新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2第2课时基本不等式的应用学案

第2课时基本不等式的应用课标解读课标要求素养要求1.进一步熟练掌握基本不等式,能够利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.1.数学运算——能利用基本不等式求代数式的最值.2.数学建模——能利用基本不等式解决实际问题.自主学习·必备知识见学用31页教材研习教材原句已知x，y都是正数，（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值①2P（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值②14自主思考a＞0时，你能求出a+4答案：提示当a＞0时，a+4a≥2a⋅440 cm答案：提示设矩形的长为xcm，宽为ycm，则x+y=20，则S=xy≤(x+y2)名师点睛利用基本不等式求最值的两种常用方法1.拼凑法：拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”.2.常数代换法：常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.互动探究·关键能力见学用32页探究点一利用基本不等式求最值自测自评a＞0，b＞0，a+b=1，若α=a+1a，β=b+1答案：C解析：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴α+β=a+1当且仅当a=b=1∴α+β的最小值为5.2a+3答案：C解析：因为a＞0，b＞0，2a所以3a+2b=(3a+2b)(=12+9a当且仅当9ab即a=4，b=6时等号成立.所以3a+2b的最小值为24.故选C.0＜x＜12，则答案：1解析：因为0＜x＜12，所以所以1≤1当且仅当2x=1-2x，即x=14时等号成立，所以12m，n＞0，且m+n=16，求mn的最大值.答案：∵m，n＞0，且m+n=16，∴由基本不等式可得mn≤(m+n2)2=(解题感悟1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则求解.（1）一正：符合基本不等式a+b2≥ab成立的前提条件为a＞0（2）二定：不等式的一边转换为定值.（3）三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可.2.若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式.探究点二基本不等式在实际问题中的应用精讲精练x米，总造价为y元.（1）求y的表达式；（2）污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价.答案：（1）因为污水处理池的长为x米，所以宽为200x由题意可得0<x≤18,解得1009y=400(2x+2×200（2）∵y=800(x+324当且仅当x=324x(1009因此，当污水处理池长为18米，宽为1009解题感悟应用基本不等式解决实际问题的思路：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为因变量；（2）建立相应的关系式，把实际问题抽象成数学问题，利用基本不等式求解；（3）根据实际背景写出答案.迁移应用x m，宽为y （1）若菜园面积为72 m2，则x，（2）若使用的篱笆总长度为30 m，求1答案：（1）由已知可得xy=72，而篱笆总长为(x+2y)m因为x+2y≥22xy=24，当且仅当x=2y，即x=12，所以菜园的长为12 m，宽为6 （2）由已知得x+2y=30，则(≥5+22yx⋅2xy=9，当且仅当所以1x+2y≥评价检测·素养提升见学用33页课堂检测x＞0，y＞0，2x+y=2，则xy的最大值是()A.14B.答案：Ba，b均为正实数，且a+b=2，则1aA.9B.9答案：B解析：由题意，1a当且仅当ba=4ab，即b=2a时等号成立，此时所以1a+4a＞b，且ab=1，则a2答案：2解析：因为ab=1，所以a2+b2+1a-b=a2+b2-2ab+3m＞0，n＞0，m+n=2，则m+2n答案：6解析：因为m＞0，n＞0，m+n=2，所以m+2n当且仅当2 mn=所以m+2n5.（★）已知正数a，b满足a+4b+2≥4a+答案：17解析：因为a＞0，b＞0，所以(4a+所以4a+1即(a+4b)2+2(a+4b)-16≥0，可得(a+4b+1故a+4b的最小值为17-1素养演练数学运算——用换元法求代数式的最值（1）已知实数x，y满足x＞0，y＞0，则4x4x+y（2）若a＞0，b＞0，且12a+b+1答案：（1）4（2）1解析：（1）令4x+y=a,解得x=a-b3,y=4b-a所以4x≤8当且仅当a=2b，即2x=y时，取“=”.所以4x4x+y+y（2）令2a+b=x,b+1=y,解得得1x+1y=1所以a+2b==x+3y当且仅当x=3+1，所以a+2b的最小值是12素养探究：最值问题，特别是二元变量的最值问题，由于结构复杂，难以将问题转化为一元问题，对这类最值问题若采取双换元的方法，可以收到意想不到的效果.迁移应用x、y满足x+y