北师大版九年级上册数学期中训练试题（含解析）-2

第第页北师大版九年级上册数学期中训练试题（含解析）北师大版九年级上册数学期中训练试题

一、选择题。（每小题只有一个正确答案）

1．方程的解是（）

A．B．C．，D．

2．上海世博会的某纪念品原价150元，连续两次涨价a%后售价为216元．下列所列方程中正确的是（）

A．150(1＋2a%)＝216B．150(1＋a%)2＝216

C．150(1＋a%)×2＝216D．150(1＋a%)＋150(1＋a%)2＝216

3．下列命题中，真命题是（）

A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形

C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形

4．从等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段中随机抽取两个，得到的都是中心对称图形的概率是()

A．B．C．D．

5．把方程x2﹣x﹣5=0，化成（x+m）2=n的形式得（）

A．（x﹣）2=B．（x﹣）2=

C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=

6．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（）

A．10cmB．12cmC．16cmD．12cm或16cm

7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）

A．B．C．D．

8．如图，四边形ABCD为菱形，则下列描述不一定正确的是（）

A．CA平分∠BCDB．AC，BD互相平分C．AC＝CDD．∠ABD+∠ACD＝90°

9．已知一元二次方程的两个实数根分别是x1、x2则x12x2x1x22的值为

A．-6B．-3C．3D．6

10．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：

①∠ABE＝∠DCE；②∠AHB＝∠EHD；③S△BHE＝S△CHD；④AG⊥BE．其中正确的是

A．①③B．①②③④C．①②③D．①③④

二、填空题

11．方程（x-3）2=x-3的根是_________________．

12．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=__．

13．已知x1，x2是方程x2+3x+1＝0的两实数根，则的值为_________．

14．如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝_________．

15．已知（x、y、z均不为零），则_____________．

三、解答题

16．解方程（用指定方法解下列方程）：

（1）(配方法)

（2）(公式法)

17．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．

（1）求证：△ACE≌△DCB；

（2）求证：△ADF∽△BAD．

18．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.

(1)不解方程，判断方程的根的情况；

(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2

19．某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆.

（1）当售价为万元/辆时，平均每周的销售利润为___________万元；

（2）若该店计划平均每周的销售利润是万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．

20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

21．某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：

（1）本次共调查了名家长；扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角是度．已知该校共有1600名家长，则“不赞同”的家长约有名；请补全条形统计图；

（2）从“不赞同”的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女”的概率．

22．如图，在BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）若CA＝CB，则ADCF为（填矩形、菱形、正方形中的一个）．

23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停．

（1）若P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2；

（2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似．

24．已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．

（1）当α＝60°时（如图1），

①判断△ABC的形状，并说明理由；

②求证：BD＝AE；

（2）当α＝90°时（如图2），求的值．

25．正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．

（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．

①求证：DF=EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系；并说出理由；

（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）

参考答案

1．C

【分析】

直接根据一元二次方程的解法进行解答即可．

【详解】

由可得：；

解得：；

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

2．B

【解析】

试题分析：上海世博会的某纪念品原价150元，一次涨价a%后售价为，即；第二次涨价a%后售价，即

=216，所以选B

考点：列方程解应用题

点评：本题考查列方程解应用题，要求考生掌握列方程的方法，关键是搞清题意之间量与量之间的关系

3．D

【详解】

A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；

B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；

C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；

D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；

故选D．

4．C

【分析】

先判断出五种图形中哪些是中心对称图形，再利用列表法即可求得抽取两个都是中心对称图形的概率．

【详解】

五种图形中，属于中心对称图形的有：平行四边形、菱形、线段

将等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段分别记作A，B，C，D，E

列表可得

ABCDE

AABACADAE

BBABCBDBE

CCACBCDCE

DDADBDCDE

EEAEBECED

总共有20种等可能的情况，其中抽取两个都是中心对称图形的情况有BC，BE，CB，EB，CE，EC共6种

抽取两个都是中心对称图形的概率是：

故选：C

【点睛】

本题考查了中心对称图形的识别和列表法求概率，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性都相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件的概率．

5．D

【详解】

方程x2x5=0，整理得：x23x=15，

配方得：x23x+=，即(x)2=，

故选D

6．C

【分析】

先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断，最后求出周长即可.

【详解】

解：

解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，

即AB＝3或4，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝DC＝BC，

当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；

当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，

即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，

故选C．

【点睛】

本题考查了菱形的性质和三角形的三边关系定理、解一元二次方程等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键.

7．C

【分析】

本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．

【详解】

解：∵∠BAC=∠D，

∴△ABC∽△ADE．

故选C．

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．

8．C

【分析】

由菱形的性质、等边三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴CA平分∠BCD，AC、BD互相平分，AD=CD，AB∥CD，AC⊥BD，

∴∠ABD=∠BDC，∠BDC+∠ACD=90°，

∴∠ABD+∠ACD=90°，

故选项A、B、D不符合题意；

当∠ADC=60°时，△ACD是等边三角形，则AC=CD，

∴AC=CD，不一定成立，故选项C符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

9．B

【分析】

根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=﹣1，再把x12x2+x1x22变形为x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算即可．

【详解】

根据题意得：x1+x2=3，x1x2=﹣1，所以原式=x1x2（x1+x2）=﹣1×3=－3．

故选B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1x2．

10．B

【分析】

根据正方形的性质证得，推出，可知①正确；证明，再根据对顶角相等即可得到，可知②正确；根据，求出，推出，即，故③正确；利用正方形性质证，求得，推出；求出，求得故④正确．

【详解】

解：四边形是正方形，是边上的中点，

，，，

，

，

故①正确；

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC,∠ABD=∠CBD，

∵BH=BH，

∴，

，

，

，

故②正确；

，

，

，

即，

故③正确；

四边形是正方形，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

故④正确；

故选：．

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题关键要充分利用正方形的性质：①四边相等；②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且每条对角线平分一组对角．

11．x1=3，x2=4

【详解】

解：（x﹣3）2=x﹣3，（x﹣3）2﹣（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣3﹣1）=0，∴x1=3，x2=4．故答案为x1=3，x2=4．

点睛：此题考查运用因式分解法解一元二次方程，切忌两边直接除以（x﹣3）．

12．1或4或2.5．

【分析】

需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．

【详解】

设DP=x，则CP=5-x，本题需要分两种情况情况进行讨论，①、当△PAD∽△PBC时，=

∴，解得：x=2.5；

②、当△APD∽△PBC时，=，即=，

解得：x=1或x=4，

综上所述DP=1或4或2.5

【点晴】

本题主要考查的就是三角形相似的问题和动点问题，首先将各线段用含x的代数式进行表示，然后看是否有相同的角，根据对应角的两边对应成比例将线段写成比例式的形式，然后分别进行计算得出答案．在解答这种问题的时候千万不能出现漏解的现象，每种情况都要考虑到位.

13．7

【分析】

先将通分变形为，然后根据韦达定理代入x1+x2和x1x2的值即可．

【详解】

解：

=

=，

∵x1，x2是方程x2+3x+1＝0的两实数根，

∴x1+x2=-3，x1x2=1，

∴原式=（-3）2-2=7，

故答案为：7．

【点睛】

本题考查了代数式求值，韦达定理，将原式进行变形是解题关键．

14．EF=6

【分析】

根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．

【详解】

∵a∥b∥c，

∴，

∵AB=2，CB=4，DE=3，

∴，

∴EF=6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．

15．

【分析】

根据题意，可设x=5k，y=4k，z=3k，将其代入分式即可．

【详解】

解：∵

∴设x=5k，y=4k，z=3k，将其代入分式中得：．

故答案为．

【点睛】

本题考查了比例的性质，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数k表示出x，y，z，再代入计算．

16．（1），；（2），．

【分析】

（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解；

（2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解．

【详解】

解：（1）由原方程，

移项得：，

方程二次项系数化为1，得：，

配方，得，

即，

则，

∴，；

（2），

∵，，，

∴，

∴原方程有两个不相等的实数根，

∴，

∴，；

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的应用，熟悉相关解法是解题的关键．

17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．

（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．

【详解】

解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，

∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°

∴∠ACE=∠DCB=120°．

∴△ACE≌△DCB（SAS）；

（2）∵△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠CDB．

∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，

∴DC∥BE，

∴∠CDB=∠DBE，

∴∠CAE=∠DBE，

∴∠DAF=∠DBA．

∴△ADF∽△BAD．

18．(1)有两个不相等的实数根（2）周长为13或17

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．

【详解】

（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，

∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，

∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．

将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．

当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．

∵3、5、5能够组成三角形，

∴该三角形的周长为3+5+5=13；

当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．

∵5、5、7能够组成三角形，

∴该三角形的周长为5+5+7=17．

综上所述：此三角形的周长为13或17．

【点睛】

本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．

19．（1）（2）万元

【分析】

（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；

（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．

【详解】

（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：

×1＋8＝14，

则此时，平均每周的销售利润是：（2215）×14＝98（万元）；

（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：

（25x15）（8＋2x）＝90，

解得x1＝1，x2＝5，

当x＝1时，销售数量为8＋2×1＝10（辆）；

当x＝5时，销售数量为8＋2×5＝18（辆），

为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为255＝20（万元），

答：每辆汽车的售价为20万元．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键．

20．（1）证明见解析；（2）6

【分析】

（1）利用平行四边形的性质得出∠ADF=∠DEC，利用等角的补交相等得出∠AFD=∠C，所以△ADF∽△DEC；

（2）根据相似三角形的性质得出DE的长，利用勾股定理得出AE的长.

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是平行四变形，

∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，

∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．

(2)由（1）知△ADF∽△DEC，则：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=8．∴DE=12,

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．

21．（1）200，36，720，见解析；（2）列表法见解析，

【分析】

（1）从两个统计图可得，“赞同”的有50名，占调查总人数的25%，可求出调查总人数；进而求出“无所谓”和“很赞同”的人数，很赞同的圆心角度数为360°的，样本估计总体，样本中“不赞同”的占，估计总体1600户的是“不赞同”的人数；即可补全条形统计图：

（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出1男1女的情况数，进而求出概率．

【详解】

解：（1）总人数：50÷25%＝200名，无所谓人数：200×20%＝40名，很赞同人数：200﹣90﹣50﹣40＝20名，

很赞同对应圆心角：360°×＝36°，

1600×＝720名，

故答案为：200，36，720，补全条形统计图如图所示：

（2）用列表法表示所有可能出现的情况如下：

共有20种可能出现的情况，正确“1男1女”的有12种，

∴P（1男1女）＝，

答：选中“1男1女”的概率为．

【点睛】

本题考查的知识点是条形统计图以及扇形统计图，综合利用条形统计图以及扇形统计图中的相关信息是解此题的关键．

22．（1）见解析；（2）矩形

【分析】

（1）首先证明DE是△ABC的中位线，得到E是AC的中点，又E也是DF的中点，运用对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可．

（2）先证明DE=AE=EC=,根据三角形一边的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形,得到∠ADC＝90°，即可得到ADCF为矩形．

【详解】

解：（1）在平行四边形BCFD中，

DE//BC，

∵E是DF的中点，

∴DE＝BC，

∴DE是△ABC的中位线，

∴E是AC的中点，

∴四边形ADCF是平行四边形．

（2）∵CA＝CB，DE是△ABC的中位线，

∴DE＝==AE=EC,

∴∠ADC＝90°，

∴ADCF是矩形．

故答案为：矩形．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是结合图形，熟练运用相关的判定和性质进行证明．

23．（1）则P、Q同时出发，经过（2±）秒钟S△PCQ=2cm2；（2）点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或秒秒△PCQ与△ACB相似．

【分析】

（1）根据题意用t表示出CQ，PC，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可；

（2）分△PCQ∽△ACB，△PCQ∽△BCA两种情况列出比例式，计算即可．

【详解】

（1）由题意得：AP=2t，CQ=t，则PC=8﹣2t，由题意得：×（8﹣2t）×t=2，整理得：t2﹣4t+2=0，解得：t=2±，则P、Q同时出发，经过（2±）秒钟S△PCQ=2cm2；

（2）由题意得：AP=2t，CQ=2+t，则PC=8﹣2t，分两种情况讨论：

①当△PCQ∽△ACB时，=，即=，解得：t=1.6；

②当△PCQ∽△BCA时，=，即=，解得：t=．

综上所述：点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或秒秒△PCQ与△ACB相似．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．

24．（1）①等边三角形；理由见解析；②证明见解析；（2）

【分析】

(1)①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．

（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．

【详解】

解：（1