人教A版（2023）选修一3.1.2椭圆的简单几何性质（含解析）

第第页人教A版（2023）选修一3.1.2椭圆的简单几何性质（含解析）人教A版（2023）选修一3.1.2椭圆的简单几何性质

（共17题）

一、选择题（共10题）

已知椭圆分别过点和，则该椭圆的焦距为

A．B．C．D．

椭圆的焦点坐标为

A．，B．，

C．，D．，

已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的标准方程是

A．B．C．D．

已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，，左焦点为，以原点为圆心的圆与直线相切，且该圆与轴的正半轴交于点，过点的直线交椭圆于，两点．若四边形是平行四边形，则该椭圆的离心率为

A．B．C．D．

万众瞩目的北京冬奥会将于年月日正式开幕，继年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为

A．B．C．D．

中心在坐标原心、焦点在轴，且长轴长为、焦距为的椭圆的标准方程为

A．B．C．D．

椭圆的两焦点之间的距离为

A．B．C．D．

以，为焦点且与直线有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是

A．B．C．D．

若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为

A．B．C．D．

已知点，为椭圆上的动点，则，两点间的最大距离是

A．B．C．D．

二、填空题（共4题）

如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率是．

已知动点在椭圆上，若点的坐标为，，且，则的最小值是．

已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为．

设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为．

三、解答题（共3题）

设椭圆的左、右顶点分别为，，且左、右焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点．直线与椭圆的另一交点为，直线与直线交于点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若，试求直线的方程；

(3)如果，试求的取值范围．

已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于，两点．

(1)求的周长；

(2)设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若，求点的横坐标；

(3)设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点．求面积的最大值．

已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于，两点，点为椭圆上一动点，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积．

答案

一、选择题（共10题）

1.【答案】B

【解析】由题意可得，，所以，，

所以，从而．

2.【答案】D

【解析】椭圆，焦点在轴上，

可得，，所以，

所以椭圆的焦点坐标．

3.【答案】A

【解析】依题意，椭圆的焦点在轴上，设其方程为，则

所以，，所以该椭圆的标准方程为．

4.【答案】A

【解析】因为圆与直线相切，

所以圆的半径为，即，

因为四边形是平行四边形，

所以点的坐标为，

代入椭圆方程得，

所以，

又，

所以．

5.【答案】B

【解析】因为两个椭圆的离心率相同，

所以，

所以，

所以，

所以小椭圆的长轴长为．

6.【答案】A

【解析】由题可得，，故，，又焦点在轴上，

所以所求椭圆的标准方程为．

7.【答案】C

【解析】化为标准方程为，则，

则两焦点之间的距离．

8.【答案】C

【解析】设椭圆的方程为，

根据题意，可得，则，

所以，

所以椭圆的离心率为，

因为直线与椭圆有公共点，

联立

整理得，

由，

整理得，解得或（舍去），

所以的最小值为，此时离心率取得最大值，

所以椭圆的方程为．

9.【答案】B

【解析】由题意得，设，

则，

又点在椭圆上，故，

所以，

又，

所以当时，取得最大值，即的最大值为．

10.【答案】D

【解析】设点坐标为，

则

，

当时，．

二、填空题（共4题）

11.【答案】

【解析】因为，，，，

所以，．

因为，所以，即，

故，解得（负值舍去）．

12.【答案】

【解析】易知点是椭圆的右焦点．

因为，

所以，

所以，

因为椭圆的右顶点到右焦点的距离最小，故，

所以．

13.【答案】

【解析】由题意知，离心率，

因为在直线上移动，所以．

点关于直线的对称点，设，则

解得即有，

则，

当，，共线时，有最小值，

对应的离心率有最大值．

14.【答案】

【解析】当是椭圆的上、下顶点时，最大，

所以，

所以，

所以．

因为，，

所以，

则椭圆的离心率的取值范围为．

三、解答题（共3题）

15.【答案】

(1)由题意列出方程组：

解得：，，．

故椭圆方程为：

(2)设直线

则与直线的交点．

又，所以设直线，

由解得，

则直线的斜率为

因为，故，又，解得，

则直线的方程为．

(3)由（Ⅱ）中知，设直线，

由解得，

联立，解得，

因为，

所以，

则，

因为在为减函数，

所以．

16.【答案】

(1)由已知得，椭圆的长半轴长为，即，

由椭圆的定义知，，且，

相加得，即，

所以的周长为．

(2)由题意得，，，

设，，

由，得，，

即，

因为点在线段上，

所以，满足的方程为

将代入，得，

联立方程组消去，并整理得，

解得（舍）或，

所以，即点的横坐标为．

(3)设，，，直线的方程为，

则点的坐标为，直线的方程为，

即，

令，得

联立方程组消去，并整理得，

由一元二次方程根与系数的关系得，，

所以，即，

则得，

因为，

所以，

因此面积的最大值为．

17.【答案】

(1)因为椭圆的离心率为，且经过点，

所以解得，，

所以椭圆的方程为．

(2)将直线方程代入中，消去得，．

解得或．

所以点，