2023年辽宁省部分重点中学数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若，则的值()A．恒为负值 B．恒等于零C．恒为正值 D．无法确定正负2．已知双曲线：1，左右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为（）A． B．11 C．12 D．163．如图，长方形的四个顶点为，，，，曲线经过点.现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（）A． B． C． D．4．已知双曲线的一个焦点为,一条渐近线的斜率为,则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．5．设，则“”是“”的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件6．设集合，则（）A． B． C． D．7．已知展开式中的常数项是4与10的等差中项，则a的值为（）A． B．2 C． D．8．若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（）A．1 B．0 C．－1 D．±19．已知方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知,则下列结论中错误的是（）A．B．．C．D．11．变量与相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量与相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．表示变量之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则()A． B． C． D．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．8 C．6 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线，的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，．则的最小值为___________．14．已知向量，（，为实数），若向量，共线，则的值是________．15．设，则的展开式中的常数项为__________．16．已知函数，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，为的导数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.18．（12分）设向量，，，记函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值.19．（12分）在平面直角坐标系中,设向量,.(1)当时,求的值；(2)若，且.求的值.20．（12分）2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型“小绿车”、“小黄车”采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费元不足30分钟的部分按30分钟计算；“小黄车”每30分钟收费1元不足30分钟的部分按30分钟计算有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行各租一车一次设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；2设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．21．（12分）已知椭圆：的离心率为，直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.22．（10分）已知点O（0，0），A（2，一1），B（一4，8）．（1）若点C满足，求点C的坐标；（2）若与垂直，求k．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

依据奇函数的性质，在上单调递减，可以判断出在上单调递减，进而根据单调性的定义和奇偶性的定义，即可判断的符号。【详解】因为时，单调递减，而且是定义在上的奇函数，所以，在上单调递减，当时，，由减函数的定义可得，，即有，故选A。【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性应用。2、B【解析】

根据双曲线的定义，得到，再根据对称性得到最小值，从而得到的最小值.【详解】根据双曲线的标准方程，得到，根据双曲线的定义可得，，所以得到，根据对称性可得当为双曲线的通径时，最小.此时，所以的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的定义求线段和的最小值，双曲线的通径，考查化归与转化思想，属于中档题.3、A【解析】

计算长方形面积，利用定积分计算阴影部分面积，由面积测度的几何概型计算概率即可.【详解】由已知易得：，由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域外的概率故选：A【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.4、C【解析】

根据双曲线一个焦点可以求出,再根据一条渐近线的斜率为,可求出的关系,最后联立,解方程求出,求出方程即可.【详解】因为双曲线一个焦点的坐标为,所以,一条渐近线的斜率为,所以有,而,所以,因此有.故选：C【点睛】本题考查了求双曲线方程,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.5、A【解析】

利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行求解；【详解】∵可得或，

∴由“”能推出“”，但由“”推不出“”，

∴“”是“”的充分非必要条件，

故选A.【点睛】本题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件，属于基础题.6、B【解析】分析：首先求得A,B，然后进行交集运算即可.详解：求解函数的定义域可得：，由函数的定义域可得：，结合交集的定义可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查函数定义域的求解，交集的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7、C【解析】

利用二项式展开式的通项公式求出展开式中的常数项的值，由常数项是4与10的等差中项，求得的值【详解】由题意得，令，解得．又因为4与10的等差中项为7，所以，即，故选C．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．8、B【解析】

根据奇函数的性质，利用，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数是定义域R上的奇函数，根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、A【解析】分析：由于是偶函数，因此只要在时，方程有2个根即可．用分离参数法转化为求函数的极值．详解：由于是偶函数，所以方程有两个根，即有两个根．设，则，∴时，，递增，时，，递减，时，取得极大值也是最大值，又时，，时，，所以要使有两个根，则．故选A．点睛：本题考查方程根的分布与函数的零点问题，方程根的个数问题常常转化为函数图象交点个数，如能采用分离参数法，则问题转化为求函数的单调性与极值或值域．10、C【解析】试题分析：，当时，，单调递减，同理当时，单调递增，，显然不等式有正数解（如，（当然可以证明时，）），即存在，使，因此C错误．考点：存在性量词与全称量词，导数与函数的最值、函数的单调性．11、C【解析】

求出，，进行比较即可得到结果【详解】变量与相对应的一组数据为即变量与相对应的一组数据为这一组数据的相关系数则第一组数据的相关系数大于，第二组数据的相关系数小于则故选【点睛】本题主要考查的是变量的相关性，属于基础题．12、A【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，它的底面是一个长宽分别为的矩形，棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.详解：根据三视图知：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，它的底面是个长宽分别为的矩形，棱锥的高为，，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，再利用基本不等式求解即可.【详解】解：由渐近线方程为可知，，,，，.第一次取等号的条件为，即，第二次取等号的条件为，即.的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的方程和基本性质，离心率的求法，基本不等式的应用，属于中档题.14、【解析】

根据向量，共线，结合两向量的坐标，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】因为量，共线，所以存在实数，使得，则有，解得：，因此.故答案为：.【点睛】本题主要考查由空间向量共线求参数的问题，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.15、-160.【解析】由，所以二项式展开式的常数项为.16、1【解析】

由题得，令x=0即得解.【详解】由题得，令x=0得，所以.故答案为1【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）将代入求出切点坐标，由题可得，将代入求出切线斜率，进而求出切线方程．（Ⅱ）设，则，由导函数研究的单调性进，而得出答案．（Ⅲ）题目等价于，易求得，利用单调性求出的最小值，列不等式求解．【详解】（Ⅰ），所以，即切线的斜率，且，从而曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（Ⅲ）由已知，转化为，且的对称轴所以.由(Ⅱ)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，所以当时，.所以，即，因此，的取值范围是.【点睛】导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题．18、(1).（2）.【解析】分析：（1）函数，根据向量坐标的运算，求出的解析式，化简，结合三角函数的性质可得单调递减区间；（2）根据，求出A，由，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值.详解：（1）由题意知：，令，，则可得：，，∴的单调递增区间为.（2）∵，∴，结合为锐角三角形，可得，∴.在中，利用余弦定理，即（当且仅时等号成立），即，又，∴.点睛：本题考查了三角函数的性质的运用、余弦定理和基本不等式灵活应用.19、（1）；（2）．【解析】分析：(1)直接带入即可(2)利用向量数量积打开后再利用二倍角公式变形化同名详解：(1)当时，，，所以.(2)，若.则，即.因为，所以，所以，所以.点睛：三角函数跟向量的综合是高考当中的热点问题，常常需要利用二倍角公式的逆用对得到的函数关系式进行化简，最终化简为的形式.20、(1);(2)见解析.【解析】

（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率即可；（2）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况下的概率，得出分布列，利用公式求解数学期望．【详解】（I）由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A．则，答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，（Ⅱ）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4，∴；；；，．甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为：ξ22.533.54P∴．【点睛】本题主要考查了相互对立事件的概率的计算，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.21、（1）；（2），.【解析】

（1）由椭圆的离心率为，求得,再由圆的性质和圆的弦长公式，求得，进而可求解椭圆的标准方程；（2）设的方程：，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，再利用向量的数量积的运算和代数式的性质，即可得到结论．【详解】（1）∵椭圆的离心率为，∴,∵圆的圆心到直线的距离为,∴直线被圆截得的弦长为.解得，故，∴椭圆的方程为.（2）设，，，当直线与轴不重合时，设的方程：.由得，，∴，，，当，即时，的值与无关，此时.当直线与轴重合且时，.∴存在点，使得为定值.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求