2023年马鞍山市第二中学数学高二第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．求函数的值域（）A．[0，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．[，+∞）2．抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．3．的展开式中含项的系数为（）A．160 B．210 C．120 D．2524．“指数函数是增函数，函数是指数函数，所以函数是增函数”，以上推理（）A．大前提不正确 B．小前提不正确 C．结论不正确 D．正确5．已知函数，若，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为（）ξ1234PmnA． B． C． D．7．已知向量，，且，若实数满足不等式，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．8．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为和的座位；乙：我不坐座位号为和的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为的座位，我就不坐座位号为的座位.那么坐在座位号为的座位上的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．已知点在抛物线上，且为第一象限的点，过作轴的垂线，垂足为，为该抛物线的焦点，，则直线的斜率为（）A． B． C．-1 D．-210．已知，、，则向量与的夹角是（）A． B． C． D．11．设函数()有且仅有两个极值点()，则实数的取值范围是()A． B． C． D．12．在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将参数方程（为参数），转化成普通方程为_______．14．设正方形的中心为，在以五个点、、、、为顶点的三角形中任意取出两个，则它们面积相等的概率为________15．已知函数的值域为，函数的单调减区间为，则________.16．在名男生和名女生中各选出名参加一个演唱小组，共有__________种不同的选择方案.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（其中，为自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数无极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：．18．（12分）在中，内角所对的边分别是，已知．（Ⅰ）求证：为等腰三角形；（Ⅱ）若是钝角三角形，且面积为，求的值．19．（12分）已知函数.(1)判断的奇偶性并予以证明；(2)求不等式的解集.20．（12分）已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.(1)求g(x)的解析式并判断g(x)的奇偶性；(2)求函数g(x)的值域.21．（12分）已知函数（1）当时，，求的取值范围；（2）时，证明：f(x)有且仅有两个零点。22．（10分）设函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

设t，t≥0，则x＝t2+1，y＝2t2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函数y＝2x的值域．【详解】解：设t，t≥0，则x＝t2+1，∴y＝2t2﹣t+2＝2（t）2，故选：D．【点睛】本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用．2、C【解析】

根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标.【详解】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，故选：C.【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.3、D【解析】

先化简，再由二项式通项，可得项的系数．【详解】，，当时，.故选D.【点睛】本题考查二项式展开式中指定项的系数，解题关键是先化简再根据通项公式求系数．4、A【解析】分析：利用三段论和指数函数的单调性分析判断.详解：由三段论可知“指数函数是增函数”是大前提，但是指数函数不一定是增函数，对于指数函数，当a>1时，指数函数是增函数，当0＜a＜1时，指数函数是减函数.所以大前提不正确，故答案为：A.点睛：本题主要考查三段论和指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平.5、D【解析】

根据题意将问题转化为，记，从而在上单调递增，从而在上恒成立，利用分离参数法可得，结合题意可得即可.【详解】设，因为，所以.记，则在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立.因为，所以函数在上单调递增，故有.因为，所以，即.故选：D【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用、函数单调性的应用，属于中档题.6、A【解析】

根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.【详解】且，则即解得故答案选A【点睛】本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.7、A【解析】分析：根据，得到，直线的截距为，作出不等式表示的平面区域，通过平推法确定的取值范围.详解：向量，，且，，整理得，转换为直线满足不等式的平面区域如图所示.画直线，平推直线，确定点A、B分别取得截距的最小值和最大值.易得,分别将点A、B坐标代入，得，故选A.点睛：本题主要考查两向量垂直关系的应用，以及简单的线性规划问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力和数形结合思想的应用.目标函数型线性规划问题解题步骤：（1）确定可行区域（2）将转化为，求z的值，可看做求直线，在y轴上截距的最值．（3）将平移，观察截距最大（小）值对应的位置，联立方程组求点坐标．（4）将该点坐标代入目标函数，计算Z．8、C【解析】

对甲分别坐座位号为3或4分类推理即可判断。【详解】当甲坐座位号为3时，因为乙不坐座位号为1和4的座位所以乙只能坐座位号为2，这时只剩下座位号为1和4又丙的要求和乙一样，矛盾，故甲不能坐座位号3.当甲坐座位号为4时，因为乙不坐座位号为1和4的座位，丙的要求和乙一样：所以丁只能坐座位号1，又如果乙不坐座位号为2的座位，丁就不坐座位号为1的座位.所以乙只能坐座位号2，这时只剩下座位号3给丙。所以坐在座位号为3的座位上的是丙.故选：C【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，考查了分类思想，属于中档题。9、B【解析】

设，由，利用抛物线定义求得，进而得进而即可求解【详解】设，因为，所以，解得，代入抛物线方程得，所以，，，从而直线的斜率为.故选：B【点睛】本题考查抛物线的性质及定义，考查运算求解能力，是基础题.10、D【解析】

设向量与的夹角为，计算出向量与的坐标，然后由计算出的值，可得出的值.【详解】设向量与的夹角为，，，则，所以，，故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.11、B【解析】

函数()有且仅有两个极值点，即为在上有两个不同的解，进而转化为两个图像的交点问题进行求解．【详解】解：因为函数()有且仅有两个极值点，所以在上有两个不同的解，即2ax＋ex＝0在上有两解，即直线y＝－2ax与函数y＝ex的图象有两个交点，设函数与函数的图象相切，切点为(x0，y0)，作函数y＝ex的图象，因为则，所以，解得x0＝1，即切点为(1，e)，此时k＝e，由图象知直线与函数y＝ex的图象有两个交点时，有即－2a＞e，解得a＜，故选B.【点睛】本题考查了函数极值点的问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程根的问题，再通过数形结合的思想方法解决问题．12、A【解析】

分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案.【详解】解：分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话，甲考了满分，故选：A.【点睛】本题主要考查合理推理与演绎推理，由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

将参数方程变形为，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为，两等式平方得，上述两个等式相减得，因此，所求普通方程为，故答案为：.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.14、【解析】

先确定以五个点、、、、为顶点的三角形的个数，再确定从中取出两个的事件数，从中取出两个面积相等的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】以五个点、、、、为顶点的三角形共有,则从中取出两个有种方法；因为,因此从中取出两个面积相等有种方法；从而所求概率为故答案为：【点睛】本题考查古典概型概率以及简单计数，考查综合分析求解能力，属中档题.15、【解析】

由的值域为，，可得，由单调递减区间为，，结合函数的单调性与导数的关系可求．【详解】由的值域为，，可得，，，，由单调递减区间为，，可知及是的根，且，把代入可得，，解可得，或，当时，可得，当时，代入可得不符合题意，故，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的性质及函数的导数与单调性的关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．16、【解析】

根据分步计数原理计算可得.【详解】从名女生中选出二人,有种选法,从5名男生中选出二人,有种选法,所以根据分步计数原理可得,从名男生和名女生中各选出名参加一个演唱小组，共有种不同的选法.故答案为:30.【点睛】本题考查了分步计数原理,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）实数的取值范围是；（2）见解析.【解析】分析：（1）因为函数无极值，所以在上单调递增或单调递减.即或在时恒成立，求导分析整理即可得到答案；（2）由（Ⅰ）可知，当时，当时，，即.欲证，只需证即可，构造函数=（），求导分析整理即可.详解：（Ⅰ）函数无极值，在上单调递增或单调递减.即或在时恒成立；又，令，则；所以在上单调递减，在上单调递增；，当时，，即，当时，显然不成立；所以实数的取值范围是.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，当时，，即.欲证，只需证即可.构造函数=（），则恒成立，故在单调递增，从而.即，亦即.得证.点睛：可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得，根据三角形内角和可整理为，则由正弦定理可得到结论；（Ⅱ）利用三角形面积公式可求得；根据三角形为钝角三角形且（Ⅰ）中的，可知为钝角，求得；利用余弦定理可构造方程求得之间关系，从而得到所求结果.【详解】（Ⅰ）由得：则：由正弦定理可知：为等腰三角形（Ⅱ）由题意得：，解得：为钝角三角形，且为钝角由余弦定理得：【点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.19、(1)奇函数，证明见解析.(2).【解析】分析：(1)先求定义域，判断是否关于原点对称，再研究与关系，根据奇偶性定义判断，(2)先根据对数函数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果.详解：（1）要使函数有意义．则，解得.故所求函数的定义域为．由（1）知的定义域为，设，则．且，故为奇函数．(2)因为在定义域内是增函数，因为，所以，解得．所以不等式的解集是．点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．20、（1）,为奇函数;（2）.【解析】试题分析：(1)先求出,即可得的解析式，然后利用奇偶性的定义判断的奇偶性;

(2)根据分式的特点，结合指数函数的性质求解值域.试题解析：（1）由，得，故，所以.因为，而，所以函数为奇函数.（2），，所以，即函数的值域为（）.21、（1）（2）见解析【解析】

（1）参变分离，求最值。确定的取值范围。（2）求导判断的单调性。说明零点存在。【详解】（1）由得令，∴在上时增函数∴∴.（2）当时，（）∴∴∴在是增函数又，∴在上有且仅有一个解，设为-0+↘最小↗∴又∴有且仅有两个零点.【点睛】本题考查参变分离，利用单调性讨论函数零点，属于中档题。22、（Ⅰ）8（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根据二项定理展开式展开，即可确定对应项的系数，即可求解.（Ⅱ）代入值后可求得的解析式，经过检验可知点不在曲线上，即可设切点坐标为，代入曲线方程并求得，由导数的几何意义及两点间斜率公式，可得方程，且由题意可知该方程有三个不同的实数根