江西省2023年中考数学试卷

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江西省2023年中考数学试卷

一、单选题

1．（2023·江西）下列各数中，正整数是（）

A．B．C．D．

2．（2023·江西）下列图形中，是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

3．（2023·江西）若有意义，则的值可以是（）

A．B．C．D．

4．（2023·江西）计算的结果为（）

A．B．C．D．

5．（2023·江西）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

6．（2023·江西）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

二、填空题

7．（2023·江西）单项式的系数为．

8．（2023·江西）我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为．

9．（2023·上海）计算：（a+1）2﹣a2=．

10．（2023·江西）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为cm．

11．（2023·江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高m．

12．（2023·江西）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为．

三、解答题

13．（2023·江西）（1）计算：

（2）如图，，平分．求证：．

14．（2023·江西）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中作锐角，使点C在格点上；

（2）在图2中的线段上作点Q，使最短．

15．（2023·江西）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

解：原式……

解：原式……

（1）甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是；（填序号）

①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．

（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．

16．（2023·江西）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时期好少年”的宣传活动根据活动要求，每班需要2名宣传员某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．

（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）

（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．

17．（2023·江西）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．

（1）求直线和反比例函数图象的表达式；

（2）求的面积．

18．（2023·江西）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．

（1）求该班的学生人数；

（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？

19．（2023·江西）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保小数点后一位）

（1）连接，求证：；

（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．

（参考数据：）

20．（2023·江西）如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．

（1）求的长；

（2）若，求证：为的切线．

21．（2023·江西）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．

整理描述

初中学生视力情况统计表

视力人数百分比

0.6及以下8

0.716

0.828

0.934

m

及以上46n

合计200

高中学生视力情况统计图

（1），；

（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为；

（3）分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由：

②约定：视力未达到为视力不良．若该区有26000名初中学生，估计该区有多少名初中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．

22．（2023·江西）课本再现

思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

已知：在中，对角线，垂足为．

求证：是菱形．

（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．

①求证：是菱形；

②延长至点，连接交于点，若，求的值．

23．（2023·江西）综合与实践

问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系

（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，

①当时，．

②S关于t的函数解析式为．

（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．

（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．

①；

②当时，求正方形的面积．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】有理数及其分类

【解析】【解答】解：A、3是正整数，所以A正确；

B、2.1是正小数，所以B不正确；

C、0是整数，但不是正数，所以C不正确；

D、-2是负整数。所以D不正确；

故答案为：A。

【分析】根据正整数的定义进行选择即可得出答案。

2．【答案】B

【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、它是轴对称图形，所以A不符合题意；

B、它既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以B符合题意；

C、它不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以C不符合题意；

D、它不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】根据中心对称图形的定义进行识别即可。

3．【答案】D

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：a-4≥0，∴a≥4.

A、-1＜4，所以A不符合题意；

B、0＜4，所以B不符合题意；

C、2＜4，所以C不符合题意；

D、6＞4，所以D符合题意。

故答案为：D。

【分析】根据二次根式有意义的条件，可列出不等式a-4≥0，解不等式求得a≥4，然后进行选择即可。

4．【答案】A

【知识点】积的乘方；幂的乘方

【解析】【解答】解：（2m2）3=23m2×3=8m6.

故答案为：A。

【分析】根据积的乘方及幂的乘方运算法则正确计算，即可找到答案。

5．【答案】C

【知识点】直角三角形的性质

【解析】【解答】解：因为∠AOC=35°，所以∠BOD=∠AOC=35°，在直角三角形OBD中，∠OBD=90°-∠BOD=90°-35°=55°。

故答案为：C。

【分析】根据入射角等于反射角，可以得出∠BOD=∠AOC=35°，然后根据直角三角形的两个锐角互余，可直接求得∠OBD。

6．【答案】D

【知识点】直线、射线、线段；确定圆的条件

【解析】【解答】解：直线l上的四个点A、B、C、D可以最多组成六条不同的线段，它们分别为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，又因为点P不在直线l上，所以最多画出圆的个数为6个。

故答案为：D。

【分析】首先确定在直线l上的几个点可最多组成线段的条数，然后根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，可得出最多可画出圆的个数。

7．【答案】-5

【知识点】单项式的次数和系数

【解析】【解答】解：-5ab的系数为：-5.

故第1空答案为：-5

【分析】根据单项式的系数的定义直接得出答案即可。

8．【答案】

【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数

【解析】【解答】解：18000000=1.8×107。

故第1空答案为：1.8×107。

【分析】根据绝对值大于1的数的科学记数法，直接改写即可。

9．【答案】2a+1

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】（a+1）2﹣a2

=a2+2a+1﹣a2

=2a+1，

故答案为：2a+1.

【分析】根据完全平方公式去括号，再合并同类项即可。

10．【答案】2

【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定；对顶角及其性质

【解析】【解答】解：很具平行线的性质知：∠ACB=∠α=60°，又因为∠A=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=BC，又BC=3-1=2，∴AB=2。

故第1空答案为：2.

【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠α=60°，结合∠A=60°，可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AB=BC=2即可。

11．【答案】6

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵∠=ABC=∠AQP=90°，∴BC∥PQ，∴△ABD∽△AQP，∴∴∴PQ=6(m)。

故第1空答案为：6.

【分析】根据两条直线平行判定△ABD∽△AQP，然后根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得PQ的长度。

12．【答案】或或

【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆与圆的位置关系；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：如图所示，因为动点P始终满足条件AP=AB，所以点P在以点A为圆心，AB的长为半径的圆上，如图，作出圆A，延长BA与圆A相交于点P3，连接CA并延长，分别交圆A于点P1和P2，连接DP1、DP2、DP3、CP3，要使△PCD为直角三角形，可分为三种情况：①∠PCD=90°时，∵BP3是圆A的直径，∴BP3=2AB，又∵BC=2AB，∴BP3=BC，∵∠B=60°，∴△BCP3是等边三角形，又点A是BP3的中点，∴CA⊥BP3，∴∠BAC=∠CAP3=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=90°，所以当点P在直线AC上时，△PCD是直角三角形，如图所示点P1和点P2符合条件，当点P在点P1的位置上时，∠α=∠BAC=90°；当点P在点P2位置上时，∠α=∠BAC+∠CAP2=90°+180°=270°；②∠PDC=90°时，如图，由①知：CD∥AP3，CD=AP3，∴四边形AP3DC是平行四边形，∴∠AP3D=∠ACD=90°，所以，点P3也符合条件，此时∠α=∠BAP3=180°；③∠CPD=90°时，取CD的中点G，一点G为圆心，CG的长为半径作圆G，在直角三角形ABC中，∠BCA=30°，∠BAC=90°，∴又∴在直角三角形AGC中，又∴AG＞AB+CG，∴圆A与圆G外离，又因为点P在圆A上，∴∠CPD＜90°，所以不存在∠BAC=90°。综上所述，旋转角α的度数为90°或270°或180°。

故第1空答案为：90°或270°或180°。

【分析】首先确定点P的运动轨迹为：以点A为圆心，以AB的长为半径的圆，然后分成三种情况进行讨论，①∠PCD=90°时，可得出符合条件的两个点P1和P2，分别求出此时∠α的大小；②∠PDC=90°时，可得出符合条件的一个点P3，求出此时∠α的大小；③∠CPD=90°时，根据两圆的位置关系可以判断，∠PDC＜90°，即∠PDC=90°的情况不存在。所以最后得出结论，当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为90°或270°或180°。

13．【答案】（1）解：原式=2+1-1

=2

（2）解：∵平分，

∴，

在和中，

，

∴．

【知识点】三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义

【解析】【分析】（1）运用到开立方、特殊三角函数值、零指数幂的知识点，计算即可；

（2）根据SAS直接判定两个三角形全等即可。

14．【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；

（2）解：如图，即为所求作的点；

【知识点】垂线段最短；正方形的性质；作图-三角形

【解析】【分析】（1）先找出点K，它满足∠AKB=90°，且AK=BK，然后找到如图所示的点C，满足∠ACB＜∠AKB，即∠ACB＜90°，且△ABC是等腰三角形，所以底角不可能大于或等于90°，所以△ABC是锐角三角形；

（2）根据垂线段最短，需要满足PQ⊥AB，如图，根据正方形的对角线互相垂直，找到点Q的位置即可。

15．【答案】（1）②；③

（2）解：甲同学的解法：

原式

；

乙同学的解法：

原式

．

【知识点】分式的基本性质；分式的通分；分式的混合运算

【解析】【解答】解：甲同学是先进行异分母分式加法，通分的依据是分式的基本性质；乙同学是利用乘法分配律先进行乘法运算。

故第1空的答案为：②；第2空的答案为：③。

【分析】（1）根据两同学的解答过程，直接进行选择即可；

（2）选择甲：应该按照甲同学的思路，先进行异分母分式的加法运算，然后再进行分式的乘法运算，即可得出结果；

选择乙：应该按照乙同学的思路，先利用乘法分配律，把括号内的两项分别乘括号外的因式，再把所得的积相加即可。

16．【答案】（1）随机

（2）解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，

所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率．

【知识点】列表法与树状图法；概率公式

【解析】【解答】解：（1）"甲、乙同学都被选为宣传员"这件事件有可能发生，所以是随机事件；

故第1空答案为：随机；

【分析】（1）根据随机事件，必然事件，和不可能事件的定义直接进行选择即可；

（2）画出树状图，得出所有机会均等的结果有12种，其中甲、丁都被选为宣传职员这件事件的结果有2种，根据概率计算公式，求得该事件的概率即可。

17．【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，

∴，，即，

∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为．

（2）解：∵直线的图象与y轴交于点B，

∴当时，，

∴，

∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C，

∴点C的纵坐标为1，

∴，即，

∴，

∴，

∴．

【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积

【解析】【分析】（1）根据点A（2，3）是直线y=x+b和反比例函数的交点，利用待定系数法，分别代入关系式中，求得k、b的值，即可得出它们的函数表达式；

（2）首先求出B、C的坐标，然后根据三角形的面积计算公式，求出△ABC的面积即可。

18．【答案】（1）解：设该班的学生人数为x人，

由题意得，，

解得，

∴该班的学生人数为45人；

（2）解：由（1）得一共购买了棵树苗，

设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，

由题意得，，

解得，

∴m得最小值为80，

∴至少购买了甲树苗80棵，

答：至少购买了甲树苗80棵．

【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题

【解析】【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据如果每人种3棵，则剩余20棵，树苗棵树可表示为：（3x+20）棵；根据如果每人种4棵，则还缺25棵，树苗棵树可表示为：（4x-25）棵，可得方程3x+20=4x-25，解方程可得答案；

（2）由（1）可知树苗总数为：155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗（155-m）棵树苗，根据购买这批树苗的总费用没有超过5400元，可得不等式，解不等式可得解集m≥80，根据题意取最小的整数解即可。

19．【答案】（1）解：∵，

∴

∵

即

∴

即

∴；

（2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，

在中，

∴，

∴

∴

在中，，

∴

（米）．

答：雕塑的高约为米．

【知识点】垂线；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；解直角三角形的应用

【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和，可求得∠BCD=90°，从而得出结论；

（2）如图所示，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，求雕塑的高，也就是求线段EF的长度。可先在Rt△BCD中，通过解直角三角形求得BD的长度，进一步求出BE=BD+DE，然后在Rt△BFE中，通过解直角三角形可求得EF的长度，也就是雕塑的高。

20．【答案】（1）解：如图所示，连接，

∵是的直径，且，

∴，

∵E为上一点，且，

∴，

∴，

∴的长；

（2）解：证明：如图所示，连接，

∵，，

∴，

∴，

∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∵是的半径，

∴是的切线．

【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算

【解析】【分析】（1）先根据直径求得半径为2，再根据圆周角定理求得∠AOE=2∠ADE=80°，再根据邻补关系求得∠BOE，所以就可以利用弧长计算功能公式计算出圆弧BE的长度即可；

（2）首先根据三角形内角和求出∠AED的大小，再根据圆周角定理得出∠ABD的大小，再在Rt△ABD中，求出∠BAD的度数，再在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC=90°，从容得出结论CB为的切线．

21．【答案】（1）68；23%

（2）320

（3）解：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”

小胡的说法合理；

初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为这一组，

而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为的这一组，

而，

∴小胡的说法合理．

②由题意可得：（人），

∴该区有26000名中学生，估计该区有名中学生视力不良；

合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．

【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；频数与频率；统计表；条形统计图

【解析】【解答】（1）m=200-（8+16+28+34+46）=200-132=68；n=46÷200=23％；

故第一空答案为：68；第二空答案为：23％；

（2）由统计图知，被调查的高中学生视力情况的样本容量为：14+44+60+82+65+55=320；

故第1空答案为：320；

【分析】（1）因为被调查的初中学生视力情况的样本容量为200，所以只需用样本容量减去其它各组的人数，即可得出m的值；知道1.1及以上这组的人数，除以样本容量，就可求得这组的频率n；

（2）样本容量为各组人数之和，把各组人数相加就得出了样本容量；

（3）①分别求出初中组合高中组所抽取样本的中位数所在的范围，即可得出结论；②先求出初中组样本视力不良的频率，再用该区初中学生总数×样本频率即可估计该区有多少名初中学生视力不良；建议主要是从保护视力角度出发，合理即可。

22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∴，，

∵

∴，

在中，

∴

∴，

同理可得，则，

又∵

∴

∴四边形是菱形；

（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，．

∴

在中，，，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴，

∴四边形是菱形；

②∵四边形是菱形；

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

如图所示，过点作交于点，

∴，

∴，

∴．

【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等得出AB=BC=CD=DA，从而判定四边形ABCD是菱形；

（2）①在△AOD中，利用三边长度，根据勾股定理的逆定理，得出∠AOD=90°，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论；②如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G，可得：，所以，要求只需求即可，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠ACD，结合已知，可得∠E=∠CDE，所以，再根据三角形中位线定理的推论，得出，从而得出，所以。

23．【答案】（1）3；

（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，

∴，

解得，

∴当时，，

由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，

∴可设S关于t的函数解析式为，

把代入中得：，

解得，

∴S关于t的函数解析式为，

在中，当时，解得或，

∴；

（3）解：①4；②由（3）①可得，∵，∴，∴，∴．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；通过函数图象获取信息并解决问题

【解析】【解答】（1）解：①当t=1时，CP=1，∴S=PD2=CP2+CD2=2+1=3；②CP=t，，∴S=PD2=CP2+CD2=t2+2；

故第1空答案为：3；第2空答案为：S=t2+2；

（3）①如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，∴∠AHD=∠C=90°，又∠A=∠A，∴△AHD∽△ACB，∴，由（2）知，BC=2，，AB=6，且，∴，∴AH=4，，若存在3个时刻t1、t2、t3（t1＜t2t＜3）对应的正方形DOEF的面积均相等，则DP1=DP2=DP3，在△P1DC和Rt△HDP2中，∵DP1=DP2，DC=DH，∴Rt△P1DC≌Rt△P2DH，∴CP1=HP2，又CP1=t1，HP2=BC+BH-t2=2+2-t2=4-t2，∴t1=4-t2，∴t1+t2=4；

故第1空答案为：4；

【分析】（1）先求出当t=1时CP的长度，再根据勾股定理可求得PD2，也就是S的值；

（2）由图象知抛物线的顶点坐标（4，2），可设S关于t的函数解析式为S=a（t-4）2+2，又由图象知点P运动到点B时，S=6，所以可得t2+2=6，得t=2，即图象经过（2，6），把（2，6）代入S=a（t-4）2+2中得a=1，于是得出函数解析式；再根据函数图象求得当函数值为18时自变量t的值，结合题意求得AB即可；

（3）①图所示，过点D作DH⊥AB于点H，通过证明△AHD∽△ACB，可求得AH，DH的长度，然后再根据若存在3个时刻t1、t2、t3（t1＜t2t＜3）对应的正方形DOEF的面积均相等，可得出DP1=DP2=DP3，从而证得Rt△P1DC≌Rt△P2DH，根据CP1=HP2，得出关于t1、t2的式子，得出结果t1+t2=4；②由（3）①可得t3=t1+4，结合t3=4t1，得t1=，因为，∴S=t2+2，得出此时S的值即可。

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江西省2023年中考数学试卷

一、单选题

1．（2023·江西）下列各数中，正整数是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】有理数及其分类

【解析】【解答】解：A、3是正整数，所以A正确；

B、2.1是正小数，所以B不正确；

C、0是整数，但不是正数，所以C不正确；

D、-2是负整数。所以D不正确；

故答案为：A。

【分析】根据正整数的定义进行选择即可得出答案。

2．（2023·江西）下列图形中，是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、它是轴对称图形，所以A不符合题意；

B、它既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以B符合题意；

C、它不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以C不符合题意；

D、它不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】根据中心对称图形的定义进行识别即可。

3．（2023·江西）若有意义，则的值可以是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：a-4≥0，∴a≥4.

A、-1＜4，所以A不符合题意；

B、0＜4，所以B不符合题意；

C、2＜4，所以C不符合题意；

D、6＞4，所以D符合题意。

故答案为：D。

【分析】根据二次根式有意义的条件，可列出不等式a-4≥0，解不等式求得a≥4，然后进行选择即可。

4．（2023·江西）计算的结果为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】积的乘方；幂的乘方

【解析】【解答】解：（2m2）3=23m2×3=8m6.

故答案为：A。

【分析】根据积的乘方及幂的乘方运算法则正确计算，即可找到答案。

5．（2023·江西）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】直角三角形的性质

【解析】【解答】解：因为∠AOC=35°，所以∠BOD=∠AOC=35°，在直角三角形OBD中，∠OBD=90°-∠BOD=90°-35°=55°。

故答案为：C。

【分析】根据入射角等于反射角，可以得出∠BOD=∠AOC=35°，然后根据直角三角形的两个锐角互余，可直接求得∠OBD。

6．（2023·江西）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【答案】D

【知识点】直线、射线、线段；确定圆的条件

【解析】【解答】解：直线l上的四个点A、B、C、D可以最多组成六条不同的线段，它们分别为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，又因为点P不在直线l上，所以最多画出圆的个数为6个。

故答案为：D。

【分析】首先确定在直线l上的几个点可最多组成线段的条数，然后根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，可得出最多可画出圆的个数。

二、填空题

7．（2023·江西）单项式的系数为．

【答案】-5

【知识点】单项式的次数和系数

【解析】【解答】解：-5ab的系数为：-5.

故第1空答案为：-5

【分析】根据单项式的系数的定义直接得出答案即可。

8．（2023·江西）我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为．

【答案】

【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数

【解析】【解答】解：18000000=1.8×107。

故第1空答案为：1.8×107。

【分析】根据绝对值大于1的数的科学记数法，直接改写即可。

9．（2023·上海）计算：（a+1）2﹣a2=．

【答案】2a+1

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】（a+1）2﹣a2

=a2+2a+1﹣a2

=2a+1，

故答案为：2a+1.

【分析】根据完全平方公式去括号，再合并同类项即可。

10．（2023·江西）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为cm．

【答案】2

【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定；对顶角及其性质

【解析】【解答】解：很具平行线的性质知：∠ACB=∠α=60°，又因为∠A=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=BC，又BC=3-1=2，∴AB=2。

故第1空答案为：2.

【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠α=60°，结合∠A=60°，可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AB=BC=2即可。

11．（2023·江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高m．

【答案】6

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵∠=ABC=∠AQP=90°，∴BC∥PQ，∴△ABD∽△AQP，∴∴∴PQ=6(m)。

故第1空答案为：6.

【分析】根据两条直线平行判定△ABD∽△AQP，然后根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得PQ的长度。

12．（2023·江西）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为．

【答案】或或

【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆与圆的位置关系；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：如图所示，因为动点P始终满足条件AP=AB，所以点P在以点A为圆心，AB的长为半径的圆上，如图，作出圆A，延长BA与圆A相交于点P3，连接CA并延长，分别交圆A于点P1和P2，连接DP1、DP2、DP3、CP3，要使△PCD为直角三角形，可分为三种情况：①∠PCD=90°时，∵BP3是圆A的直径，∴BP3=2AB，又∵BC=2AB，∴BP3=BC，∵∠B=60°，∴△BCP3是等边三角形，又点A是BP3的中点，∴CA⊥BP3，∴∠BAC=∠CAP3=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=90°，所以当点P在直线AC上时，△PCD是直角三角形，如图所示点P1和点P2符合条件，当点P在点P1的位置上时，∠α=∠BAC=90°；当点P在点P2位置上时，∠α=∠BAC+∠CAP2=90°+180°=270°；②∠PDC=90°时，如图，由①知：CD∥AP3，CD=AP3，∴四边形AP3DC是平行四边形，∴∠AP3D=∠ACD=90°，所以，点P3也符合条件，此时∠α=∠BAP3=180°；③∠CPD=90°时，取CD的中点G，一点G为圆心，CG的长为半径作圆G，在直角三角形ABC中，∠BCA=30°，∠BAC=90°，∴又∴在直角三角形AGC中，又∴AG＞AB+CG，∴圆A与圆G外离，又因为点P在圆A上，∴∠CPD＜90°，所以不存在∠BAC=90°。综上所述，旋转角α的度数为90°或270°或180°。

故第1空答案为：90°或270°或180°。

【分析】首先确定点P的运动轨迹为：以点A为圆心，以AB的长为半径的圆，然后分成三种情况进行讨论，①∠PCD=90°时，可得出符合条件的两个点P1和P2，分别求出此时∠α的大小；②∠PDC=90°时，可得出符合条件的一个点P3，求出此时∠α的大小；③∠CPD=90°时，根据两圆的位置关系可以判断，∠PDC＜90°，即∠PDC=90°的情况不存在。所以最后得出结论，当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为90°或270°或180°。

三、解答题

13．（2023·江西）（1）计算：

（2）如图，，平分．求证：．

【答案】（1）解：原式=2+1-1

=2

（2）解：∵平分，

∴，

在和中，

，

∴．

【知识点】三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义

【解析】【分析】（1）运用到开立方、特殊三角函数值、零指数幂的知识点，计算即可；

（2）根据SAS直接判定两个三角形全等即可。

14．（2023·江西）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中作锐角，使点C在格点上；

（2）在图2中的线段上作点Q，使最短．

【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；

（2）解：如图，即为所求作的点；

【知识点】垂线段最短；正方形的性质；作图-三角形

【解析】【分析】（1）先找出点K，它满足∠AKB=90°，且AK=BK，然后找到如图所示的点C，满足∠ACB＜∠AKB，即∠ACB＜90°，且△ABC是等腰三角形，所以底角不可能大于或等于90°，所以△ABC是锐角三角形；

（2）根据垂线段最短，需要满足PQ⊥AB，如图，根据正方形的对角线互相垂直，找到点Q的位置即可。

15．（2023·江西）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

解：原式……

解：原式……

（1）甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是；（填序号）

①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．

（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．

【答案】（1）②；③

（2）解：甲同学的解法：

原式

；

乙同学的解法：

原式

．

【知识点】分式的基本性质；分式的通分；分式的混合运算

【解析】【解答】解：甲同学是先进行异分母分式加法，通分的依据是分式的基本性质；乙同学是利用乘法分配律先进行乘法运算。

故第1空的答案为：②；第2空的答案为：③。

【分析】（1）根据两同学的解答过程，直接进行选择即可；

（2）选择甲：应该按照甲同学的思路，先进行异分母分式的加法运算，然后再进行分式的乘法运算，即可得出结果；

选择乙：应该按照乙同学的思路，先利用乘法分配律，把括号内的两项分别乘括号外的因式，再把所得的积相加即可。

16．（2023·江西）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时期好少年”的宣传活动根据活动要求，每班需要2名宣传员某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．

（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）

（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．

【答案】（1）随机

（2）解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，

所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率．

【知识点】列表法与树状图法；概率公式

【解析】【解答】解：（1）"甲、乙同学都被选为宣传员"这件事件有可能发生，所以是随机事件；

故第1空答案为：随机；

【分析】（1）根据随机事件，必然事件，和不可能事件的定义直接进行选择即可；

（2）画出树状图，得出所有机会均等的结果有12种，其中甲、丁都被选为宣传职员这件事件的结果有2种，根据概率计算公式，求得该事件的概率即可。

17．（2023·江西）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．

（1）求直线和反比例函数图象的表达式；

（2）求的面积．

【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，

∴，，即，

∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为．

（2）解：∵直线的图象与y轴交于点B，

∴当时，，

∴，

∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C，

∴点C的纵坐标为1，

∴，即，

∴，

∴，

∴．

【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积

【解析】【分析】（1）根据点A（2，3）是直线y=x+b和反比例函数的交点，利用待定系数法，分别代入关系式中，求得k、b的值，即可得出它们的函数表达式；

（2）首先求出B、C的坐标，然后根据三角形的面积计算公式，求出△ABC的面积即可。

18．（2023·江西）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．

（1）求该班的学生人数；

（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？

【答案】（1）解：设该班的学生人数为x人，

由题意得，，

解得，

∴该班的学生人数为45人；

（2）解：由（1）得一共购买了棵树苗，

设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，

由题意得，，

解得，

∴m得最小值为80，

∴至少购买了甲树苗80棵，

答：至少购买了甲树苗80棵．

【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题

【解析】【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据如果每人种3棵，则剩余20棵，树苗棵树可表示为：（3x+20）棵；根据如果每人种4棵，则还缺25棵，树苗棵树可表示为：（4x-25）棵，可得方程3x+20=4x-25，解方程可得答案；

（2）由（1）可知树苗总数为：155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗（155-m）棵树苗，根据购买这批树苗的总费用没有超过5400元，可得不等式，解不等式可得解集m≥80，根据题意取最小的整数解即可。

19．（2023·江西）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保小数点后一位）

（1）连接，求证：；

（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．

（参考数据：）

【答案】（1）解：∵，

∴

∵

即

∴

即

∴；

（2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，

在中，

∴，

∴

∴

在中，，

∴

（米）．

答：雕塑的高约为米．

【知识点】垂线；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；解直角三角形的应用

【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和，可求得∠BCD=90°，从而得出结论；

（2）如图所示，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，求雕塑的高，也就是求线段EF的长度。可先在Rt△BCD中，通过解直角三角形求得BD的长度，进一步求出BE=BD+DE，然后在Rt△BFE中，通过解直角三角形可求得EF的长度，也就是雕塑的高。

20．（2023·江西）如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．

（1）求的长；

（2）若，求证：为的切线．

【答案】（1）解：如图所示，连接，

∵是的直径，且，

∴，

∵E为上一点，且，

∴，

∴，

∴的长；

（2）解：证明：如图所示，连接，

∵，，

∴，

∴，

∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∵是的半径，

∴是的切线．

【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算

【解析】【分析】（1）先根据直径求得半径为2，再根据圆周角定理求得∠AOE=2∠ADE=80°，再根据邻补关系求得∠BOE，所以就可以利用弧长计算功能公式计算出圆弧BE的长度即可；

（2）首先根据三角形内角和求出∠AED的大小，再根据圆周角定理得出∠ABD的大小，再在Rt△ABD中，求出∠BAD的度数，再在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC=90°，从容得出结论CB为的切线．

21．（2023·江西）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．

整理描述

初中学生视力情况统计表

视力人数百分比

0.6及以下8

0.716

0.828

0.934

m

及以上46n

合计200

高中学生视力情况统计图

（1），；

（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为；

（3）分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由：

②约定：视力未达到为视力不良．若该区有26000名初中学生，估计该区有多少名初中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．

【答案】（1）68；23%

（2）320

（3）解：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”

小胡的说法合理；

初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为这一组，

而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为的这一组，

而，

∴小胡的说法合理．

②由题意可得：（人），

∴该区有26000名中学生，估计该区有名中学生视力不良；

合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．

【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；频数与频率；统计表；条形统计图

【解析】【解答】（1）m=200-（8+16+28+34+46）=200-132=68；n=46÷200=23％；

故第一空答案为：68；第二空答案为：23％；

（2）由统计图知，被调查的高中学生视力情况的样本容量为：14+44+60+82+65+55=320；

故第1空答案为：320；

【分析】（1）因为被调查的初中学生视力情况的样本容量为200，所以只需用样本容量减去其它各组的人数，即可得出m的值；知道1.1及以上这组的人数，除以样本容量，就可求得这组的频率n；

（2）样本容量为各组人数之和，把各组人数相加就得出了样本容量；

（3）①分别求出初中组合高中组所抽取样本的中位数所在的范围，即可得出结论；②先求出初中组样本视力不良的频率，再用该区初中学生总数×样本频率即可估计该区有多少名初中学生视力不良；建议主要是从保护视力角度出发，合理即可。

22．（2023·江西）课本再现

思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

已知：在中，对角线，垂足为．

求证：是菱形．

（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．

①求证