2011年考研数学三真命题及全面解析

,.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合感谢阅读题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．（1）已知当x0时，fx3sinxsin3x与cxk是等价无穷小，则（）（A）k=1,c=4（B）k=1,c=4（C）k=3,c=4（D）k=3,c=4【答案】（C）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式【难易度】★★★【详解】解析：方法一：当x0时，sinx:x感谢阅读lim3sinxsin3xlim3sinxsinxcos2xcosxsin2xx0cxkx0cxklimsinx3cos2x2cos2xlim3cos2x2cos2x感谢阅读cxkcxk1x0x0lim32cos2x12cos2xlim44cos2xlim4sin2xcxk1cxk1cxk1x0x0x0lim41c4,k3，故选择（C）.x0cxk3方法二：当x0时，sinxxx3o(x3)感谢阅读3!(x)3sinxsin3x3[xx3o(x3)][3x(3x)3o(x3)]感谢阅读3!3!4x3o(x3)故c4,k3，选（C）.,.（2）已知函数fx在x=0处可导，且f0=0，则limx2fx2fx3=（）x0x3（A）2f0（B）f0（C）f0（D）0.【答案】（B）【考点】导数的概念【难易度】★★【详解】x2fx2fx3fxf0fx3f0解析：limlim2x0x3x0xx3f02f0f0.感谢阅读故应选（B）（3）设un是数列，则下列命题正确的是 （ ）u)收敛u收敛（A）若u收敛，则(u（B）若(u)收敛，则un2n12n2n12nnn1n1n1n1uu收敛（C）若u收敛，则(u)收敛（D）若(u)收敛，则un2n12n2n12nnn1n1n1n1【答案】（A）【考点】级数的基本性质【难易度】★★【详解】解析：由于级数(u u )是级数u经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当u 收精品文档放心下载2n12nnnn1n1n1敛时，(u u )也收敛，故（A）正确.精品文档放心下载2n1 2n1,.（4）设I4lnsinxdx，J4lncotxdx，K4lncosxdx，则I,J,K的大小关系是（）000（A）IJK（B）IKJ（C）JIK（D）KJI【答案】（B）【考点】定积分的基本性质【难易度】★★【详解】π/4解析：如图所示，因为0x4时，0sinx2cosxcotx，因此lnsinxlncosxlncotx24lnsinxdx4lncosxdx4lncotxdx，故选（B）精品文档放心下载0 0 0（5）设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩谢谢阅读100100阵，记P110，P001，则A=（）12001010（A）PP（B）P1P（C）PP（D）PP112122121【答案】（D）【考点】矩阵的初等变换【难易度】★★【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知APB，PBE，精品文档放心下载1 2所以ABP1P1P1PP1，故选（D）精品文档放心下载1 2 1 2 1（6）设A为43矩阵，,,是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，k,k为任意12312常数，则Ax的通解为（ ）,.（A）k()（B）k()232321212121（C）k()k()（D）k()k()232321212312121231【答案】（C）【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解精品文档放心下载【难易度】★★★【详解】解析：,为Ax0的解，因为,,线性无关，故,线性无关，23312112331212为Ax的解，故Ax的通解为k()k()所以应选（C）.232131221（7）设F(x),F(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f(x)与f(x)是连续函数，则必为概率谢谢阅读1212密度的是（）（A）f(x)f(x) （B）2f(x)F(x)谢谢阅读1 2 2 1（C）f(x)F(x) （D）f(x)F(x)+f(x)F(x)精品文档放心下载1 2 1 2 2 1【答案】（D）【考点】连续型随机变量概率密度【难易度】★★【详解】解析：f(x)F(x)f(x)F(x)dxF(x)dF(x)F(x)dF(x)精品文档放心下载12212112F(x)F(x)F(x)dF(x)F(x)dF(x)1感谢阅读1 2 1 2 1 2故选（D）.,.（8）设总体X服从参数为(0)的泊松分布，X,X,L,X(n2)为来自该总体的简单随机12n样本，则对于统计量T1n和T1n11X，有（）XX1ni2n1inni1i1（A）ET>ET,DT>DT（B）ET>ET,DT<DT12121212（C）ET<ET,DT>DT（D）ET<ET,DT<DT12121212【答案】（D）【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质谢谢阅读【难易度】★★★【详解】解析：由于X,X,L,X是简单随机样本，EXDX0，i1,2,L,n，12nii且X,X,L,X相互独立，从而12nETE(1X)1E(X)1nEX，nn1nininETEi1i11X1X1E(X)1E(X)n1n1n1n2n1innini1i11(n1)E(X)1E(X)EX1EX11n1innnn故ETET12D(1n11DX，又DTnX)nD(X)1in2nni1DTD(1n1X1X)1(n1)D(T)，2n1inn(n1)2n2n1n2n11故选（D）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.精品文档放心下载．．．,.（9）设fxlimx13txt，则fx .感谢阅读t0【答案】e3x13x【考点】重要极限公式【难易度】★★【详解】x1xxlim3ttxe3x解析：fxlimx13tt13t3tt0t0所以有fxe3x13x.（10）设函数z1xxy，则dz.y1,1【答案】12ln2dxdy【考点】多元复合函数的求导法【难易度】★★【详解】解析：两边取对数得lnzxln(1x)，yy由一阶微分形式不变性，两边求微分得1dzln(1x)d(x)xd[ln(1x)]zyyyyx1xx1x)(dxdy)(ydxy2dy)ln(1yyxxyy211yydzz[1ln(1x)xxln(1x)x2]dyy]dxz[y(xyy2)yy(xy)y2yx1，y1，z(1,1)2代入得谢谢阅读,.dz 12ln2dxdy(1,1)ey在点0,0处的切线方程为.（11）曲线tanxy4【答案】y2x【考点】隐函数微分法【难易度】★★【详解】解析：两边对x求导得sec(xy)(1)eyy，2y4所以在点(0,0)处y(0)2，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为y2x.（12）曲线yx21，直线x2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为.【答案】4y3【考点】定积分的应用yx21【难易度】★★【详解】x解析：012V2y2dx2x21dx(1x324.x)11313（13）设二次型fx,x,xxTAxAf在正交变换xQy123的秩为1，中各行元素之和为3，则下的标准形为.【答案】3y21,.【考点】用正交变换化二次型为标准形【难易度】★★★【详解】11解析：A的各行元素之和为3，即A31111所以3是A的一个特征值.1又因为二次型xTAx的秩r(A)10.23因此，二次型的标准形为：3y2.1（14）设二维随机变量X,Y服从正态分布N,2;0XY2.,;2，则E=【答案】(22)【考点】数学期望的性质；相关系数的性质【难易度】★★【详解】解析：因为X,Y~N,;2,2;0，所以X~N(,2)，Y~N(,2),精品文档放心下载EX,EY2DY(EY)222谢谢阅读又因为0，所以X，Y相互独立.由期望的性质有E(XY2)EXEY2(22)。谢谢阅读三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证精品文档放心下载．．．明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限lim12sinxx1x0xln1x【考点】无穷小量的比较；洛必达法则,.【难易度】★★★【详解】解析：当x0时，ln(1x):x谢谢阅读lim12sinxx1lim12sinxx1x0xln1xx0x2limx0limx0

[12sinx(x1)][12sinx(x1)]谢谢阅读x2[12sinx(x1)]精品文档放心下载12sinx(x1)2lim2sinx2xx22x2x02x22sinx2xx1x31126limlimlimx02x2x02x2x0x222（16）（本题满分10分）已知函数fu,v具有连续的二阶偏导数，f1,12是fu,v的极值，感谢阅读zf(xy,fx,y).求2z感谢阅读xy1,1【考点】多元复合函数的求导法；二阶偏导数；多元函数的极值精品文档放心下载【难易度】★★★【详解】x解析：zf(xy,f(x,y))1yxzfz2fyf1ffffx12x12xz21fy[f1fy]fxyffxffffff[fff]f1112yx2122y2xyQf1,12为fu,v的极值谢谢阅读,.f1,1f1,10xy2zf(2,2)f(2,2)f(1,1)f(2,2)f(2,2)f(1,1)xy112xy11212(1,1)（17）（本题满分10分）求不定积分arcsinxlnxdxx【考点】不定积分的基本性质；不定积分的换元积分法与分部积分法谢谢阅读【难易度】★★★【详解】解析：arcsinxlnxdx2arcsinxlnxdx2(arcsinx2lnx)dxx2xxt2(arcsint2lnt)dt2t(arcsintt2lnt)21t22dtd(1t2)2t(arcsint2lnt)21t24tC2t(arcsint2lnt)4t1t22x(arcsinx2lnx)21x4xC其中C是任意常数.（18）（本题满分10分）证明方程4arctanxx430恰有两个实根.3【考点】闭区间上连续函数的性质；函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：令f(x)4arctanxx43，3则f'(x)4310x1x2,.当x(,3)时，f'(x)0，f(x)单调递减；33当x(3,3)时，f'(x)0，f(x)单调递增；当x(3,)时，f'(x)0，f(x)单调递减；又因为f(3)4arctan(3)(3)430.3x3是函数f(x)在(,3)上唯一的零点.感谢阅读f(3)4arctan33438230又因为3343.且limfxlim4arctanxxxx3由零点定理可知，x3,，使fx0,00方程4arctanxx430恰有两个实根.3（19）（本题满分10分）设函数f(x)在区间0,1具有连续导数，f(0)1，且满足f'(xy)dxdyf(t)dxdy,D(x,y)0ytx,0xt(0t1)，求f(x)的表达tDtDt式.【考点】二重积分的计算；一阶线性微分方程【难易度】★★★★【详解】解析：因为f(xy)dxdytdxtxf(xy)dytdxtxf(xy)d(yx)谢谢阅读0 0 0 0Dttf(xy)ytxdxt[f(t)f(x)]dxf(t)xxttf(x)dx精品文档放心下载0y00x00,.tf(t)t0

f(x)dx，f(t)dxdyf(t)dxdy12t2f(t)感谢阅读Dt Dttf(t)tf(x)dx1t2f(t).02两边对t求导，得f(t)2f(t)0,t2解齐次方程得f(t)Ce2Ct1dt(t2)2由f(0)1，得C4.所以函数表达式为f(x)4x1).(x2)2(0（20）（本题满分11分）设向量组T，TT不能由向量组T1,0,1，1,1,1,1,2,31231,3,4,a线性表出.TT23（I）求a的值；（II）将，，用，，线性表出.123123【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换【难易度】★★★【详解】101解析：（I）因为,,01310，所以,,线性无关，123123115又因为,,不能由,,线性表示，所以r,,3，123123123113113所以,,124011a50，123a313a02所以a5,.101113（II）（,,,,,）013124123123=1151351011131011131002150131240131240104210014022001102001102故24，2，510211232123123（21）（本题满分11分）1111A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A00001111（I）求A的所有特征值与特征向量;（II）求矩阵A.【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量感谢阅读【难易度】★★★【详解】1111解析：（I）因为A0000111111111所以A00，A000，11111所以1是A的特征值， (1,0,1)T是对应的特征向量；谢谢阅读1 11是A的特征值，(1,0,1)T是对应的特征向量.精品文档放心下载2 2因r(A)2知A0，所以0是A的特征值.精品文档放心下载3设(x,x,x)T是A属于特征值0的特征向量，31233,.因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即Txx0,解得(0,1,0)T1313Txx0,32313故矩阵A的特征值为1,1,0；特征向量依次为k(1,0,1)T,k(1,0,1)T,k(0,1,0)T，其中精品文档放心下载1 2 3k,k,k均是不为0的任意常数.1 2 31110（II）将,,单位化得，1100，31123212201110221令Q(,,)001，则QTAQ11231100221001所以AQ1QT000.0100（22）（本题满分11分）设随机变量X与Y的概率分布分别为X01P1/32/3Y101P1/31/31/3P(X2Y2)1.（I）求二维随机变量(X,Y)的概率分布；精品文档放心下载（II）求ZXY的概率分布；,.（III）求X与Y的相关系数 .XY【考点】二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布；两个随机变量简单函数的分布；相关系数感谢阅读【难易度】★★★解析：（I）因为P(X2Y2)1，所以P(X2Y2)0感谢阅读P(X0,Y1)P(X0,Y1)P(X1,Y0)0谢谢阅读又因为P(X0)1,P(X1)2,P(Y1)1,P(Y0)1,P(Y