新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理巩固练习（含解析）

6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课后训练巩固提升一、A组1.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是()A.e1与e1-e2B.e1+e2与e1-3e2C.e1-2e2与-3e1+6e2D.2e1+3e2与e1-2e2解析:∵-3e1+6e2=-3(e1-2e2),∴e1-2e2与-3e1+6e2共线,故不能作为基底.答案:C2.如图所示,在矩形ABCD中,若BC=6e1,DC=4e2,则OC等于()A.3e1+2e2B.3e1-2e2C.2e1+3e2D.2e1-3e2解析:OC==12(DC+BC)=3e1答案:A3.若OP1=a,OP2=b,P1P=λPP2(λ≠-A.a+λb B.λa+(1-λ)bC.λa+b D.11+λa+解析:∵OP=OP1+=a+λ(OP2-OP)=a+λ(∴OP=11+λa答案:D4.在△ABC中,D,E,F依次是BC的四等分点,以AB=e1,AC=e2为基底,则AF等于()A.14e1+34e2 B.34e1+C.14e1-14e2 D.14e1+解析:∵D,E,F依次是BC的四等分点,∴AE=12(AB+AC)=1BC=AC-AB=e2∴AF=AE+EF=12(e=12(e1+e2)+14(e2-e1)=14e1+3答案:A5.如图,在△ABC中,AH⊥BC于点H,M为AH的中点,若AM=λAB+μAC,则λ+μ的值为()A.-1 B.12C.1 D.2解析:∵B,H,C三点共线,∴AH=(1-t)AB+tAC.∴2AM=(1-t)AB+tAC.∴AM=∴λ=1-t2,μ=t2,∴λ+答案:B6.如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设OA=e1,OB=e2,以e1,e2为基底来表示OC=,OD=.

解析:OC=OA+AC=OA+13AB=e1+13(e2-eOD=OC+CD=OC+13AB=23e1+13答案:23e1+13e213e1+7.设向量m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,试用m,n表示p的结果是.

解析:设p=xm+yn,则3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b,得2x+4所以p=-74m+138答案:p=-74m+138.已知正三角形ABC的边长为2,设BC=2BD,AC=3AE,则AD·BE解析:AD·BE=12=12(AB=1=16×2-12×4+16×4-12×答案:-29.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;(3)若4e1-3e2=λa+ub,求λ,u的值.(1)证明:假设a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2共线,得λ故λ不存在,即a与b不共线,可以作为一组基底.(2)解:设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以m+n所以c=2a+b.(3)解:由4e1-3e2=λa+ub,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+u(e1+3e2)=(λ+u)e1+(-2λ+3u)e2.所以λ+u二、B组1.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,nA.m>0,n>0 B.m>0,n<0C.m<0,n>0 D.m<0,n<0解析:如图所示,利用平行四边形法则,将OP分解到OP1有OP=则OA=mOP1,很明显OA与OP1方向相同OB与OP2方向相反,答案:B2.在△ABC中,(AB-AC)·(AB+AC)=0,AB2=AB·A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形解析:∵(AB-AC)·(AB+∴AB2-AC2=0,∴|AB∵AB2=AB·CB,∴AB·(AB+BC)=0.∴AB·∴AB⊥∴△ABC是等腰直角三角形.答案:D3.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为解析:如图,由题意知,D为AB的中点,BE=∴DE=12AB+2∴λ1=-16,λ2=2∴λ1+λ2=-16答案:14.如图,在平行四边形ABCD中,点O为AC的中点,点N为OB的中点,设AB=a,AD=b,若用a,b来表示向量AN,则AN=.

解析:以AB=a,AD=b作为以点A为公共起点的一组基底,则AN=AD+34=34a+14答案:34a+15.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),解析:如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则OC=在Rt△OCD中,因为|OC|=23,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以|OD|=4,|CD|=2,故OD=4OA,OE=2即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.答案:66.如图,在△OAB中,OA=a,OB=b,M,N分别是边OA,OB上的点,且OM=13a,ON=12b.设AN与BM相交于点P,用向量解:OP=设MP=mMB,NP=nNA(m,n则OP=OM+mMB=13a+mb-13a=13(1-m)a+mb,OP=ON+nNA=12由a,b不共线,得13(故OP=15a+7.如图,在△OAB中,已知P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB.(1)若BP=PA,求x,y(2)若BP=3PA,|OA|=4,|OB|=