同性与各向异性、线性与非线性、均匀与非均匀等类别。对于线性、各向同性、均匀的磁介质，

与

间的关系为：

m是一个无量纲常数，称为磁化率。非线性磁介质的磁化率与磁场强度有关，非均匀介质的磁化率是空间位置的函数，各向异性介质的

和

的方向不在同一方向上。把式(3-69)代入式(3-68)，可得到：(3-70)磁介质中的场方程

式中，r=1+m是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；=0r是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。

铁磁材料的

和

的关系是非线性的，并且

不是

的单值函数，会出现磁滞现象，其磁化率m的变化范围很大，可以达到106量级。磁介质中恒定磁场的根本方程由前面的分析得到磁介质中描述磁场的根本方程为：1.微分形式磁介质中的场方程2.积分形式(3-71)(3-72)(3-73)(3-74)(3-75)3.磁矢位微分方程(3-76)磁介质中的场方程例3-8

同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图3-16所示。设内、外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为，求各区域的、、。解：对良导体(不包括铁等磁性物质)一般视为真空，取其磁导率为0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有分量，且其大小只是r的函数。分别在各区域使用介质中安培环路定律的积分形式求出各区的磁场强度

，然后由求出和。当r≤a时，电流I在导体内均匀分布，设流向+z方向，由安培环路定律的积分形式(3-64)得：磁介质中的场方程考虑这一区域的磁导率为0，可得：

当a<rb时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，由安培环路定律的积分形式可得：图3-16同轴线示意图磁介质中的场方程磁介质中的场方程

当b<rc时，考虑外导体电流均匀分布，可得出与积分回路交链的电流为：那么由安培环路定律的积分形式可得：磁介质中的场方程

当r>c时，交链的电流的代数和为零，故这一区域的

、

、

均为零。

1.B的法向边界条件在分界面上作一圆柱状小闭合面，柱的顶面和底面分别在分界面的两侧，且都与分界面平行，如图3-17所示，设底面和顶面的面积均为S。将积分形式的磁通连续性原理(3-34)(P57)应用到此闭合面上，并令圆在不同磁介质的分界面上，

和

在经过界面时会发生突变，这种场矢量在不同磁介质的界面上的变化规律叫做边界条件。恒定磁场的边界条件

磁场的边界条件

法向边界条件和切向边界条件柱体的高度h趋于零，那么有：写成标量形式为：即：(3-77)(3-78)式(3-77)或(3-78)说明，磁感应强度的法向分量在两种磁介质的分界面上是连续的。恒定磁场的边界条件图3-17Bn的边界条件Sh恒定磁场的边界条件

2.H的切向边界条件如图3-18所示，在分界面上作一小矩形回路，回路的两边分别位于分界面两侧，

表示界面上l中点处的法向单位矢量，

表示该点的切向单位矢量，

为垂直于

、的单位矢量，将介质中积分形式的安培环路定律(3-64)(P66)应用到此闭合曲线上，并令h趋于零，那么有：恒定磁场的边界条件图3-18Ht的边界条件恒定磁场的边界条件界面上的电流看成面电流，那么有：于是有：使用矢量恒等式(A1.1)(P298)

考虑到

，得：

恒定磁场的边界条件由此可得到：式(3-79)说明，在两种磁介质边界面上，磁场强度的切向分量是不连续的。(3-79)可得到：(3-80)如果无面电流(

)，这一边界条件变成为：恒定磁场的边界条件(3-81)式(3-81)说明，在磁介质分界面上无面电流时，磁场强度的切向分量也是连续的。3.磁场穿过分界面时的方向关系用下标t表示切向分量，上式写成标量形式为：

磁力线在穿过两种介质的分界面时，通常要改变方向。假设磁场

与法向

的夹角为2，

与

的夹角为1(如图3-17所示)，则式(3-81)和式(3-77)可写成：恒定磁场的边界条件两式相除，并代入B2=2H2,B1=1H1，得：这说明，磁力线在分界面上通常要改变方向。假设介质1为铁磁材料，介质2为空气，此时2«1，因而2«1，由式(3-77)得B2«B1。(3-82)恒定磁场的边界条件把m称为磁场的标量位函数(简称为标量磁位或磁标位)，单位为A(安培)。上式中的负号是为了与静电位对应而人为参加的。在均匀磁介质中，有：(3-83)

根据磁介质中恒定磁场的基本方程式(3-60)(P73)可知，在无自由电流(

)的区域里，磁场强度

也是无旋的。此时，磁场强度可以表示为一个标量函数的负梯度，即：标量磁位

将式(3-83)代入到上式中，可得到磁标位满足拉普拉斯方程，即：

所以用微分方程求磁标位时，也同静电位一样，是求拉普拉斯方程的解。磁场的边界条件用磁标位表示时，为：(3-84)(3-85)(3-86)标量磁位磁标位在求解永磁体的磁场问题时比较方便(因其内无自由电流)。永磁体的磁导率远大于空气的磁导率，因而永磁体外表是一个等位(磁标位)面，这时可以用静电比较法来计算永磁体的磁场。式中，m是等效磁荷体密度，且：(3-87)(3-88)

对非均匀介质，在无源区(

)，引入磁荷的概念后，磁标位满足泊松方程，即：标量磁位由前面知道，在线性磁介质中，任一回路在空间产生的磁场与回路电流成正比，因而穿过任意的固定回路的磁通量也与电流成正比。如果回路由细导线绕成N匝，那么总磁通量是各匝的磁通之和，称总磁通为磁链，用表示。对于密绕线圈，可以近似认为各匝的磁通相等，从而有=N。

一个回路的自感定义为回路的磁链与回路电流之比，用L表示，即：(3-89)自感和互感

自感自感的单位是H(亨利)。自感的大小决定于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率。

如图3-19所示，用12表示载流回路C1的磁场在回路C2上产生的磁链，显然12与电流I1成正比，把这一比值称为互感，即：(3-90)

互感的单位与自感相同。同样，我们可以用载流回路C2的磁场在回路C1上产生的磁链21与电流自感和互感

互感(3-91)I2的比来定义互感M21，即：

互感的大小也取决于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率和回路的匝数。设两个回路都只有一匝。当回路C1载有电流I1时，它在C2上的磁链为：自感和互感

互感的计算图3-19互感O自感和互感因而得到：(3-92)(3-93)式中，

为电流I1在C2上的磁矢位，由式(3-44)(P60)即：自感和互感互感具有互易性质，即：(3-94)称式(3-93)为诺伊曼公式。诺伊曼公式证明了两个回路互感的互易性，也证明了电感与回路的几何结构和介质的磁导率有关，而与电流无关；互感M可以为正，也可以为负，取决于回路正向的选择。假设I1在C2中的磁通为正，那么M>0，反之，M<0。对于自感的计算，也可以用诺伊曼公式写为：自感和互感

外自感与内自感(3-95)

式中

和

都是沿回路C的线元，它们之间的距离为R，如图3-20所示。但是当两个线元重合(即R=0)时，积分值趋于无穷大，这是由于忽略了回路导线的截面所致。为了能用诺伊曼公式计算自感，就必须考虑导线的横截面积。这样，可以将自磁链分为外磁链e和内磁链i两部分，相应的自感也分为外自感Le和内自感Li。e是通过导体外部的与回路的全部电流交链的磁链，i为通过导体内部只与部分电流交链的磁链。计算外磁链时，可近似认为全部电流I集中在导体自感和互感图3-20内自感与外自感dl2dl1自感和互感(3-96)回路的轴线C1上，将此电流的磁场与导体回路的内缘C2所交炼的磁链作为外磁链，那么外自感为：例3-9

求无限长平行双导线(图3-21所示)单位长外自感。

解:设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度大小为：自感和互感图3-21平行双导线xx+dx自感和互感

磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为：所以单位长外自感为：自感和互感

为简单起见，先计算两个分别载流I1和I2的电流回路系统所储存的磁场能量。假定回路的形状、相对位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在建立磁场的过程中，两回路的电流分别为i1(t)和i2(t)，最初，i1=0，i2=0，最终，i1=I1,i2=I2。在这一过程中，电源作的功转变成磁场能量。我们知道，系统的总能量只与系统最终的状态有关，与建立状态的方式无关。为计算这个能量，先假定回路2的电流为零，求出回路1中的电流i1从零增加到I1时，电源作的功W1；1.思路磁场能量

磁场能量其次，回路1中的电流I1不变，求出回路2中的电流从零增加到I2时，电源作的功W2。从而得出这一过程中，电源对整个回路系统作的总功Wm=W1+W2。2.计算过程

当保持回路2的电流i2=0时，回路1中的电流i1在dt时间内有一个增量di1，周围空间的磁场将发生改变，回路1和2的磁通分别有增量d11和d12，相应地在两个回路中要产生感应电势E1=-d11/dt和E2=-d12/dt。感应电势的方向总是阻止电流增加。因而，为使回路1中的电流得到增量di1，必须在回路1中外加电压U1=-E1；为使回路2电流为零，也必须在回路2加上电压磁场能量U2=-E2。所以在dt时间里，电源作功为：在回路的电流从零到I1的过程中，电源作功为：(3-97)磁场能量再计算当回路1的电流I1保持不变时，使回路2的电流从零增加到I2，电源作的功W2。假设在dt时间内，电流i2有增量di2，这时回路1中感应电势为E1=-d21/dt，回路2中的感应电势为E2=-d22/dt。为克服感应电动势，必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压。在dt时间内，电源作功为：dW2=U1I1dt+U2i2dt=-E1I1dt-E2i2dt=M21I1di2+L2i2di2磁场能量(3-98)

由式(3-97)和(3-98)，可得电源对整个电流回路系统所作的总功为：(3-99)对上式积分得回路1电流保持不变时，电源作功总量为：磁场能量(3-100)式(3-100)中，1=11+21是与回路C1交链的总磁通，2=12+22是与回路C2交链的总磁通。推广到N个电流回路系统，其磁能为：

式(3-99)中L1I12/2和L2I22/2分别是回路C1和C2的自能，M21I1I2是两回路的相互作用能。式(3-99)也可以用磁通来表示为：磁场能量式中(3-102)ji是回路j在回路i上的磁通，i是回路i的总磁通。根据式(3-45)(P67)将回路i上的总磁通i用磁矢位表示：(3-101)磁场能量(3-103)对于分布电流，用