2023年江西省稳派教育高二数学第二学期期末调研模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是函数的定义域，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间I上存在“次不动点”.若函数在上存在三个“次不动点”，则实数的取值范围是()A． B． C． D．2．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A． B． C． D．3．设f（x）＝＋x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）4．已知点P(x，y)的坐标满足条件那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为()A．2 B．1 C． D．5．一位母亲根据儿子岁身高的数据建立了身高与年龄(岁)的回归模型，用这个模型预测这个孩子岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高在左右 B．身高一定是C．身高在以上 D．身高在以下6．已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是A． B． C． D．7．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应A．从东边上山 B．从西边上山 C．从南边上山 D．从北边上山8．若函数的图象的顶点在第一象限，则函数的图像是（）A． B．C． D．9．.盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为A．15B．25C．110．若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（）A．1 B．0 C．－1 D．±111．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度12．定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图象所有交点的横坐标之和为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若（其中i是虚数单位），则实数_____.14．已知地球半径为，地球上两个城市、，城市位于东经30°北纬45°，城市位于西经60°北纬45°，则城市、之间的球面距离为________15．设,是实数集的两个子集,对于,定义：若对任意,,则,,满足的关系式为______.16．已知函数，若，则实数的取值范围为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，分别是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）设椭圆的右焦点为，点，若（其中为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．19．（12分）已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线．（1）求的值；（2）求函数的单调区间与极值．20．（12分）用函数单调性的定义证明：函数在是减函数.21．（12分）设函数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数与在区间内恰有两个交点，求实数的取值范围.22．（10分）在中，内角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若，的面积为，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由已知得在上有三个解。即函数有三个零点，求出，利用导函数性质求解。【详解】因为函数在上存在三个“次不动点”，所以在上有三个解，即在上有三个解，设，则，由已知，令得，即或当时，，；，，要使有三个零点，则即，解得；当时，，；，，要使有三个零点，则即，解得；所以实数的取值范围是故选A.【点睛】本题考查方程的根与函数的零点，以及利用导函数研究函数的单调性，属于综合体。2、C【解析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可.详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率，故选C.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.3、C【解析】

根据零点的判定定理，结合单调性直接将选项的端点代入解析式判正负即可．【详解】∵f（x）＝2x+x﹣4中，y＝2x单增，y=x-4也是增函数，∴f（x）＝2x+x﹣4是增函数，又f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝2＞0，故选C．【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用，考查了函数单调性的判断，属于基础题．4、A【解析】

由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点到直线的最小值，即可求解．【详解】由约束条件作出可行域，如图所示，由图可知，当与重合时，点到直线的距离最小为．故选：A．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5、A【解析】

由线性回归方程的意义得解.【详解】将代入线性回归方程求得由线性回归方程的意义可知是预测值，故选．【点睛】本题考查线性回归方程的意义，属于基础题.6、A【解析】

求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为有解，即可得到结论.【详解】由题意，函数的导数，若曲线C存在与直线垂直的切线，则切线的斜率为，满足，即有解，因为有解，又因为，即，所以实数的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及方程的有解问题，其中解答中把曲线存在与直线垂直的切线，转化为有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7、D【解析】从东边上山共种;从西边上山共种;从南边上山共种;从北边上山共种;所以应从北边上山.故选D.8、A【解析】

求导，根据导函数的性质解题。【详解】，斜率为正，排除BD选项。的图象的顶点在第一象限其对称轴大于0即b<0,选A【点睛】本题考查根据已知信息选导函数的大致图像。属于简单题。9、D【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5+10=15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，∴根据等可能事件的概率得到P==1010、B【解析】

根据奇函数的性质，利用，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数是定义域R上的奇函数，根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11、D【解析】

将函数表示为，结合三角函数的变换规律可得出正确选项.【详解】，因此，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的平移变换，解决三角函数平移变换需要注意以下两个问题：（1）变换前后两个函数名称要保持一致；（2）平移变换指的是在自变量上变化了多少.12、B【解析】

根据题意，分析可得函数与的图象都关于直线对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案.【详解】由题意，函数满足可知，函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，由函数可知，函数的图象关于直线对称，画出函数与的图象如图所示：设图中四个交点的横坐标为，由图可知，，所以函数与的图象所有交点的横坐标之和为4.故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由可知，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【详解】因为所以所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.14、【解析】

欲求坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可.A、B两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离.即可得到答案.【详解】由已知地球半径为R，则北纬45°的纬线圈半径为，

又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，

故连接两座城市的弦长，

则A，B两地与地球球心O连线的夹角，

则A、B两地之间的距离是.

故答案为：.【点睛】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题.15、或.【解析】

根据新定义、可以得到两种情况,一种,另一种情况,这样就可以确定,,满足的关系.【详解】因为对任意,,所以必有一个0,一个是1.根据定义可知：当时,则有,当时,则有,根据补集定义可知：或.故答案为：或.【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了集合补集定义的理解.16、.【解析】

作出函数f（x）的图象，设f（a）=f（b）=t，根据否定，转化为关于t的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围即可．【详解】作出函数f（x）的图象如图：设f（a）=f（b）=t，则0＜t≤，∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，则f（a）=ea=t，f（b）=2b﹣1=t，则a=lnt，b=（t+1），则a﹣2b=lnt﹣t﹣1，设g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤，函数的导数g′（t）=﹣1=，则当0＜t≤时g′（t）＞0，此时函数g（t）为增函数，∴g（t）≤g（）=ln﹣﹣1=﹣﹣2，即实数a﹣2b的取值范围为（﹣∞，﹣﹣2]，故答案为：（﹣∞，﹣﹣2]．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数与方程的关系，利用换元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）依据线面平行的判定定理，在面中寻找一条直线与平行，即可由线面平行的判定定理证出；(2)建系，分别求出平面，平面的法向量，根据二面角的计算公式即可求出二面角的余弦值．【详解】（1）证明：如图，取中点为，连结，则，所以与平行与且相等，所以四边形是平行四边形，所以平面，平面，所以平面.（2）令，因为是中点，所以平面，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，在菱形中，，所以，，在中，，则，，，，，设平面的法向量为，所以，所以可取，又因平面的法向量，所以.由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理应用以及二面角的求法，常见求二面角的方法有定义法，三垂线法，坐标法．18、（Ⅰ）（Ⅱ）的最大值为．【解析】试题分析：（Ⅰ）结合题意可得所以，由可解得，故得椭圆方程．（Ⅱ）设圆的圆心为，由向量的知识可得，从而将求的最大值转化为求的最大值．设是椭圆上的任意一点，可得，所以当时，取得最大值，从而的最大值为．试题解析：（I）由题意知，，，所以由，得，解得，所以椭圆的方程为．（II）设圆的圆心为，则．从而求的最大值转化为求的最大值．设是椭圆上的任意一点，则，所以，又点，所以．因为，所以当时，取得最大值，所以的最大值为．点睛：圆锥曲线中最值（范围）问题的解决方法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19、(1)(2)在(0,5)内为减函数；在(5，＋∞)内为增函数．极小值f(5)＝－ln5.无极大值．【解析】试题分析：（1）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线可得，可求出a的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．试题解析：（1）对求导得，由在点处的切线垂直于直线知，解得．（2）由（1）知，则，令，解得或．因为不在的定义域内，故舍去．当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数．由此知函数在时取得极小值，．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值20、证明过程见解析.【解析】

按照单调