2022年湖南省长沙市涌泉山中学高三数学理下学期摸底试题含解析

2022年湖南省长沙市涌泉山中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，记，，，则，，的大小关系为（

）． A． B． C． D．参考答案：A解：令，则，，，，由图可得．故选A．2.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为

()A．4

B．8

C．12

D．24参考答案：A3.某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有A．50种

B．70种

C．35种

D．55种参考答案：A略4.已知集合的值为

（

） A．1或－1或0

B．－1 C．1或－1 D．0参考答案：A因为,即m=0,或者,得到m的值为1或－1或0，选A5.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.6.数列{}，已知对任意正整数n，＋＋＋…＋＝2n－1，则＋＋＋…＋等于()A.(2n－1)2

B.(2n－1)

C.(4n－1)

D.4n－1参考答案：C略7.已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．参考答案：D试题分析：条件“对任意的实数，都有”说明函数是减函数，因此，解得．故选D．考点：函数的单调性．8.若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的(

)A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】一方面由a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到△=a2﹣4＜0，解得a的取值范围，即可判断出“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出△＜0是否成立即可．【解答】解：①∵a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．∴﹣3＜2a﹣1＜3，﹣3＜a﹣1＜1，因此z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，则，解得．∴△＜0，∴关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确．综上①②可知：若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件．故选B．【点评】熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键．9.如果函数的图象如右图，那么导函数的图象可能是【

】参考答案：A10.在等差数列中，首项＝0，公差0，若，则＝A、22B、23C、24D、25参考答案：A由已知得，所以，故．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若f（a）是函数f（x）=x+（x＞0）的最小值，则a=．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=x+≥2=1，当且仅当x=时取等号，∴a=．故答案为：．12.设x、y满足约束条件则目标函数z=6x+3y的最大值是

.参考答案：5作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,由目标函数z与直线在y轴上的截距之间的关系可知,当直线过点A()时,目标函数取得最大值5.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.

13.已知双曲线的一个焦点为，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程为．参考答案：﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线焦点的坐标分析可得其焦点在x轴上，且c=2，可以设其标准方程为：﹣=1，结合题意可得2+b2=20，①以及=，②，联立两个式解可得a2=16，b2=4，代入所设的标准方程中即可得答案．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，则其焦点在x轴上，且c=2，可以设其标准方程为：﹣=1，又由c=2，则a2+b2=20，①其渐近线方程为y=±x，则有=，②联立①、②可得：a2=16，b2=4，故要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程的计算，可以用待定系数法分析．14.已知函数与的图象有公共点，且点的横坐标为2，则_______.参考答案：15.已知平面向量，，若，则_______．参考答案：.试题分析：，，，考点：向量的模.16.已知P是抛物线y2=4x上的动点，过P作抛物线准线的垂线，垂足为M、N是圆（x﹣2）2+（y﹣5）2=1上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是

．参考答案：﹣1考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．解答： 解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆（x﹣2）2+（y﹣5）2=1的圆心为Q（2，5），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点N的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．17.已知空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，，若平面ABD⊥平面BCD，则该几何体的外接球表面积为．参考答案：【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】△ABD和△BCD的形状寻找截面圆心位置，从而得出球心位置．计算外接球的半径即可得出面积．【解答】解：∵空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，∴△ABD是正三角形；又BC=1，，∴△BCD是直角三角形；取BD的中点M，连接CM，则AM⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴AM⊥平面BCD，∴棱锥外接球的球心为△ABD的中心，∵AM==，∴该四棱锥A﹣BCD的外接球的半径为=，∴几何体外接球的表面积S=4π（）2=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}、{bn}、{cn}，对于给定的正整数k，记，（）.若对任意的正整数n满足：，且{cn}是等差数列，则称数列{an}为“”

数列.（1）若数列{an}的前n项和为，证明：{an}为H(k)数列；（2）若数列{an}为数列，且，求数列{an}的通项公式；（3）若数列{an}为数列，证明：{an}是等差数列.参考答案：（1）当时，……………2分

当时，符合上式，则则对任意的正整数满足，且是公差为4的等差数列，为数列.………4分（3）由数列为数列，则是等差数列，且

即……………6分则是常数列

……………9分验证：，对任意正整数都成立

……………10分附：?

??-?得：

（3）由数列为数列可知：是等差数列，记公差为

则又

……………13分数列为常数列，则由……………16分是等差数列.19.设.（1）当取到极值，求的值；（2）当满足什么条件时，在区间上有单调递增的区间.参考答案：解：（1）由题意知且，由当（2）要使即（i）当（ii）当，解得：（iii）当此时只要解得：，综上得：略20.（本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：年份20112012201320142015居民生活用水量（万吨）236246257276286（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.参考公式：，.参考答案：(1)；(2)万吨.试题分析：(1)由公式先求出，再利用公式求出即可求回归方程；(2)将代入所求回归方程求出的值即可.试题解析：（1）解法一：容易算得：，，，故所求的回归直线方程为解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似值直线上升，为此时数据预处理如下表：对预处理后的数据，容易算得：，，，所求的回归直线方程为，即.（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当，当时，满足（1）中所求的回归直线方程，此时（万吨）考点：线性回归方程及其应用.21.已知函数f（x）=x2，g（x）=elnx．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m，对x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m，对x∈（0，+∞）恒成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）在定义域内解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0可得函数的单调区间；（Ⅱ）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y﹣=k（x﹣），由f（x）≥kx+﹣k对x∈R恒成立，可求得k=，则“分界线“的方程为：y=．只需在证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立即可；【解答】解：（I）由于函数f（x）=，g（x）=elnx，因此，F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣elnx，则F′（x）=x﹣==，x∈（0，+∞），当0＜x＜时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上是减函数；当x＞时，F′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上是增函数；因此，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）．（II）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y﹣=k（x﹣），即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k对x∈R恒成立，则对x∈R恒成立，∴=4k2﹣8k+4e=e（k﹣）2≤0成立，因此k=，“分界线“的方程为：y=．下面证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立，设G（x）=elnx﹣x+，则G′（x）==，∴当0＜x＜时，G′（x）＞0，当x＞时，G′（x）＜0，当x=时，G（x）取得最大值0，则g（x）≤x对x∈（0，+∞）恒成立，故所求“分界线“的方程为：y=．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调区间、最值及恒成立问题，考查转化思想，探究性题目往往先假设成立，再做一般性证明．22.（本小题满分12分）图4是自治区环境监测网从8月21日至25日五天监测到甲城市和乙城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示：(1)试根据图4的统计数据和下面的附表，估计甲城市某一天空气质量等级为2

级良的概率；(2)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量

等级相同的概率．附：国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：参考答案：【知识点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．L4

【答案解析】（1）（2）解析：（1）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频数为3，则在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为．（3分）则估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率为．（