上海市东中学高一数学理摸底试卷含解析

上海市东中学高一数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且，点F是BD上靠近D的四等分点，则（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】由题意，，，又由，，代入化简，即可求解．【详解】由题意，因为，且点是上靠近的四等分点，∴，，∴，∵，，∴.故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理、向量的三角形法则，其中解答中熟记平面向量的基本定理和向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.如果不等式解集为?，那么

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选B4.四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程与时间的函数关系式分别是，，，，如果运动的时间足够长，则运动在最前面的物体一定是 A.

B.

C.

D. 参考答案：D5.函数在区间(，)上的图象为

(

)(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：C略6.函数的零点的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】利用函数的单调性和零点存在性定理，判断出函数f(x)零点的个数.【详解】由于函数定义域为，在定义域上是增函数，，，，根据零点存在性定理，结合f(x)的单调性可知f(x)在有唯一零点.故选：B【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，考查函数单调性的判断，属于基础题.7.若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内，那么下列命题中正确的是(

)A．f（x）在区间（2，3）内有零点 B．f（x）在区间（3，4）内有零点C．f（x）在区间（3，16）内有零点 D．f（x）在区间（0，2）内没零点参考答案：D考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由已知函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内，那么函数f（x）在区间（0，2）和（4，16）必然无零点，据此可用反证法证明．解答：解：下面用反证法证明f（x）在区间（0，2）内没零点．假设函数f（x）在区间（0，2）内有零点，由已知函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内，这也就是说函数f（x）唯一的一个零点也在区间（2，4）内，再由假设得到函数f（x）在区间（0，2）和（2，4）内分别各有一个零点，由此得到函数f（x）有两个不同零点．这与已知函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内矛盾．故假设不成立，因此函数f（x）在区间（0，2）内没零点．故选D．点评：本题考查函数的零点，正确理解已知条件和使用反证法是解题的关键8.根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（

）．－101230．3712．727．3920．0912345A．（－1，0）

B．（0，1）

C．（1，2）

D．（2，3）参考答案：C9.如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处B的时间为（）分钟．A.24 B.36 C.48 D.60参考答案：A【分析】利用余弦定理求出的长度，然后根据速度、时间、路程之间的关系求出时间即可.【详解】由题意可知：，运用余弦定理可知：该船到求助处的时间，故本题选A.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.10.等比数列{an}中，a9＋a10=a(a≠0)，a19＋a20=b，则a99＋a100等于（

）

A．

B．()9

C．

D．()10参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以点C(-1，2)为圆心且与x轴相切的圆的方程为___________.参考答案：略12.若函数，则_________；参考答案：略13.过点且垂直于直线的直线方程是 ．参考答案：14.

已知向量夹角为

，且；则参考答案：15.P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA．PB．PC于A′．B′．C′，若PA′：AA′=2：3，则△A′B′C′与△ABC的面积比等于

．参考答案：4：25或4：1【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】由题意推出PA′：PA的值，得到A′B′：AB的值，求出△A′B′C′与△ABC的面积比即可．【解答】解：由题意画出图形如图：因为平面α∥平面ABC，α交线段PA．PB．PC于A′．B′．C′，若PA′：AA′=2：3，所以A′B′∥AB，∴△PA′B′∽△PABPA′：PA=2：5，A′B′：AB=2：5，同理A′C′∥AC，A′C′：AC=2：5，∠B′A′C′=∠BAC．===．同理如图（2）=4故答案为：4：25．或4：116.函数f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定义在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函数，则=．参考答案：3【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由偶函数的定义域关于原点对称，可求a及b的值，然后把a及b的值代入函数f（x）进行计算即可【解答】解：∵函数f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定义在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函数，∴a=2a﹣2，解得a=2，由f（x）=f（﹣x）得，a﹣2b=0，即b=1，则f（x）=2x2+1．故=．故答案为3．【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用，解题中不要漏掉对函数的定义域关于原点对称的考虑17.已知集合，，若，则实数的取值范围是

．参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某网店经营的一红消费品的进价为每件12元，周销售量p（件）与销售价格x（元）的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元． （1）写出周销售量p（件）与销售价格x（元）元的函数关系式； （2）写出利润周利润y（元）与销售价格x（元）的函数关系式； （3）当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润． 参考答案：【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象． 【专题】应用题；函数的性质及应用． 【分析】（1）根据函数图象为分段函的图象，所以应求12≤x≤20，与20＜x≤28两部分的解析式，由图象上的点分别代入p=ax+b，求出即可； （2）利用周销售量与利润的积，可得利润周利润y（元）与销售价格x（元）的函数关系式； （3）根据（2）分段求最值，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题设知，当12≤x≤20时，设p=ax+b， 则，∴a=﹣2，b=50 ∴p=﹣2x+50， 同理得，当20＜x≤28时，p=﹣x+30， 所以p=； （2）当12≤x≤20时，y=（x﹣12）（﹣2x+50）=﹣2x2+74x﹣620； 当20＜x≤28时，y=（x﹣12）（﹣x+30）﹣20=﹣x2+42x﹣380； ∴y=； （3）当12≤x≤20时，y=（x﹣12）（﹣2x+50）=﹣2x2+74x﹣620， ∴x=时，y取得最大值； 当20＜x≤28时，y=（x﹣12）（﹣x+30）﹣20=﹣x2+42x﹣380， ∴x=21时，y取得最大值61； ∵＞61， ∴该消费品销售价格为时，周利润最大，最大周利润为． 【点评】本题是一道综合题，难度较大．重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，能够从图象上准确地获取信息，本题中p与x的关系是分段的，要注意对应，这是做本题的关键． 19.

.(1).(2),(Ⅰ),求实数的取值范围;

(Ⅱ),实数的取值范围又是多少?

参考答案：20、(1)……(得2分)∴最小正周期……………(得1分)当

……(得2分)(2)……………(得1分),∴…………(得2分)(Ⅰ),即

…………………(得2分)(Ⅱ),即

………………(得2分)

20.(本小题满分12分)已知函数＝x2－4x＋a＋3，g(x)＝mx＋5－2m．(1)若方程f(x)=0在[－1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；(2)当a＝0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围；(3)若函数y＝f(x)（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7－2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q－p）．参考答案：(1)：因为函数＝x2－4x＋a＋3的对称轴是x＝2，所以在区间[－1，1]上是减函数，因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：即，解得，故所求实数a的取值范围为[－8，0]．(2)若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，只需函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)的值域的子集．＝x2－4x＋3，x∈[1，4]的值域为[－1，3]，下求g(x)＝mx＋5－2m的值域．①当m＝0时，g(x)＝5－2m为常数，不符合题意舍去；②当m＞0时，g(x)的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3][5－m，5＋2m]，需，解得m≥6；③当m＜0时，g(x)的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3][5＋2m，5－m]，需，解得m≤－3；综上，m的取值范围为．(3)由题意知，可得．①当t≤0时，在区间[t，4]上，f(t)最大，f(2)最小，所以f(t)－f(2)＝7－2t即t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去）；②当0＜t≤2时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(2)最小，所以f(4)－f(2)＝7－2t即4＝7－2t，解得t＝；③当2＜t＜时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(t)最小，所以f(4)－f(t)＝7－2t即t2－6t＋7＝0，解得t＝（舍去）综上所述，存在常数t满足题意，t＝－1或．21.（附加题）（本小题满分15分）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.

（1）证明AD⊥D1F;

（2）求AE与D1F所成的角;

（3）证明面AED⊥面A1FD1;

（4）．

参考答案：解法一:（1）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1.

又D1F面DC1，

∴AD⊥D1F.

（2）取AB中点G,连结A1G，FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，

∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.（3）由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.

（4）连结GE，GD1.

∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1，∵AA1=2,面积S△A1GE=S□ABB1A1－2S△A1AG－S△GBE=又

解法二：利用用向量求解解析：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），（1）∵,，得，∴AD⊥D1F;（2）又，得

∴AE与D1F所成的角为90°（3）由题意：，设平面AED的法向量为，设平面A1FD1