2022届高考数学考前模拟题及答案解析

2022年高考数学考前模拟题

1.如图，在四棱锥S-A8CO中，底面四边形ABCQ是正方形，且顶点S到A,B,C,D

的距离相等，AC与8。交于点。，连接SO.

(1)求证：SO_LC£)；

(2)若S4=AB,求平面SAB与平面SCO所成角的正弦值.

【分析】(1)利用正方形的性质得到。为AC,B力的中点，从而证明S0J_4C,

由线面垂直的判定定理证明SOJ_底面ABC。，即可证明结论；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面SAB和平面SCD的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解

即可.

【解答】(1)证明：因为四边形ABCO是正方形，

所以。为AC,BO的中点，

因为SB=S£>,SA=SC,

所以SOLAC,

又BDCAC=O,BD,ACu平面ABC。，

所以SOJ_底面ABCD,又C/)u平面ABCD,

故SO_LC£)；

(2)解：以。为原点，分别以OB,OC,OS为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系O-xyz,

设SA=AB=2,则OS=0A=OB=0C=OD=\f2,

所以0(0,0,0),5(0,0,V2),B(V2,0,0),C(0,也0),D(一夜,0,0),4(0,

-V2,0),

所以工=(0,-V2,-V2),SB=(V2,0,-V2),SC=(0,y[2,一或)，SD=

(-V2,0,-V2),

设平面SA3的法向量为n=Q,y,z),

则SA-n=-V2y-V2z=0

SB-n=y/2x—V2z=0

令1=1,贝Iy=-1,z=l,

故1=(1,-1,1),

设平面SCO的法向量为益=(a,b,c),

则SC-m—>f2b—y[2c—0

\SD-m=-V2a—\[2c=0

令a=L则Z?=-l,c=-1,

故?71=(1/-1/-1)，

所以c°s展而=器=熹」

所以sin(n,m)=^

故平面SAB与平面SCD所成角的正弦值为手.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质定理的应

用，二面角的求解以及同角三角函数关系式的应用，在求解有关空间角问题的时候，一

般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中

档题.

2.如图，在直角梯形ABED中，BE//AD,DE1,AD,BCLAD,AB=4,BE=2®矩形

BEDC沿BC翻折，使得平面ABC_L平面BCDE.

（1）若BC=BE,证明：平面ABO_L平面ACE；

（2）当三棱锥4-BCE的体积最大时，求平面AOE与平面4BC所成的锐二面角的余弦

值.

【分析】（1）易知8£>_LCE,由平面A8C_L平面BCQE,推出AC_L平面BCQE,可知AC

±BD,再结合线面和面面垂直的判定定理，得证；

（2）先由面面垂直的性质定理证明8E_L平面ABC,再结合基本不等式和等体积法求三

棱锥A-BCE的体积最大时，AC的长，然后以C为原点建立空间直角坐标系，求得平面

ADE的法向量蓝，而平面ABC的一个法向量为c3,最后由cosVeB,5>=

\CD\-\m\

即可得解.

【解答】（1）证明：；BC=8E,二矩形8CDE为正方形，，BOJ_CE,

:平面A8C_L平面BCZ）E,平面ABCC平面BCOE=BC,ACVBC,ACu平面ABC,

；.AC_L平面BCDE,

：B£)u平面BCQE,：.AC1BD,

又CEAAC=C,CE、ACu平面4CE,

.•.8Q_L平面ACE,

：Mu平面ABO,平面A8£)_L平面ACE.

(2)在△ABC中，设AC=x,则BC=>/46—/(0<x<4),

**•SMBC=^AC9BC=ixeV16—x2=:J%2(i6-A2)<ix"+苧"=4,

当且仅当广、16-％2,即x=2立时，等号成立，

此时aABC的面积有最大值4.

•.•平面ABC_L平面BCOE,平面A8CC平面8C£)E=BC,BEA.BC,BEu平面BCOE,

平面ABC,

[1o/o

-*•VA-BCE=VEABC=gS^ABC*BEW可X4X2y/3=-g-,

故当三棱锥A-BCE的体积最大时，AC=2y[2.

'.'BE//CD,；.CO_L平面ABC,

以C为原点，CA,CB,。所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，

贝IjC(0,0,0),A(2V2,0,0),D(0,0,2V3),E(0,2vL2次)，

：.AD=(-2V2,0,2V3),DE=(0,2V2,0),

设平面ADE的法向量为U=(x,y,z),贝4血,丝=°,即1一野刀+2az=。

令x=5,则y=0,z=V2,/.m=(V3,0»V2),

•・・COJ_平面ABC,

・・・平面A5C的一个法向量为2)=(0,0,2V3),

—»2)橘=28xg=同

，cosVCD,m>

\CD\-\m\2&x若5

故平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直

的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生

的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

3.如图，直角梯形ABC。中，AB//CD,ABLBC,CD=3AB=3,BC=由,点E在CD上，

且CE=I.沿AE将△ADE翻折到aSAE处，使得平面SAE_L平面ABCE.

(1)证明：SEmABCE；

(2)求二面角S-AC-E的正切值.

'B

EC

【分析】（1）先证明ABCE为矩形，从而得到AELOC,则AELSE,再利用面面垂直的

性质定理，可证SE,平面ABCE；

（2）过E作EPJ_AC,垂足为P,连结SP,利用线面垂直的判定定理和性质定理证明

ACLSP,EPVAC,由二面角的平面角的定义可知，NSPE即为二面角S-AC-E的平面

角，在三角形中，利用边角关系求解即可.

【解答】（1）证明：因为CO=3AB=3,CE=\,所以AB=EC=1,DE=SE=2,

又因为AB〃CD,所以A8CE为平行四边形，

又ABLBC,所以ABCE为矩形，

则AE_L£）C,故AELLSE,

又平面SAE_L平面A8CE,平面SAEA平面ABCE=4E,SEu平面SAE,

所以SE_L平面ABCE；

（2）解：在平面A8CE内，过E作EP_LAC,垂足为P,连结SP,

由（1）可知，SEJ_平面ABCE,

又4Cu平面ABCE,所以SE_LAC,

因为EPJ_4C,KEP,SEu平面AEP,EPCSE=E,

贝ijAC_L平面SPE,

又SPu平面SEP,所以4C_LSP,

又因为EPLAC,

则ZSPE即为二面角S-AC-E的平面角，

由（1）可知,1AELAC,AE=BC=遮,EC=1,

又EP±AC,

所以SMEC