2023年江西省白鹭洲中学数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设两个正态分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ22．设，则A． B． C． D．3．角的终边与单位圆交于点,则（）A． B．- C． D．4．设函数是定义在上的奇函数，且当时，，记，，，则的大小关系为()A． B． C． D．5．已知（是实常数）是二项式的展开式中的一项，其中，那么的值为A． B． C． D．6．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝（）A． B．C． D．7．已知函数，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，设，若对任意的正整数，在区间内存在个数，，…，使得不等式成立，则的最大值为()A．4 B．5 C．6 D．78．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为（）ξ1234PmnA． B． C． D．9．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．10．已知随机变量的概率分布如下表，则（）A． B． C． D．11．在的展开式中，系数的绝对值最大的项为（）A． B． C． D．12．若a|a|＞b|b|，则下列判断正确的是（）A．a＞b B．|a|＞|b|C．a+b＞0 D．以上都有可能二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间（分钟）与数学成绩之间的一组数据如下表所示：时间（分钟）30407090120数学成绩35488292通过分析，发现数学成绩与学习数学的时间具有线性相关关系，其回归方程为，则表格中的的值是___．14．已知点，，，，复数、在复平面内分别对应点、，若，则的最大值是__________.15．若幂函数的图像过点，则的值为__________.16．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，则异面直线AB与CD的夹角为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；18．（12分）现有男选手名，女选手名，其中男女队长各名.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示）（1）男选手名，女选手名；（2）至少有名男选手；（3）既要有队长，又要有男选手.19．（12分）已知函数（，e为自然对数的底数）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上单调递减，①求a的取值范围；②当时，证明：.20．（12分）甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.21．（12分）如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点.(1)求证：AE//平面PDC；(2)若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.22．（10分）已知f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由密度函数的性质知对称轴表示期望，图象胖瘦决定方差，越瘦方差越小，越胖方差越大，所以μ1＜μ2，σ1＜σ2.故选A.考点：正态分布.2、C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3、D【解析】

根据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，角的终边与单位圆交于点,则，由三角函数的定义，可得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的定义，以及余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4、A【解析】分析：根据x＞0时f（x）解析式即可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（x）为奇函数即可得出，然后比较的大小关系，根据f（x）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a，b，c的大小关系．详解：x＞0时，f（x）=lnx；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；∵f（x）是定义在R上的奇函数；=；，；∴；∴；∴a＜b＜c；即c＞b＞a．故选A．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．5、A【解析】

根据二项式定理展开式的通项公式，求出m，n的值，即可求出k的值．【详解】展开式的通项公式为Tt+1＝x5﹣t（2y）t＝2tx5﹣tyt，∵kxmyn（k是实常数）是二项式（x﹣2y）5的展开式中的一项，∴m+n＝5，又m＝n+1，∴得m＝3，n＝2，则t＝n＝2，则k＝2t224×10＝40，故选A．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m，n的值是解决本题的关键．6、A【解析】

这是求小赵独自去一个景点的前提下，4

个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，按照公式计算，即可得出结论．【详解】小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n(B)＝108,4个人去的景点不同的情况有种，即n(AB)＝24，.故选：A【点睛】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．7、B【解析】设，因，故，由题意过点可得；同理可得，因此是方程的两个根，则，故．由于在上单调递增，且，所以，因此问题转化为对一切正整数恒成立．又，故，则，由于是正整数，所以，即的最大值为，应选答案B．8、A【解析】

根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.【详解】且，则即解得故答案选A【点睛】本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.9、D【解析】分析：根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间和上都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上都有，进而将不等式变形转化可得或，解可得x的取值范围，即可得答案.详解：根据题意，设，其导数，又当时，，则有，即函数在上为减函数，又，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在区间和上都有，又由为奇函数，则在区间和上都有，或，解可得：或.则x的取值范围是.故选：D.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析与的解集.10、C【解析】由分布列的性质可得：，故选C.11、D【解析】

根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项；【详解】二项式展开式为：设系数绝对值最大的项是第项，可得可得，解得在的展开式中，系数的绝对值最大的项为：故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．12、A【解析】

利用已知条件，分类讨论化简可得.【详解】因为，所以当时，有，即；当时，则一定成立，而和均不一定成立；当时，有，即；综上可得选项A正确.故选：A.【点睛】本题主要考查不等关系的判定，不等关系一般是利用不等式的性质或者特值排除法进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、63【解析】回归方程过样本中心点，则：，即：，解得：.点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．(2)回归直线方程必过样本点中心．14、【解析】

由题意可知，点在曲线内，点在圆上，利用三角不等式得出，可求出的最大值.【详解】由题意知，点在曲线内，点在圆上，如下图所示：由三角不等式得，当点为正方形的顶点，且点、方向相反时，取最大值，故答案为.【点睛】本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解，能简化计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15、【解析】

将点代入解析式，求出a，再求f（4）即可．【详解】由题意f（2）=，所以a=﹣，所以f（x）=，所以f（4）=故答案为【点睛】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．16、【解析】

取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，，再根据直线与平面垂直的判定定理可得平面，然后根据直线与平面垂直的性质可得，从而可得答案.【详解】如图所示：取的中点，连接，因为，为的中点，所以，因为，为的中点，所以，又，所以平面，因为平面，所以，所以异面直线与所成的角为.故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直线与平面垂直的判定定理和性质，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析；【解析】

（1）要证BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到两条直线跟BD垂直即证，显然，从平面中可证，即证.(2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证平面即可.【详解】（1）证明：因为平面,所以；因为底面是菱形，所以;因为,平面,所以平面.（2）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,因为,所以；因为平面，平面,所以；因为所以平面，平面,所以平面平面.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、（1）30；（2）65；（3）51.【解析】

（1）先选两名男选手，再选两名女选手，乘法原理得到答案.（2）用总的选择方法减去全是女选手的方法得到答案.（3）分为有男队长和没有男队长两种情况，相加得到答案.【详解】(1)第一步：选名男运动员，有种选法.第二步：选名女运动员，有种选法.共有(种)选法.(2)至少有名男选手”的反面为“全是女选手”.从人中任选人，有种选法，其中全是女选手的选法有种.所以“至少有名女运动员”的选法有(种).(3)当有男队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选男队长时，必选女队长，共有种选法，其中不含男选手的选法有种，所以不选男队长时，共有种选法.故既要有队长，又要有男选手的选法有(种).【点睛】本题考查了排列组合问题的计算，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.19、（1）1；（2）①，②证明见解析.【解析】

（1）求出函数的导函数，利用导函数与函数单调性的关系当，求出单调递增区间，当，求出函数的单调递减区间，进而可求出最大值.（2）①求出对恒成立，化为对恒成立，记，讨论值，求出的最小值即可证出；②由题意可得，即，两边取对数可得，下面采用分析法即可证出.【详解】（1）时，时，，在上单调递增时，，在上单调递减（2）由①在R上单调递减，对恒成立，即对恒成立，记，则对恒成立，当时，，符题当时，时，，在上单调递减时，，在上单调递增；当时，时，，在上单调递减时，，在上单调递增；综上：②当时，在上单调递减，，，，.要证，即证下面证明令，，则，在区间上单调递增，，得证【点睛】本题考查了导函数在研究函数单调性的应用，分析法证明不等式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.20、（1）；（2）分布列见解析，.【解析】

（1）这是相互独立事件，所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【详解】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A，则.答：甲同学购买3种书籍的概率为.（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为，.则，，所以，所以.，，.所以X的概率分布为X012P.答：所求数学期望为.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查二项分布独立重复事件的概率的求法，解题的关键是找出基本事件的概率，属于中档题.21、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．（2）推导出，由，得，再推导出，，从而平面，，，，进而平面，连结，，则就是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．【详解】解：（1）证明：取的中点，连结、，是的中