北京垂杨柳第一中学高一数学理上学期期末试卷含解析

北京垂杨柳第一中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC、CD上,,若，则A.

B.

C.

D.参考答案：C2.已知点P（a，b）和点Q（b﹣1，a+1）是关于直线l对称的两点，则直线l的方程为（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣1=0参考答案：C【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由题意可得直线l为线段PQ的中垂线，求得PQ的中点为（，），求出PQ的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．【解答】解：∵点P（a，b）与Q（b﹣1，a+1）（a≠b﹣1）关于直线l对称，∴直线l为线段PQ的中垂线，PQ的中点为（，），PQ的斜率为=﹣1，∴直线l的斜率为1，即直线l的方程为y﹣1×（x﹣），化简可得x﹣y+1=0．故选：C．3.如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．4.已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

参考答案：C由题意得，平行与同一直线的两条直线是平行的可知，若，则。5.函数f（x）=（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）=logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）=logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选：C．6.若不等式m≤当x∈（0，l）时恒成立，则实数m的最大值为（）A．9 B． C．5 D．参考答案：B【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】设f（x）=，根据形式将其化为f（x）=+．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x=时的最小值为2，得到f（x）的最小值为f（）=，再由题中不等式恒成立可知m≤（）min由此可得实数m的最大值．【解答】解：设f（x）==（0＜x＜1）而=（）=+∵x∈（0，l），得x＞0且1﹣x＞0∴≥2=2，当且仅当，即x=时的最小值为2∴f（x）=的最小值为f（）=而不等式m≤当x∈（0，l）时恒成立，即m≤（）min因此，可得实数m的最大值为故选：B7.三棱锥的高为3，侧棱长均相等且为，底面是等边三角形，则这个三棱锥的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（

）

A．

B．C．

D．参考答案：D略9.直线y=x+1的倾斜角为（）A．1 B．﹣1 C． D．参考答案：C【分析】根据题意，设直线y=x+1的倾斜角为θ，由直线的方程可得其斜率k，则有tanθ=1，结合θ的范围即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线y=x+1的倾斜角为θ，直线的方程为：y=x+1，其斜率k=1，则有tanθ=1，又由0≤θ＜π，则θ=，故选：C．10.在△ABC中，若，则（

）A.15° B.75° C.75°或105° D.15°或75°参考答案：D分析：先根据正弦定理求C，再根据三角形内角关系求A.详解：因为，所以所以因此，选D.点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11..已知直线与直线关于轴对称，则直线的方程为

。参考答案：4x+3y-5=0试题分析：因为直线与直线关于轴对称，所以直线与直线上的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以直线的方程为4x+3y-5=0.点评：求解此类问题时，一般是遵循“求谁设谁”的原则.

12.若a>3，则函数f（x）=x2-ax+1在区间（0，2）上恰好有_____________个零点参考答案：1略13.已知，则的值为

.参考答案：14.若函数的定义域为，则函数的定义域是__________．参考答案：考点：函数的定义域.【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题，由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.15.若函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣3，3]，则函数f（x）的定义域为

．参考答案：[﹣7，5]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣3，3]，从而求出2x﹣1的范围，进而得出答案．【解答】解：∵﹣3≤x≤3，∴﹣7≤2x﹣1≤5，故答案为：[﹣7，5]．【点评】本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．16.某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东流速为，若此人朝正南方向游去，则他的实际前进速度为

；参考答案：217.等比数列{an}的前n项和为Sn，且，，成等差数列．若，则（

）A.15 B.7 C.8 D.16参考答案：B【分析】通过，，成等差数列,计算出，再计算【详解】等比数列的前n项和为，且，，成等差数列即故答案选B【点睛】本题考查了等比数列通项公式，等差中项，前N项和，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且CD⊥面PAD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若直线AC与平面PCD所成的角为45°，求．参考答案：考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题： 空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）连结BD交AC于O，连结EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面EAC．（2）由已知得AE⊥PD，CD⊥AE，由此能证明AE⊥平面PCD．（3）AE⊥平面PCD，直线AC与平面PCD所成的角为∠ACE，由此能求出．解答： （1）证明：连结BD交AC于O，连结EO，∵O、E分别为BD、PD的中点，∴EO∥PB

…（2分）∵EO?平面EAC，PB不包含于平面EAC，∴PB∥平面EAC．…（4分）（2）证明：正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD，…（8分）∵CD⊥面PAD，又AE?平面PAD，∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，PD?面PCD，CD?面PCD，∴AE⊥平面PCD．…（10分）（3）由（2）AE⊥平面PCD，直线AC与平面PCD所成的角为∠ACE…（11分）∴Rt△ACE中，∠ACE=45°，AC=，又正△PAD中，AE=，∴AC=，又矩形ABCD中，AC==，解得CD=，∴．…（14分）点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查两线段长的比值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19.设函数是奇函数．

（1）求常数的值；

（2）试判断函数的单调性，并用定义法证明；

（3）若已知，且函数在区间上的最小值为，求实数的值。

参考答案：（1）由题知，是奇函数，则…经检验K=1符合题意………2分（2），当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，证明如下：任取，则所以函数在上单调递减.

所以函数在上单调递增.

……8分（3），由得，解得

令，则①当时，时有，符合题意②当时，时有综上所述

…………12分20.在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求直线AB与直线SD所成角的大小．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】（1）直接利用高是SA，代入体积公式即可求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）先根据BC∥AD，AB⊥BC?AB⊥AD；再结合SA⊥面ABCD?SA⊥AB可得AB⊥面ASD即可找到结论．【解答】解：（1）因为VS﹣ABCD=Sh=×（AD+BC）?AB?SA=．故四棱锥S﹣ABCD的体积为．（2）∵BC∥AD，AB⊥BC?AB⊥AD，①又因为：SA⊥面ABCD?SA⊥AB

②由①②得

AB⊥面ASD?AB⊥SD故直线AB与直线SD所成角为90°．【点评】本题主要考查体积计算以及线线所成的角．解决第二问的关键在于得到AB⊥面ASD这一结论．21.设函数f（x）=是奇函数，且f（1）=5．（1）求a和b的值；（2）求证：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥4．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由函数在定义域内有意义可得b=0，结合f（1）=5求得a值；（2）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，从而得到f（x）在（0，+∞）上的最小值，答案可证．【解答】（1）解：函数f（x）=的定义域为{x|x≠﹣b}，即f（﹣b）不存在，若b≠0，则f（b）有意义，这与f（x）为奇函数矛盾，故b=0．∵f（1）=5，∴，解得a=1；（2）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则x1x2＞0，x1﹣x2＜0，=．①若x1，x2∈（0，2]，则x1x2＜4，于是x1x2﹣4＜0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0；②若x1，x2∈[2，+∞），则x1x2＞4，于是x1x2﹣4＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＜0．由①②知，函数f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．∴f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（2）=．∴f（x）≥4．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，考查了利用函数单调性求函数的最值，训练了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，是中档题．22.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=an﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{an}中的任意三项不可能成等差数列；（3）设bn=，Tn为{bn}的前n项和，求证：Tn＜3．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）运用数列的通项和前n项和的关系，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；（2）运用反证法，假设数列{an}中的任意三项成等差数列，由（1）的结论，推出矛盾，即可得证；（3）把数列的通项公式放大，然后利用等比数