2022年广西壮族自治区柳州市第四十七中学高三数学理期末试题含解析

2022年广西壮族自治区柳州市第四十七中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且f（1）=2，则f（2015）的值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1参考答案：C【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵函数f（x）为R上的奇函数，且f（1）=2，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，∴f（2015）=﹣2故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性，函数的值的求法，属基础题．2.设函数f（x）是R上的奇函数，f（x+π）=﹣f（x），当0≤x≤时，f（x）=cosx﹣1，则﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．4π﹣8 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．3π﹣6参考答案：A【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】根据函数的奇偶性得到函数的周期是2π，分别求出函数的解析式，利用积分的应用即可得到结论【解答】解：由f（x+π）=﹣f（x）得f（x+2π）=f（x），即函数的周期是2π，若﹣≤x≤0，则0≤﹣x≤，即f（﹣x）=cos（﹣x）﹣1=cosx﹣1，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=cosx﹣1=﹣f（x），即f（x）=1﹣cosx，﹣≤x≤0，∵函数的周期是2π，∴当＜x≤2π时，﹣＜x﹣2π≤0，即f（x）=f（x﹣2π）=1﹣cos（x﹣2π）=1﹣cosx，当＜x≤π时，﹣＜x﹣π≤0，即f（x）=﹣f（x﹣π）=cos（x﹣π）﹣1=﹣cosx﹣1，当π＜x≤时，0≤x﹣π≤，即f（x）=﹣f（x﹣π）=﹣cos（x﹣π）+1=cosx+1，综上：f（x）=，则由积分的公式和性质可知当﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积S=2=4=8=8||=8（x﹣sinx）|=4π﹣8．故选A．3.若集合A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}，集合B={x|1﹣x＞0}，则A∩B等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，3） D．（﹣1，1）参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．解：A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键．4.若，，，则的大小关系是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A【考点】集合的运算【试题解析】

所以b<a,排除C,D。

由图像可知：表示的面积最小。

故。5.定义集合与的运算“*”为:或,但,按此定义,A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.在等差数列中，，表示数列的前项和，则A．

B．

C．

D．参考答案：B7.设集合A=﹥0

｝则AB=A

B

C

D或

参考答案：B【知识点】集合的运算A1解析：因为集合，所以,，故，故选择B.【思路点拨】根据含绝对值的不等式以及对数不等式的解法，求得集合A与B，再根据交集运算定义求得结果.8.定义一种运算，若函数，是方程的解，且，则的值--------------------（

）A．恒为正值

B．等于

C．恒为负值

D．不大于参考答案：A9.已知实数满足不等式组，则的最大值为（

）A.3

B.4

C.6

D.9参考答案：C【知识点】简单的线性规划问题作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），

变形目标函数z=2x+y可得y=-2x+z，

平移直线y=-2x可知，当直线经过点A（3，0）时，z取最大值，

代值计算可得z=2x+y的最大值为6

【思路点拨】作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得．10.（本小题满分13分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：（其中为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？参考答案：解：（1）当时，，当时，，综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：……………6分（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0

当时，当且仅当时取等号所以当时，，此时

当时，由知函数在上递增，，此时综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润

若，则当日产量为万件时，可获得最大利润……………13分

略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数y=f（x），对于任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，则下列不等式中成立的有．①＜f（）②f（）f（）③f（0）f（）④f（）f（）参考答案：②③④【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的概念及应用．【分析】构造函数F（x）=，x，可得函数F（x）在x上单调递增，逐个选项验证可得．【解答】解：构造函数F（x）=，x，则F′（x）=＞0，∴函数F（x）在x上单调递增，∴F（）＞F（），即2f（）＞f（），可得＞f（），①错误；同理可得F（）＜F（），即f（）＜f（），可得f（）f（），②正确；同理F（0）＜F（），即f（0）＜f（），③正确；同理F（）＜F（），即f（）＜2f（），可得f（）f（），④正确．故答案为：②③④【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系，利用单调性比较大小，熟记商的导数公式，以之构造出相应函数是解答的关键，属中档题．12.在中，设是的内心，若，则

．

参考答案：13.若不等式|恒成立，则的取值范围是

．命题意图:考查绝对值不等式，中档题.参考答案：[－3,5]14.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则

参考答案：015.

．参考答案：3，故答案为.

16.(几何证明选做题)如图，已知的直径，为上一点，且，过点的的切线交延长线于点，则________;参考答案：3

略17.已知函数f(x)＝2+log3x,x∈［1,9］,则函数y＝［f(x)］2+f(x2)的值域为___________.参考答案：[6,13]略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=1，AD=2．（I）若BD=，求角C；（II）若BC=3，CD=4，求四边形ABCD的面积．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】（I）在△ABD中，由余弦定理可求cosA=﹣，结合范围0＜A＜π，可求A，由四边形ABCD是圆的内接四边形，即可求C的值．（II）利用余弦定理可求BD2=5﹣4cosA=25+24cosA，解得cosA=﹣，结合范围0＜A＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）在△ABD中，由余弦定理得，cosA==﹣．又0＜A＜π，∴A=．∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴C=π﹣A=．…（6分）（II）因为BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cosA=5﹣4cosA，且BD2=CB2+CD2﹣2CB?CD?cos（π﹣A）=25+24cosA，∴cosA=﹣．…（9分）又0＜A＜π，∴sinA==．∴S△BCD=S△ABD+S△CBD=+=2．…（12分）【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．19.（14分）设是定义在区间上的函数，且满足条件：

（i）

（ii）对任意的

（Ⅰ）证明：对任意的

（Ⅱ）判断函数是否满足题设条件；

（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数，且使得对任意的

若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.

参考答案：解析：（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当时，有即（Ⅱ）答：函数满足题设条件.验证如下：对任意的，当当当不妨设

有所以，函数满足题设条件.（Ⅲ）答：这样满足的函数不存在.理由如下：

假设存在函数满足条件，则由得①

由于对任意的，都有

所以，②

①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.

20.某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.（1）求甲获得奖品的概率；（2）设为甲参加游戏的轮数，求的分布列与数学期望.参考答案：（1）设甲获得奖品为事件，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则.（2）随机变量的取值可以为1,2,3,4.,,,.的分布列为所以数学期望.21.已知，且，求证：.参考答案：详见解析【分析】根据柯西不等式可证得结果.【详解】又

【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式的问题，属于常规题型.22.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1